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- ln
k
k
1 k 1 k
b, -1
b
⇒
b k
1-ln 2.
2,
答案 1-ln 2
例5 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0, 则点P的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)
=ln(x+1)的切线,则b=
.
解题导引 与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求
两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用k
表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解.
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),
2
分别令x=1,x=0,得
f f
'(1) f '(0) f
'(1)-f '(0) 1, '(1)e-1-f '(0) 0,
解得
f f
'(0) '(1)
1, 2e,
因此f(x)=2e·ex-1-x+
1 2
x2=2ex-x+
1 2
x2.
方法总结 与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解.
B(x2,y2),
由y=ln x+2得y'= 1 ,由y=ln(x+1)得y'= 1 ,
x
x 1
∴k=
1 x1
=
1 x2
1
,∴x1=
1 k
,x2=
1 k
-1,
∴y1=-ln
k+2,y2=-ln
k.即A
1 k
,-
ln
k
2
,B
1 k
-1,-
ln
k
.
∵A、B在直线y=kx+b上,
∴
2-ln k k
例2
设函数f(x)=xm+ax的导函数f
'(x)=2x+1,则数列
f
1 (n)
(n∈N*)的前n项
和是 ( )
A. n
n 1
B. n 2
n 1
C. n
n-1
D. n 1
n
解题导引
要求
f
1 (n)
的前n项和,应先求出f(n),由f
'(x)=mxm-1+a,
f
'(x)=2x+
1,可得
m 2, a 1,
∴数列
f
1 (n)
的前n项和为1-
1 2
+
1 2
-
1 3
+…+
1 n
-
n
1
1
=1-
n
1 1
=
n
n
1
,故
选A.
答案 A
考法二 与曲线的切线相关的问题
例3 (2019广东深圳二模,5)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+ 2 是奇函数,则曲线y
x
=f(x)在x=1处的切线的倾斜角为 ( )
例1 已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)ex-1-f '(0)x+ 1 x2,求f(x)的解析式.
2
解题导引 要求f(x)的解析式,需要求哪些量?解抽象函数问题常用哪些方
法?f '(1), f '(0)是常数,先对f(x)求导,再赋值,利用方程思想求出f '(0)及f '(1). 解析 ∵f(x)=f '(1)ex-1-f '(0)x+ 1 x2,∴f '(x)=f '(1)ex-1-f '(0)+x.
f(x)=ln x
导函数 f '(x)=0 f '(x)=③ nxn-1 f '(x)=cos x f '(x)=④ -sin x f '(x)=⑤ axln a f '(x)=ex f '(x)= 1
x ln a 1
f '(x)=⑥ x
2.导数的运算法则
运算
法则
加减 积 商
[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x) [f(x)·g(x)]'=⑦ f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
A. π B. 3π C. π D. 2π
4
4
3
3
解题导引 由f(x)是奇函数,先求出a的值,再求导函数f '(x),当x=1时,导函数 值f '(1)是曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率,进而求出倾斜角.
解析 由函数f(x)=ax2+(1-a)x+ 2 是奇函数,得f(-x)=-f(x),可得a=0,则f(x)=x+
高考数学
第四章 导数及其应用
§4.1 导数的概念及运算
考点清单
考点一 导数的概念及几何意义
1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率
lim
Δx 0
Δy Δx
=
lim
Δx 0
f
(x0
Δx)-f Δx
(x0
)
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y'|xx0
,即f
'(x0)=
lim
Δx 0
f (x0 Δx)-f (x0 ) .
Δx
2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数f '(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)
处的切线的斜率,即k=① f '(x0) .相应地,切线方程为② y-f(x0)=f '(x0)(x-x0) .
3.导数的物理意义:函数s=s(t)在点t0处的导数s'(t0)是物体的运动方程s=s(t)
在t0时刻的瞬时速度v,即v=s'(t0);v=v(t)在点t0处的导数v'(t0)是物体的运动方
程v=v(t)在t0时刻的瞬时加速度a,即a=v'(t0).
考点二 导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1)
进而得f(x)=x2+x,因此
f
1 (n)
=
1 n2
n
=
1 n(n 1)
=
1 n
-
1 ,裂项相消
n 1
法求和.
解析 ∵f(x)=xm+ax,∴f '(x)=mxm-1+a,又f '(x)=2x+1,∴ma 12, , ∴f(x)=x2+x,∴
1 = 1 =1- 1 ,
f (n) n2 n n n 1
f(x)
f '(x)g(x)-f(x)g'(x)
g(x)
'=⑧
[g(x)]2
(g(x)≠0)
3.复合函数的导数 复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x, 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
知能拓展
考法一 与导数运算有关的问题
x
2 ,则 f '(x)=1- 2 ,故曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率k=1-2=-1,可得所求切线
x
x2
的倾斜角为 3π ,故选B.
4
答案 B
方法总结 求曲线的切线斜率的方法步骤:求导数——求斜率——根据范 围得斜率.
例4 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y
