1.1 等腰三角形的性质和判定

9上§1.1 等腰三角形的性质和判定学习目标：1．能证明等腰三角形性质定理和判定定理；2．了解分析的思考方法；3．经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识的事物的重要途径．学习重点：了解分析的思考方法；学习难点：合理添加辅助线。

学习过程：一、回顾旧知：文字命题的几何证明一般步骤是：①；②；③。

二、情境创设：1、什么叫做等腰三角形？2、等腰三角形有哪些性质？3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做）三、合作探究：活动一：1、证明：等腰三角形的两个底角相等.2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示.3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理.定理：_______________________________________，（简称：________________）定理：_______________________________________，（简称：________________）活动二：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题：如果 ,那么 。

（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.活动三：例：已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC. 求证：AB ＝AC拓展：在下图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？四、反馈检测：1．若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 ；2．若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为 ；3．若等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为 ； 4．若等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为 ；五、总结反思：六、布置作业： 必做题： 课本P8第1、2、4题;选做题： 课本P8第3题. 七、课外拓展：已知：如图，AB=AC ．（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ；（2）若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系。

等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

等腰三角形知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角等腰三角形的两个底角 .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30oB ．40oC ．45oD ．36o同步检测一：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，①若∠A ＝70°，则∠B ＝ °，∠C ＝ °②若∠B ＝40°，则∠A ＝ °2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的 、 、 互相重合。

例2：如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：AB ＝AC同步检测二：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠B ＝70°，BC ＝10㎝，则BD ＝ ，∠BAD ＝ °A B CD E F知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边在△ABC 中，如果∠A ＝∠B ，则有 ＝例3：如图，已知BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，求证：△BED 是等腰三角形．1.在△ABC 中∠A ＝50°，∠B ＝80°，BC ＝10㎝，则AB ＝ ㎝ 【证明题典例】例4:已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，AB ∥CD ，OA=OB ，求证：OC=OD例5:求证：等腰三角形两腰上的中线相等.例6:在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE∥BC，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：DE=BD+EC ．A B C DE随堂检测：1、已知ABC ∆中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______．2、若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒3、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；4、已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm 5、如图，若已知36A ∠=︒，72C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，若已知 4AD =cm ， （5题图)则BC ＝ cm ．6、如图，等腰ABC △中，底边BC a =，36A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．67、如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD ＝3㎝，则CD ＝ ㎝（6题图) （7题图) (8题图)8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ， ∠B ＝30°，EF 垂直平分AB 如CF ＝8，则BF ＝ ．9、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由.（9题图)10、（1）已知：OD 平分∠AOB ，EO=E D.请说明：ED ∥OB.（2）已知：ED ∥O B ，EO=ED.请说明：OD 平分∠AOB. (10题图）11、已知：如图所示，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC 与BD 相交于点O ，AC=DB ．求证：△OBC 为A B D CE D C BAA B CO等腰三角形．12、（1）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ．求证：△ABC 是等腰三角形．（2）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．【课后作业】1．在△ABC 中，AB=AC,BD 是角平分线，如果∠A=40 o ，那么∠BDC= .2. 在△ABC 中，点D 在CB 上，且AB=AD=CD,∠C=25 o ,那么∠BA C= .3.下列说法正确的是（ ）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等 (2题图)C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍D.等腰三角形的两个底角相等4、如图，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过Ｆ作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9， 则线段DE 的长为（ ）.(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 65.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，且EF ∥BC ，若EF 交AD 于M ，EF=12，则DM = .(5题图) (6题图)6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝20o ，AD ＝AE ，则∠EDC= ．7.已知：如图，△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E D C BA。

等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。

最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。

当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。

第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ； 若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。

本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即两边的边长相同。

2. 两顶角相等：等腰三角形的顶角（顶点所对的角）相等，即两个顶角的度数相同。

3. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等，即两个底角的度数相同。

4. 对称轴：等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。

二、如何判定三角形为等腰三角形：1. 两边相等判定法：若一个三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 两角相等判定法：若一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

3. 底角相等判定法：若一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

4. 边角关系判定法：若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确，故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。

以下是一些等腰三角形的应用实例：实例一：已知三角形ABC，其中AB=AC，角B=60°，求角A和角C的度数。

解：由等腰三角形的性质可知，AB=AC，故角A=角C。

又知角B=60°，所以角A=角C=60°。

实例二：判断以下三角形是否为等腰三角形：三角形XYZ，其中XY=XZ，角Y=60°。

解：由等腰三角形的判定条件可知，若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

已知XY=XZ，角Y=60°，符合判定条件，故三角形XYZ是等腰三角形。

实例三：已知等腰三角形PQR，其中底边PQ=8cm，顶角R=110°，求顶角P和底角Q的度数。

解：由等腰三角形的性质可知，底角Q=底角R。

又知顶角R=110°，所以底角Q=底角R=110°。

等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。

1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。

1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。

1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。

1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。

二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。

2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。

2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。

2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。

2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。

2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。

2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。

2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。

2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。

总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。

通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。

习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。

解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。

如果两边相等，则为等腰三角形。

2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。

解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。

因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。

面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是我们初中数学学习的重要内容之一。

它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等腰三角形的相关概念和定理，并提供一些实例以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边边长相等的三角形。

具体而言，等腰三角形拥有以下特点：1. 两个底边边长相等（a = b）2. 两个底边所对的角度相等（∠A = ∠B）3. 顶点角可以是锐角、直角或钝角，但不可能是等边三角形的顶点角二、等腰三角形的性质1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是它的高线，且它们重合于等腰三角形的底边中点。

2. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等。

3. 对称性：等腰三角形具有对称性。

即，以等腰三角形的顶点为中心，底边为轴进行对称变换，可以得到另一个完全相同的等腰三角形。

4. 面积计算：等腰三角形的面积可通过底边长度和高（顶角平分线）的关系公式计算，即S = 1/2 * b * h。

三、等腰三角形的判定1. 边长判定：若三角形的两边边长相等，则该三角形为等腰三角形。

2. 角度判定：若三角形的两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。

3. 边角关系判定：若三角形的一个角度和一个边边长与另一个角度和另一边边长相等，则该三角形为等腰三角形。

实例一：已知三角形ABC，AB = AC，∠B = ∠C。

判断该三角形是否为等腰三角形。

解：根据等腰三角形的定义，若两边边长相等且两个底角相等，则该三角形为等腰三角形。

根据题目给出的已知条件，可以得出AB = AC，∠B = ∠C。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

实例二：已知三角形DEF，DF = EF，∠E = 60°。

判断该三角形是否为等腰三角形。

解：根据等腰三角形的定理，若两边边长相等且两个底角相等，则该三角形为等腰三角形。

根据题目给出的已知条件，可以得出DF = EF，∠E = 60°。

因此，三角形DEF为等腰三角形。

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等腰三角形是指具有两边相等的三角形，它有一些特殊的性质和判定方法。

本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否是等腰三角形。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两个底边相等，记作AB=AC。

2. 两角相等：等腰三角形的顶角与底边相对的两个底角相等，即∠B=∠C。

3. 对称轴：等腰三角形的对称轴是通过顶角和底边中点的垂直平分线。

二、等腰三角形的判定判定一个三角形是否是等腰三角形，可以通过以下几种方式进行判定。

1. 两边相等：如果已知一个三角形的两边相等，可以判断这个三角形是等腰三角形。

例如，若已知AB=AC，则可得出三角形ABC是等腰三角形。

2. 两角相等：如果已知一个三角形的两个角相等，可以判断这个三角形是等腰三角形。

例如，若已知∠B=∠C，则可得出三角形ABC是等腰三角形。

3. 辅助线：通过画辅助线，可以判断一个三角形是否是等腰三角形。

例如，可以在顶角上作一条中位线，若中位线与底边重合，则可判定该三角形是等腰三角形。

三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，以下是其中一些应用场景。

1. 建筑设计：等腰三角形的稳定性使其在建筑中常被用于设计坚固的结构，例如建筑物的屋顶、柱子等。

2. 制图：在地图和平面设计中，等腰三角形可以用于定位和测量，方便绘制和计算。

3. 数学推导：等腰三角形的性质常常被用于解决各种几何问题，例如判断角度、求解边长等。

综上所述，等腰三角形具有两边相等和两角相等的特点。

我们可以通过两边相等或两角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。

等腰三角形在实际生活和数学推导中有着广泛的应用，具有重要的意义。

理解等腰三角形的性质和判定方法有助于我们更好地应用和理解几何学知识。

1C A B 1.1 等腰三角形的性质和判定班级 姓名 【学习目标】1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理.2.了解分析的思考方法.3.经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径.【重点、难点】了解分析的思考方法；合理添加辅助线． 【知识回顾】以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1. 什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的 角相等.（简称“ ”）②等腰三角形的 、 、 互相重合.（简称“ ”） ③等腰三角形是 对称图形，它的对称轴是： .3.你能用刻度尺画一个等腰三角形，并用作垂线的方法画出它的顶角的平分线吗？若能，请画出.问题:上述等腰三角形性质你是怎么得到的？这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ 【导学过程】 活动一：证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C你有不同的证明方法吗?活动二：证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 思考：如何证明文字命题的正确性?活动三：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题： .（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.2例1.已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且AD∥BC .求证：AB ＝AC2.拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？你还能得出其他的结论吗?例2.已知：如图，锐角△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC.求证：△ABC 是等腰三角形．例3.在△ABC 中,AB=AC,O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥BC.【反馈练习】1.若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 .2.若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为 .3.等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．4.若等腰三角形有一个外角等于50°，那么另两个角为 . 5、在△ABC 中，∠A ＝40°，当∠B 等于多少度数时，△ABC 是等腰三角形？★6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，那么这个等腰三角形的顶角为 . ★7.若等腰三角形的周长等于12cm ，那么腰长x 的取值范围是 .8.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_ ____°． ★9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．10.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 边上一点，且BD ＝BC ＝AD ．•则∠A 等于 （ ）A ．30° B．36° C．45° D．72°ABCDE第8题图 第10题图311.已知：如图，AB=AC ．（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ； （2）若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系 （只写结论，不证明）．12.如图，在△ABC 中，点O 在AC 上，过点O 作MN ∥BC ，CE 、CF 分别是△ABC 的内外角平分线，与MN 分别交于E 、F ，求证：OE=OF.变式： 如图，BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长.13.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．1 3ABCMNO。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。

本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。

一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。

不妨设∠ABC ＞∠ACB。

由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。

又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。

根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。

而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。

性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。

不妨设∠BAC ＞∠BCA。

由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。

又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。

根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。

而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。

性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。

连接AD，BD与CD。

首先证明AD是三角形ABC的高。

根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。

接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质，并提供几种判定等腰三角形的方法。

一、等腰三角形的性质1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边对应的两个角）相等。

假设等腰三角形的两边长分别为a，底角为∠A，顶角为∠B，则有∠A = ∠B。

2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边对应的角）等于底边上的两个底角之和的一半。

即∠B = (∠A + ∠A) / 2。

3. 等腰直角三角形是等边三角形：当等腰三角形的底角是90度时，即为等腰直角三角形。

在等腰直角三角形中，两个等边也是等于斜边的长度。

二、判定等腰三角形的方法1. 通过边长判定：如果三角形的两个边长相等，则可以判断它为等腰三角形。

例如，当三角形的两边长都为3cm，底角为60度时，即可判定该三角形为等腰三角形。

2. 通过角度判定：如果三角形的两个角度相等，则可以判断它为等腰三角形。

例如，当三角形的底角和顶角均为45度时，即可判定该三角形为等腰三角形。

3. 通过边角关系判定：如果三角形的两个底角相等，则可以判断它为等腰三角形。

例如，当三角形的两个底角均为60度时，即可判定该三角形为等腰三角形。

三、等腰三角形的应用1. 建筑设计：等腰三角形常被用于建筑设计中，例如设计等腰三角形的屋顶或者窗户。

2. 数学计算：在数学中，等腰三角形的性质可用于解决各种几何问题，如计算其面积、周长以及三角形内外接圆的半径等。

3. 测量工具：在实际测量中，等腰三角形也被应用于测量工具的设计，如三角板、量角器等。

总结：等腰三角形的性质和判定方法是几何学中的基础知识。

熟练掌握这些知识，不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以应用于实际生活中的建筑设计和测量工作中。

通过本文的介绍，相信读者对等腰三角形有了更深入的了解，能够正确判定和应用等腰三角形。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质1. 底角相等性质：等腰三角形的底边上的两个角相等。

设等腰三角形ABC，其中AB=AC，那么∠ABC=∠ACB。

2. 顶角平分性质：等腰三角形的顶角被底边平分。

同样设等腰三角形ABC，有AB=AC，那么∠BAC被BC平分。

3. 等腰三角形的高：等腰三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线。

在等腰三角形ABC中，若AB=AC，那么从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线会平分底边BC，同时也平分∠BAC。

二、等腰三角形的判定1. 根据两边相等判定：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若AB=AC，那么可以判定ABC为等腰三角形。

2. 根据底角相等判定：如果一个三角形的底边上的两个角相等，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若∠ABC=∠ACB，那么可以判定ABC为等腰三角形。

3. 根据顶角平分判定：如果一个三角形的顶角被底边平分，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若∠BAC被BC平分，那么可以判定ABC为等腰三角形。

4. 根据高线判定：如果一个三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线既平分底边BC，又平分∠BAC，那么可以判定ABC为等腰三角形。

三、等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在现实生活中有着广泛的应用。

下面举几个例子：1. 圆锥的底面是等腰三角形，当我们在日常生活中压缩一根圆锥形雨伞时，底部展开的形状就是一个等腰三角形。

2. 音箱的设计常常采用等腰三角形，因为等腰三角形的稳定性好，并且能够有效地防止共振。

3. 手机屏幕的倾斜角度一般为45度，这是由于45度等腰三角形的边长比例十分均匀，可以使我们的视觉效果更佳。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。

本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。

设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。

2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。

设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。

3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。

等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。

4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。

等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。

二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法：1. 通过测量两边的长度。

如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 通过测量两底角的大小。

如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

3. 通过判断顶角是否为锐角。

如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。

我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。

4. 通过判断两条边长和夹角的关系。

如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。

需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。

在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。

在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。

通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。

无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。

总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质，也有一些方法可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。

本文将详细介绍等腰三角形的性质和判定方法。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质：等腰三角形的两边边长相等，记为AB=AC。

2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（即两边和底边之间的角）相等，记为∠B=∠C。

3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（即底边上的角）是不等于底角的，记为∠A≠∠B。

二、等腰三角形的判定方法1. 边长判定法：如果一个三角形的两边边长相等，那么它是一个等腰三角形。

例如，已知一个三角形的边长为AB=AC，我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。

2. 角度判定法：如果一个三角形的两个角相等，那么它是一个等腰三角形。

例如，已知一个三角形的两个底角相等，即∠B=∠C，我们可以得出结论这个三角形是等腰三角形。

三、等腰三角形的性质应用1. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

高可以分割底边成两个相等的线段。

等腰三角形的高线段是三角形的对称轴，将等腰三角形分为两个完全相同的部分。

2. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点和顶点的线段。

等腰三角形的中线同时也是高线，因此中线也分割底边成两个相等的线段。

3. 等腰三角形的角平分线：等腰三角形的角平分线是从顶点到底边中点的线段。

等腰三角形的角平分线同时也是高线和中线，因此角平分线也分割底边成两个相等的线段。

4. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形有一个内切圆，该圆与等腰三角形的两边和底边相切，且切点是底边的中点。

5. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形有一个外接圆，该圆过等腰三角形的三个顶点。

综上所述，等腰三角形具有两边相等和两底角相等的性质。

通过边长判定法和角度判定法，可以判定一个三角形是否为等腰三角形。

等腰三角形的性质在几何学中有着重要的应用，例如计算三角形的面积、周长等。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我们将深入探讨等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

1. 等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在一个等腰三角形中，两个底边（即两条边长度相等的边）的夹角被称为顶角，而与顶角相对的边被称为等腰边。

下面是等腰三角形具有的一些性质：性质1：等腰三角形的两个底角（即两个底边对应的角）是相等的。

性质2：等腰三角形的顶角（即顶边对应的角）是比两个底角小的锐角。

性质3：等腰三角形的高（从顶角垂直地落到底边的垂线段）会将底边平分。

性质4：等腰三角形的中线（连接两个底角的中垂线）与高重合，且都与底边垂直且等长。

性质5：等腰三角形的重心、内心、外心和垂心会重合在底边上。

2. 判定一个三角形是否为等腰三角形有多种方法可以判定一个三角形是否为等腰三角形。

下面介绍两种常用的判定方法：方法一：通过边长判定若一个三角形的两条边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。

我们可以通过测量三角形的边长来判定它是否为等腰三角形。

方法二：通过角度判定若一个三角形的两个底角（即两个底边对应的角）相等，则这个三角形是等腰三角形。

我们可以通过测量三角形的角度来判定它是否为等腰三角形。

3. 应用等腰三角形的性质等腰三角形的性质在几何学中有着广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景：应用一：求解等腰三角形的边长和角度已知等腰三角形的一些长度或角度信息，可以利用等腰三角形的性质来求解剩余的边长和角度。

应用二：证明几何定理在证明几何定理的过程中，可以利用等腰三角形的性质来辅助推导或证明其他定理。

应用三：解决实际问题等腰三角形的性质在实际问题中也有一定的应用价值，例如在设计对称物体、计算三角形的面积等方面。

总结：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两个底角相等、顶角较小等性质。

我们可以通过边长或角度来判定一个三角形是否为等腰三角形。