p-3型分布参数估计

反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2

《水资源研究》 第 27 卷 第 4 期( 总第 101 期) 2006 年 12 月
PIII 型分布频率分析在 Excel 中的实现及应用
黄继文
( 山东省水利科学研究院 , 山东 济南 250013) 摘 要 : 探讨没有其他专业绘图 软件帮助的情况下 , 在 Excel 中 利用规划求解 、GAMMADIST 和 GAMMAINV 函数 实现用 P -III 型曲线进行水文频率计算 , 为广大基层水 文工作者 提供一个既 简单又便 捷的水文 频率分 析计算 的方法 。 关键词 : Excel ; P -III 型分布 ; 频 率分析 ; GAMMADIST 函数
图 1 GAMMADIST 函数计算示意
5 应用实例
根据 P -III 型分布密度函数和 GAMMADIST 函数的关系 , 在 对某一系列( 降雨 、径流或其他 系列) 采用 适线法 进行频 率分析 时 , 可以在 Excel 中进行 。 现有某站 1960 ～ 2003 年降水量系列资料 , 见表 1 。 试 用 P III 型分布进行适线分析 , 并计算频率为 P =50 %、 P =10 %、 P =1 %、 P =0 . 1 %时的降雨量 。
图 2 相对误差计算示意
( 7)利用 Excel 中的 规 划求 解功 能 优化 配 线 , 反 求 α 、β 、b 值 。 可采取最小二乘法 准则以 偏差平 方和最 小为目 标 , 但 为了 照顾频率值较小的点以相对误 差平方和最小为目标较好 。 调用 Excel 中规划求解功能 , 以 b 、α 、β1 值为变量 , 计算方法见图 3 、图 4 。 如图所示 , 规划求解“ 目标 单元格” 为 相对误差 平方 和 , 目标 值选“ 最小” , 可变单元格为 b 、α 、β1 值 , 然后点 击“ 求 解” 。 最终 求出的结果 b 、α 、β 1 值分别为 167 . 27 、6 . 05 和 77 . 86 。 ( 8) 根据确定的 b 、α 、β1 值利用 GAMMAINV 函 数就可 以计 算出不同频率下的降 水量值 , 计算方法见图 5 。

3、理论频率曲线
PⅢ型分布
f(x) (
)xa01e(xa0)
4
C
2 s
2
xCV Cs
a0
x1
2CV Cs
水文计算中，一般需求出指定频率p所对应
的随机变量取值，例如，频率为1%（百年一 遇）的设计洪峰流量。
p p (x x p) ()x p(x a 0 ) 1 e (x a 0 )d x
§7-3 P-Ⅲ型分布参数的估计
一、 P-Ⅲ型分布
在水文频率曲线线型选择上，世界各地差异很大， 常用线型达20多种。我国20世纪60年代以来，通过对洪 水极值资料的验证，认为P-Ⅲ型能较好拟合我国大多数 河流的洪水系列，因此我国水利水电工程水文计算规范 推荐采用该分布。
P-Ⅲ型分布的密度函数： f(x) ()(x a 0) 1e (x a 0)•xa 0
二、 适线法
研究发现：极大似然法用于估计P－Ⅲ型分布 参数时，需要试算，而且有时似然方程无解，因 此，在我国水文计算工作中并不常用。对P－Ⅲ分 布，我国常采用适线法估计其参数。
• 四、现行水文频率计算方法——适线法
用有限的样本观测资料估计总体分布线型
中的参数，如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。
1、P—Ⅲ型的分布参数初估方法
的假定值。估计时，因Cs 的抽样误差太大，
一般不计算Cs，而是根据经验假定 Cs为 Cv的某一 倍数（如 Cs=2Cv）。
（值4），根以据xp假为定纵的坐x标、，Cvp、为C横s，坐查标附，表即4可，得计到算频x率p
曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经 验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（样 本均值估计误差小，一般不做调整；主要调整 Cv、Cs）再次进行计算。

P—Ⅲ型曲线参数估计方法研究综述作者：雷冠军王文川殷峻暹张丽丽来源：《人民黄河》2017年第10期摘要：水文频率分析以概率统计理论为基础，通过建立模型来优化理论频率曲线参数，对经验频率曲线进行延展。

对P-Ⅲ型曲线参数估计的矩法、概率权重矩法、权函数法、线性矩法、优化适线法、加权适线法、数值积分算法、优化适线准则在水文频率参数估计中的研究和应用，以及水文频率参数估计的不确定性研究进行了介绍和阐述，并提出了水文频率参数估计的建议：①加强对水文序列不确定性机理的研究，使水文频率分析的适线结果具有较好的延展性；②应立足于现有的水文频率参数估计的理论基础，针对不同的适线目的和数据精度，选择合适的参数估计结果，提高人机交互水平，将客观信息和主观经验结合起来，为水利设施规划、工程规模的确定提供有力支持；③水文序列存在非一致性，应对水文序列的不确定性和模型参数估计的不确定性加以有效分离和衡量，进一步提高适线精度。

关键词：不确定性；目标函数；适线法；解析法；参数估计；P-Ⅲ型曲线水文频率分析计算以概率统计理论为基础，运用理论频率曲线对水文序列进行展延。

正确的水文频率参数对于确定工程规模、合理规划水利设施、有效利用资金等具有重要的意义和价值。

由于水文序列样本容量有限，加之历史特大洪水的存在、样本点据的精度以及适线的目的不同，因此根据已有的样本点确定理论频率曲线后，在对经验点据进行展延时需要综合考虑各种因素，反复协调试算。

我国水文频率分析计算中规定以P-Ⅲ型曲线为通用线型，均值、变差系数和偏态系数为待定参数。

参数的估计方法可分为解析法和适线法两大类，解析法包括矩法、权函数法、概率权重矩法、线性矩法等，适线法包括目估适线法和优化适线法。

目前在工程实践中频率参数的确定采用的是二者联合运用的方法：运用解析法求出参数初值，根据适线目的、点据的精度和重要性，采用目估适线法或优化适线法进行参数调整，最终确定出最优且合理的频率曲线。