2015年春季五年级奥数讲义

第一讲定义新运算✿知识精要1、我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。

如：2＋3＝5，2×3＝6。

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”。

2、解题关键：是要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。

3、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。

✿例题精讲：例1、设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。

（1）求5△6；6△5。

（2）求（17△6）△2 ；17△（ 6△2）。

（3）这个运算△有交换律和结合律吗？（4）如果已知4△b=2,求b。

练习：1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。

试计算3○4。

2、设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。

试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）例2、对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b。

（1）求6 ⊕ 2；2 ⊕ 6。

（2）求（17 ⊕ 6）⊕ 2 ；17 ⊕（ 6 ⊕ 2）。

（3）这个运算⊕有交换律和结合律吗？（4）如果5⊕x=17,求x。

练习：1、对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。

（1）求3⊕5, 5⊕3 。

（2）求12⊕（3⊕4）, （12⊕ 3）⊕4。

2、对于两个数A与B，规定：A○B=A×B÷2。

试算6○4，4○6。

例3、如果：2△3=2＋3＋4,5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。

练习：1、如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。

2、如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。

例4、对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。

已知x□6=27，求x。

练习：1、如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。

已知x□3=5973，求x。

2、对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。

例5、2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。

按此规律计算：7▽3。

练习：1、有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。

按此规律计算：8▽4。

2、⊙表示一种新运算符号。

已知2⊙3=9，7⊙2=15，3⊙5=25。

按此规律计算：16 ⊙4。

✿针对练习：1、有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。

已知A▽6=17，求A。

2、对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。

如果5⊕x=29，求x。

3、如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。

4、如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。

3、有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：5▽2=60，7▽3=861，4▽4=4936，按此规律计算：1▽5。

第二讲假设法解题✿趣味数学“鸡兔同笼”问题是我国古代一类著名的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代名著《孙子算经》中。

在那时，一个名叫孙子的人。

有一天，他到一位朋友家中做客，看到朋友养了很多的鸡和兔，随口问道：“你家里养了多少只鸡和兔啊？”朋友回答说：“鸡、兔共35只，脚共94只。

请你算一下，鸡、兔各有几只？”你们知道孙子的朋友家养的鸡和兔各多少只吗？✿知识回顾1、笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数有10个头，从下面数有32条腿。

鸡和兔各有几只？2、鸡兔同笼，共有45个头，146条腿。

笼中鸡兔各有多少只？3、停车场上停放了39辆三轮车和自行车，两种车共有108个轮子。

三轮车和自行车各有多少辆？✿例题精讲例1、52名师生到颐和园去划船，共租了11条船。

每条大船坐6人，每条小船坐4人，且每条船恰好坐满。

大船、小船各租了多少只？例2、为了迎接“新中国60华诞”，学校组织了“祖国在我心中知识竞赛”。

共20道题，每做对一道题得5分，做错或未答扣2分。

小明本次竞赛得了79分，他做对了多少道题？例3、有5元和10元的人民币共14张，共100元。

问5元币和10元币各多少张？例4、运输公司给某工厂运送2000箱玻璃。

合同规定：完好运到一箱给50元运费；如损坏一箱，不但不给运费，还要赔偿400元成本费。

这批玻璃运到后，运输公司共收到运货款91900元。

运输过程中，损坏了几箱玻璃？例5、有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元。

已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？✿针对练习：1、鸡兔同笼，共有100个头，320只脚。

鸡兔各有多少只？2、签字笔每支1.9元，圆珠笔每支1.1元。

小红两种笔共买了16支，花了28元。

小红两种笔各买了多少支？3、停车场上停放了24辆汽车和三轮摩托车，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。

那么，停车场上有三轮摩托车多少辆？4、六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花28元。

其中单程票每张0.2元，往返票每张0.4元。

那么单程票和往返票相差多少张？5、某此数学竞赛，共有20道题。

每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分。

小聪本次竞赛得了60分，他做对了多少道题？6、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。

有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。

问两种诗个多少首？7、有2分和5分硬币共78枚，总钱数为2元6角4分。

两种硬币各多少枚？8、小明从甲地翻山到乙地，路程是19.5千米，上山每小时走3千米，下山每小时走5千米，共花5.5小时。

问上、下山各用多少小时？9、鸡兔同笼共100只，鸡的腿比兔的腿多80只，问鸡与兔各多少只？10、甲、乙、丙三个数的和是260，其中甲数比乙数多20，乙数比丙数多60，甲，乙，丙三个数各是多少？11、王老师在班上搞了一次数学小测验，共20道选择题，规定答对一道题得8分，答错一道题扣5分，不答得0分，结果小华一共得了92分。

问小华一共答对了几道题？12、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。

其中7元的和5元的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？13、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少张？14、100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。

求大小和尚各有多少个？15、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对。

问蜻蜓有多少只？（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀）第三讲倍数与因数（一）✿知识精要：被除数，除数，商都是整数，并且结果没有余数，符合这两个条件就称为“整除”。

一个数的因数是，最小的是，最大的是。

一个数的倍数是，最小的是，最大的是。

既是一个数的因数又是这个数的倍数是。

能被2整除的数的特征：我们把能被2整除的数叫做。

不能被2整除的数叫做。

能被5整除的数的特征：能被3整除的数的特征：既能被2又能被5整除的数的特征是能被2、3、5整除的数的特征是✿例题精讲：例1、找规律，按照下面每个数因数的个数进行分类。

1的因数： 2的因数：3的因数： 4的因数：5的因数： 6的因数：7的因数： 8的因数：9的因数： 10的因数：总结：叫做质数。

质数有个因数。

叫做合数。

合数最少有个因数。

既不是质数也不是合数，它有个因数。

最小的质数是。

最小的合数是。

自然数中，既是质数又是偶数。

练习：写出100以内所有的质数。

例2、﹙1﹚36是质数还是合数？。

﹙2﹚把36写成几个质数相乘的形式： 36＝方法一：方法二：总结：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做。

“质因数”既是这个数的数，还必须是数。

练习：用短除法将8，30，24，50分解质因数。

例3、写出每组数中公有的因数。

8和9：18和1：3和6：13和14：1和30：9和12：25和26：13和31：18和24：总结：当叫做“互质数”思考：哪种情况下的两个数一定是互质数？（1）（2）（3）练习：下面哪几组是互质数？14和15 9和16 1和20 13和23 81和2724和15 31和62 23和46 15和50 91和14例4、12和18两个数的最大的公因数是？方法一：（求两个数的因数）方法二：（分解质因数）方法三：（短除法）练习：求下面各组数的最大公因数。

8和14 15和25 81和27 91和21 56和72例5、12和18两个数的最小的公倍数是？方法一：（求两个数的倍数）方法二：（分解质因数）方法三：（短除法）练习：求下面各组数的最小公倍数。

7和14 15，70和25 45和36 16，64和24 57和9例6、用短除法求最大公因数和最小公倍数。

99和11 64和16 5 ，45和1511和12 13和17 8，9和7总结：（1）当两个自然数是关系时，它们的最大公因数是，它们的最小公倍数是。

（2）当两个自然数是关系时，它们的最大公因数是，它们的最小公倍数是。

练习：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

50和7578和26 6和1136和5415和2035和42 8、24和3645、60和75✿针对练习一、填空：1、写出下列数的所有因数16（）87（）23（）45（）81（）9（）62（）14（）2、30＝1×30＝（）×（）＝（）×（）＝（）×（）3、6×4=24，6和4是24的（），24是6的（），也是4的（）。

4、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。

5、既是42的因数，又是7的倍数，这些数有（）、（）、（）、（）。

6、既是24的因数又是8的倍数：7、能同时被2、3、5整除的两位数有()。

8、有因数3，也是2和5的倍数的最小三位数是（）。

9、凡是个位上是（）或（）的数，都是5的倍数。