常用逻辑用语一、命题及其关系、充分条件与必要条件（一）【知识梳理】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：；否命题：；逆否命题：(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的条件；若q⇒p，则p叫做q的条件；如果p⇔q，则p叫做q的条件（二）【范例导航】探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．探究点三充要条件的证明例3设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.（三）【巩固练习】1．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0 2．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b∈M，则a∉M 二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（一）【知识梳理】1．逻辑联结词命题中的叫做逻辑联结词．“p且q”记作，“p或q”记作，“p”记作2．命题p∧q，p∨q，非p3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做，可用符号简记为，它的否定（二）【范例导航】探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假例1写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“非p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，则下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧非q ”是假命题；③命题“非p ∨q ”是真命题；④命题“非p ∨非q ”是假命题，其中正确．．的是( ) 探究点二 全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12. （ ） (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. （ ）(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . （ ） (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3. （ ） 变式迁移2下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3探究点三 全称命题与特称命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3 命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ． 存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R,2x >0 （三）【巩固练习】1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<02．若命题p ：x ∈A ∩B ，则綈p 是( )A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∪B3．若p 、q 是两个简单命题，且“p ∨q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 5．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4三、期末试题案例1。
第二单元 常用逻辑用语考点要求1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义． （3）全称量词与存在量词 ① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．第一节 命题与充要条件自主学习1．常用逻辑用语 （1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题； 2．四种命题的形式原命题：若p 则q ， 逆命题：若q 则p ，否命题： 若p ⌝ 则q ⌝，逆否命题：若q ⌝ 则p ⌝， 3．四种命题之间的关系：注：①原命题为真，但其逆命题不一定真；其否命题不一定为真；其逆否命题为真．②互为逆否命题的两个命题同真同假．③否命题即否定条件又否定结论；命题的否定仅否定结论. 二、充分必要条件：一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件． 可分为四类：1. 充分不必要条件，即p q ⇒成立，而q p ⇒不成立；2. 必要不充分条件，即p q ⇒不成立，而q p ⇒成立；3. 既充分又必要条件，即p q ⇒成立，又有q p ⇒成立；4. 既不充分也不必要条件，即p q ⇒不成立，又有q p ⇒不成立．一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作：p q ⇔.“⇔”叫做等价符号．互 逆互 为 为 互否 逆 逆 否互 否互 否互 逆这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，称p是q的充分必要条件，简称充要条件．三、反证法的三步骤：①反设：假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立．②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾．③结论：由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立．教材透析逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p．（2）复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：“p且q“p或q“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；③真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．（3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假．（5）全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。
