最大流标号法

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求解网络最大流问题的标号算法

求解网络最大流问题的标号算法赵礼峰;白睿;宋常城【摘要】It provides a new way-labeling algorithm to solve network flow. Every vertex is labeled and vertex has the same number in arc as grades. Choose the way that has a grade. After every way that has only a grade,choose the way that has bigger arc capacity and shorter path. The algorithm is easy to understand and avoids the shortcomings of several labeling and adjusting process through improving Ford-Fulkerson labeling algorithm. The algorithm improves efficiency to solve the maximum network flow. The algorithm gives specific steps and manifests the practices of the algorithm through example.%给出了一种新的求解网络流问题的标号算法,对每个顶点进行标号,顶点有几个人弧,即有几个标号,每次在选择路径时先选取只有一个标号的路径,当所有单标号的路径走完时,再按照弧容量较大且最短的路径选择增广链.通过对Ford-Fulkerson标号算法进行改进,使得该算法容易理解,且又避免了Ford-Fulkerson标号算法在求解网络最大流问题时需经过多次的调整与标号,从而大大提高了求解最大流执行的效率.该算法通过实例给出了具体算法步骤并且表明了算法的实用性.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2011(021)012【总页数】3页(P113-115)【关键词】最大流;Ford-Fulkerson标号算法;增广链;标号【作者】赵礼峰;白睿;宋常城【作者单位】南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言在现实生活中，存在着大量的“流”的问题，计算机技术和网络技术的迅速发展使得网络最大流问题在通信、物理、电力等科学领域都得到了广泛的应用。

最大流

割是分离A和F的弧的集合,若切断一个割的所有弧对应的桥梁, 就可切断A和F之间的线路。切断最小割包含的弧对应的桥梁，是切断A和F之间线路的桥梁数最少的方法。
由最大流最小割定理，分离A和F的最小割容量等于由A到F的最大流量 A(0,+) 1,1 2 ,1 1 1, 1,0 2,1 D 2,0 B E C 1,1 2,0 (B,1) (A,1) 1 2, 2,1 F 由上图得知：已标号点为A，B，C，而D，E，F不能获得标号，从而知道该最大流对应的最小割为{（A，E），（C， D），（C，F）}因此，切断AE，CD，CF三座桥梁，即可阻止对方部队过河。
3 3 2 v4
割集容量 6 7 7 5 11 8 最小割 { (v1, v2) , ( v1, v3) } { (v1, v3) , ( v2, v5) } { (v1, v2 ) , ( v3, v2) , (v3,v4 ) } { (v2, v5) , ( v3, v4) } {(v1, v2) , ( v3, v2),(v4,v2) , (v4,v5)} { (v2 , v5 ) , ( v4 , v5 ) }
• 割中所有弧的容量之和称为该割的容量
C (V1 ,V2 )
( v i , v j )(V1 ,V2 )

c ij
所有割中容量最小的称为最小割
v2 2 v1 4 v3
V1 {v1} {v1,v2} {v1,v3} { v1,v2,v3 } {v1,v3 ,v4 } {v1 ,v2 ,v3, v4} V2 { v2 ,v3 ,v4 , v5 } { v3 ,v4 ,v5 } {v2 ,v4, v5} { v4, v5 } { v2 ,v5 } { v5 }
1,1

网络最大流问题

t(v4 ,1)
7(6)
v2 (s,1)
9(9)
k
10 (9)
v4 (v3 ,1)
该网络的最小割为
(V,V)(3,t),(2,4),最小割的5容 9量 14为 .
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13
§6.5 中国邮递员问题
一个邮递员从邮局出发分送邮件，要走完他负责的所有街道，最后再返回邮局。应如何选择路线，才能使所走的路线最短，这就是中国邮递员问题。 1962年，管梅谷先生提出中国邮递员问题。
v5
21
例子的初始可行解
v2
5
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
22
例子的修正解
v2
1
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
23
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
一条可增值v 链（。 4，3） v
（3，3） 2
4 （5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
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（5，1）
（2，1）
3
v （2，2） v
（3）截集与截量
截集（割V 集分）为：二将非V 空 1与 V互 1，补 v使 s集 V1,vt V1。
称弧（ v集 i,vj） viV1,vjV1为 D的一个截集 V1,， V1）记。为
图，最大流量v=5，同时得最小截
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（ V ,V ）（ v,v）v ， ,v）。（

运筹学第7章最大流问题(精简)

vs [v , 1]
5
(2, 0)
v5 v1
[vs, 3] (2, 2)
v3
(4, 0)
[v3, 1]
[-v4, 1]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
调整后的可行流如下图： v2
(4, 4) (1, 0) [-, ∞] vs (5, 2) (1, 0) (3, 1) (2, 1)
(4, 4)
v4
网络上的流，是指定义在边集E上的函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1 vs 5,2 1,0 v1 1,0 3,1 2,1 2,2 v3 4,1 v4 5,2 vt
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
标号过程: (1)给vs标号(∆,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这时的可行流就是最大流，算法结束。调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后向边流量减少l(vt)。
v2 3 vs 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4 5 vt

第五节最大流问题

i j
2、网络流
如果在网络N=(V,A,C,x,y)中，定义在弧集上的一函数f满足：（1）对任一条弧(vi ,vj),cij≥fij
（2）对中间顶点vk
f
i
j
ik
f kj
j
对于源x和汇y, f x j fi x fi y f y j V f
i i j
则称f为N的一个网络流（可行流）。称 Vf为f流量。
3、最大流网络中从x到y流值最大的可行流，称为从x到y最大流. 一个流 f ={ fij },当fij = cij,则称流 f对边(vi ,vj) 是饱和的,否则称f 对边(vi ,vj)不饱和。 4、增广链设P是从源x到汇y的一条链，定义P的方向是从x到 y的。称P上与P的方向一致的弧为前向弧，记 P+ . 称P上与P的方向相反的弧为反向弧，记P- . P是网络N=(V,A,C,x,y)中从源x到汇y的一条链，f为 N的一个网络流，若对任一a∈ P+ ，f(a)<c(a)，对任一a ∈ P- ，f(a)>0，则称P为N中关于流f的一条增广链。
f(a) a p f f(a) a P f(a) 其它弧
(2)去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新标号。
例1：用最大流算法求下图所示网络的最大流。
4.3 x v2 4.2 4.0 v3 7.2 y
1.1 6.0 8.2 2.2 9.3 2.2 v4 v5
1.1 6.0 8.2 2.2 9.3 2.2 v4 v5
x
V2(v4 ,-,2) 4.1 4.2 8.2
v3 (v2 ,+,2) 7.3 x
4.4
v2 4.1 4.2

最大流算法小结

网络最大流的算法网络最大流的算法分类：一、Ford-Fulkerson增广路方法1、Ford-Fulkerson标号算法（最简单的实现）分别记录这一轮扩展过程中的每个点的前驱与到该节点的增广最大流量，从源点开始扩展，每次选择一个点（必须保证已经扩展到这个点），检查与它连接的所有边，并进行扩展，直到扩展到t。

2、最大容量增广路算法每次找一条容量最大的增广路来增广，找的过程类似Dijkstra，实现起来相当简单。

3、Edmonds-Karp，最短路增广算法的BFS实现每次找一条最短的增广路，BFS是一个可以很方便的实现思想。

4、距离标号算法最短路增广的O(n)寻找实现，使用距离函数d：d[t]=0;d<=d[j]+1若存在(i,j)∈E；只有路径上满足d=d[i+1]+1的增广路才为满足要求的，一开始我们初始化使标号恰好满足要求，之后不断更改标号使其可以使增广继续。

5、Dinic，分层思想对网络分层（按照距t的距离），保留相邻层之间的边，然后运用一次类似于距离标号的方法（其实质是DFS）进行增广。

二、预留与推进算法1、一般性算法随便找个点，要么将他的盈余推出去，要么对他进行重标记，直至无活跃点为止。

2、重标记与前移算法维护一个队列，对一个点不断进行推进与重标记操作，直至其盈余为0，若过程中他没有被重标记过，则可出列，否则加入队头，继续等待检查。

3、最高标号预留与推进算法记录d值，然后优先处理d值较高的，直至没有盈余。

网络最大流的算法实现一、Edmonds-Karp（EK）算法就是用广度优先搜索来实现Ford-Fulkerson方法中对增广路径的计算，时间复杂度为O(VE2)，Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的Dinic 算法都属于此。

SAP 类算法可统一描述如下：Shortest Augmenting Path{ x <-- 0while 在残量网络Gx 中存在增广路s ~> t do{ 找一条最短的增广路径Pdelta <-- min{rij:(i,j) 属于P}沿P 增广delta 大小的流量更新残量网络Gx}return x}在无权边的有向图中寻找最短路，最简单的方法就是广度优先搜索(BFS)，E-K 算法就直接来源于此。

运筹学05-图与网络分析3-最大流

(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(0,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
再检查vi，直到vs为止
min1,2
1 min cij fij 对于增广链上的前向弧
2 min fij 对于增广链上的后向弧
(2)以为调整量进行调整
fij
'
ffiijj
(vi , vj ) (vi , vj )
fij (vi , v j )
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
v2

最大流问题标号法例题详解

最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。

题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。

解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。

首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。

2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。

3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。

4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。

最大流问题的标号

• • • • • • • • • • • • • • • • • •
4、输出最大流的流量 Procedure answer; Var I,tot:integer; x:link; Begin tot:=0; for i:=1 to n do begin x:=d[i]; while x<>nil do begin if x^.f>0 then 输出弧(i,x^.k)及其流量x^.f； if (i=s) and (x^.f>0) then tot:=tot+x^.f; x:=x^.next; end; end; 输出最大流量tot； End;
2
(3,3)
(4,3)
4 (5,3)
s
(5,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,1)
(3,0) (1,1) (2,1) 1 (2,2) 3 t
弧旁的数字是（cij,fij）
二、标号法的算法流程
• 1、数据结构：采用邻接表D存储。 • Const maxn=xxx; • Type link=^dtype; • dtype=record • k:integer; {顶点序号} • f,c:integer; {流量，容量} • next,pre:link; {后向弧指针，前向弧指针} • end; • Var d:array[1..maxn] of link;
• （2）若在弧（vj,vi）上，fji>0,则给vj标号（-vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),fji}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 • 在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可行流即最大流。