1空间角(kongjianjiao

空间角定理

空间角定理是指在三维空间中，两个直线之间的夹角可以通过它们在平面上的投影以及它们在空间中的夹角来求得。这个定理是空间几何中非常重要的定理之一，可以用在很多不同的数学和物理问题中。

首先，我们来看一下这个定理的几何图像。假设有两个非平行的直线AB和CD，它们在空间中的夹角为α。我们将这两个直线在一个平面上的投影分别表示为A'B'和C'D'，它们在平面上的夹角为β。那么空间角定理告诉我们，这两个夹角之间有一个关系式：

cos(α) = cos(β)cos(γ) +

sin(β)sin(γ)cos(δ)

其中，γ表示A'B'和C'D'的夹角，δ表示这两条直线所在的两个平面的夹角。这个公式可以用于计算任意两条直线之间的夹角，只需要知道它们在平面上的投影和它们在空间中的夹角即可。

空间角定理的推导可以通过向量的方法进行，它的基本思想是将直线的方向向量表示为一个向量，然后通过向量的点积和叉积来计算夹角。这个方法虽然比较抽象，但是它的推导过程非常严密，也是空间向量运算的基础之一。 除了可以用于计算直线夹角之外，空间角定理还可以用于解决其他几何问题。例如，我们可以利用它来计算球体的表面积和体积。对于一个球体，我们可以将它切割成很多小块，然后计算每一小块的表面积和体积，并将它们加起来得到最终的结果。在这个过程中，我们需要用到空间角定理来计算每一小块的表面积和体积。

空间角定理在物理学中也有广泛的应用。例如，在电场和磁场的相互作用中，我们可以用它来计算两个电荷或者两个磁极之间的力和力矩。在开发物理学理论和设计物理实验时，空间角定理也常常被用到。

总之，空间角定理是空间几何中非常重要的一个定理，它可以用于计算直线之间的夹角，解决球体表面积和体积的问题，以及在物理学中的应用等等。对于那些热爱数学和物理的人来说，学习空间角定理是非常值得的。

高三下期数学（文科实验班）教案（一）（学生卷）2010.3.14

第 1页（共11页） 专题一：空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,]2。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,ab 垂直，记作ab。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。

直线和平面所成角范围：0，2。

（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内

经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，

且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，

则有coscoscos21 。

由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面

内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直

线所成角中最小的角。

3．二面角

（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l。

（2）二面角的平面角：

过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内．．．．．．

作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角

l的平面角。

说明：①二面角的平面角范围是0,，因此二面

第 43 讲 空间角-求线线夹角

（第1课时）

空间角

作平面角的方法）二面角的平面角（定义二面角面面夹角计算方法角的范围定义线面夹角计算方法角的范围定义线线夹角

重点：1．各类空间角的范围；2．各类空间角的求法。

难点：作出各类空间角，特别是二面角的平面角。

1．理解线线夹角、线面夹角和面面夹角的概念；2．掌握上述三种空间角的范围；3．能正确作出上述三种空间角；4. 能求出上述三种空间角。

考得较多的是异面直线成角和二面角。

1．求线线夹角

⑴ 定义：从二异面直线外的任一点引这两异面直线的平行线，引出的这两条直线所夹的锐角或直角叫做这两异面直线所成的角。

范围：两异面直线所成的角 ]2,0[ 。

⑵ 求线线夹角的步骤如下：

①找出或作出线线夹角；

②证明其确实是所求的线线夹角；

③计算角的值，一般均在三角形中进行。

⑶ 求线线夹角常用的方法如下：

①若两线共面，用平面几何或三角知识来解。

②若两直线异面，可在其中一条上取一特殊点，过此点引另一直线的平行线。

③若两直线异面，可在两直线之外取一特殊点，过此点分别引两直线的平行线。 神经网络 准确记忆！

重点难点 好好把握！

考纲要求 注意紧扣！

命题预测 仅供参考！

考点热点 一定掌握！ 例．如图1-1，已知一个直角三角形的两直角边的边长分别为a、b，把这个三角形沿斜边上的高折成直二面角，如图1-2。求两直角边夹角的余弦。

解：图1-2中，连接BC，

∵ BDAD，CDAD，∴ BDC是二面角的平面角。

∴ 90BDC，

图1-1中， 222baaBD ，222babCD ，

∴ 图1-2中，2244222babaCDBDBC ,

A1

x D1

B1

A D

B C C1

y z

E1 F1

H

G 课题：空间的角的计算（1） 第一课时

教学目标：

知识与技能：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题。

过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。

情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。

教学环节 教师活动 学生活动

一、复习引入

二、新课导入

三、例题讲解

1、法向量在求面面角中的应用：

原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。

2、法向量在求线面角中的应用：

原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。

例1 在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。

解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG

1715cosAHG

解2：（向量法）设bFDaDD111,4，则||||ba且ba

222212117)4(||||abaBEDF

21115)4)(4(ababaBEDF

1715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE

解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DDDCDA为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD

)4,1,0(1BE,)4,1,0(1DF，1BE1DF＝15

1715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE

例2 在正方体1111DCBAABCD中, F分别是BC的中点，点E

思考

思考

小结

例题分析

A1

x D1

B1

A D

B C C1

y z E1

F

ABCSxzy

四、练习

五、小结

课后反思

在D1C1上,且11ED41D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小