空间角

空间角的求法

一、异面直线所成角的求法

平移法

常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

（1）直接平移法

例1 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的正切值。（524）

（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

例2 设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。（510）

（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。

例3在正方体1111DCBAABCD中，E是1CC的中点，求直线AC与ED1所成角的余弦值。（510）

B

M

A N

C S

二、线面角的三种求法

1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1四面体ABCS中，SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（60°） （2）SC与平面ABC所成的角。（77）

（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）

2.利用公式lhsin：其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

高三数学知识点：空间角问题知识点总结

下面整理了高三数学知识点：空间角问题，希望大家能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时间进行复习。

一、直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

二、直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。

在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

三、解题技巧

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息

(1)斜线上一点到面的垂线;

(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

高三数学（理）一轮复习导学案 编号6

把基础练成一种素养 把准确练成一种实力 把敏捷练成一种品质 第 1 页 共 2 页 D1C1A1B1ABCDE授课教师 主备人 校对人 审核人 备课时间 授课时间 随堂记录

刘春燕 逯文偲 逄士佐

课 题 六、 空间几何中角问题

【考纲要求】能运用公理、定理和已获得的结论求一些空空间图形中所成角的简单命题

【知识清单】：

（一）异面直线所成的角：

1、定义：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线

，,ab所成的角的大小与点O的选择无关，把,ab所成的

叫异面直线,ab所成的角（或夹角）范围：

为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。

（二）直线和平面所成的角

线面角的定义：平面的一条 叫做这条斜线和这个平面所成的角，

（2）范围：[0,90]；

（3）求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；

（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

（三）二面角

1.二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角 二面角的平面角范围是[0,180]；

空间角

一、 三维目标

1、知识与技能：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。

2、过程与方法：经历向量法求空间三种角的过程，体会空间向量夹角公式的应用，培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从

“定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。

3、情感、态度、价值观：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.

二、教学重点与难点

重点：用直线的方向向量、平面的法向量、向量夹角公式求空间三种角

难点：（1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别； （ 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.

根据三种空间角的定义和范围，结合具体的图形和向量夹角公向量法求三种空间角的公式，并且注意根据向量夹角与三种空间角的关系，恰当的进行转化。

三、教学建议：向量知识的引入是高中数学教材改革的一个亮点。本节课是在学生已经掌握空间向量的坐标运算、线段式运算及异面直线所成角、线面角、二面角的基础上，进一步研究用向量法求解这三种角。它既是对空间角的深入研究，又突出体现空间向量作为一种重要工具，为立体几何中夹角的求解提供了通法。本节课主要是通过寻找异面直线所成角、线面角、二面角与向量夹角间的关系，分析例题，总结解题思路。所以，遵照以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，采取教师提供资源，创设情境，引导学生主动参与，自主进行问题的探究学习。通过启发、提问、小组讨论、教师点拨、演示过程、归纳总结的教学方法，让学生想、学生做、学生说，并采用多媒体电教手段，增加课堂容量，激发学习兴趣。

四、教学流程

新知探究：空间三种角的向量求法。三个公式的统一性在于都是向量夹角公式的应用，将空间角的求解转化为向量夹角的求解；区别在于由于空间角的定义和范围的区别，三个公式各不相同，向量夹角与空间角的关系也不相同，应注意求出向量夹角后，如何转化为空间角。