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空间角的几点思考

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空间角的几点思考

摘要：数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力。不断满足学生继续学习的需要，因此在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，从而提高学生的数学解题能力。

立体几何作为高考重点考察的部分，其中的线面关系知识经常以解答题的形式出现，具体有两类问题：一是关于线面的定性问题，如平行、异面、垂直等；二是关于线面的定量问题，如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。本文就空间角的处理通法的探究问题→解决问题→通法提炼，谈谈我自己在教学中对数学本质的认识。

关键词：线面角 二面角 转化

1、研究背景

1.1 考点背景

立体几何是高中数学的重要内容之一，在培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力等方面具有不可替代的特殊地位，是目前高考数学的重点考查内容。从题型上看，选择题一般考查空间点、线、面的关系，填空题一般考查几何体的三视图和表面积、体积运算，解答题第一问一般考查空间平行与垂直关系的证明，第二问一般考查学生空间角的运算（近三年依次是：18年线面角、19年线面角、20年二面角）。其中空间角的计算既是考查的重点也是考查的难点。

1.2 学生情况

我所执教的两个教学班，学生对空间关系有了一定的认识，能判断和证明一些简单的空间关系，会计算几何体的表面积与体积，但是在空间角的处理上没有形成一套行之有效的方法，历次考试中的得分率偏低。 基于上述的说明，本文试图从角的本质来探寻一些可以解决空间角的通法，简化空间求教的思维，提升学生的应试水平。

2、空间角的本质

立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角这三种。其实不管是那一类角，究其本质都是将平面中的角经过平移后产生的几何图形，所以我们要做的工作就是在具体的求解中应用各种手段（平移、构建特殊三角形）将空间角转化为平面角，再运用平面角的计算方法完成求解。简单归纳就是先“作”后“算”。

e g1：(2010·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1中 ，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于。

解：分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，

设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝，DF＝，

由余弦定理得，∠DEF＝120°.

eg2：(2010·江西高考)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小.

解 ：(1)取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．

因为OB＝MO＝，MO∥AB，所以＝＝，EO＝OB＝，所以EB＝2＝AB，故∠AEB＝45°. eg3: (2010·江西高考)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

解 ：(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，即平面ACM与平面BCD所成二面角的平面角，设为θ.

因为∠BCE＝120°，所以∠BCF＝60°.所以BF＝BC·sin60°＝，又AB＝2，AB⊥BF，所以AF＝，所以sinθ＝.

即所求二面角的正弦值是.

归纳：求解这三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值。其一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一三角形中进行计算。

3、空间角的求解通法研究

3 .1平面角的求法：常用的方法有两种

3.1.1利用三角形知识求角：正弦、余弦定理

（1）正弦定理：＝＝

余弦定理：cosA＝

（2）当三角形为直角三角形时则可直接求其正弦或余弦值

s inA＝，

cosB＝

3 .1.2向量求夹角 cosθ＝

说明：向量的本质其实就是带方向的有向线段

此外利用直线的到角与夹角公式也是求解平面角的一种方法，但是新课标中已经作了删减，本文就不再展开。

3.2空间角的求法。空间角的本质是经过平移后的平面角，故其解决的方法就是充分运用各种有效手段将空间角还原为平面角。

求解三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值的目的。其一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一三角形中进行计算。

4、应用举例

下面围绕近三年的文科高考试题作进一步的阐释。

e g1、（2009）如图， 平面 ， ， ， ， 分别为 的中点．

（II）求 与平面 所成角的正弦值．

分析：本题破解的关键在于找到面ABE的高CQ可以通过证明CQ⊥面ABE来说明.

方法一、构建直角三角形ADP，把线面角转化为线线角，sinθ＝（DP//CQ）；

方法二：以C为直角顶点建立直角坐标系，求出面ABE的法向量ｎ，运用向量法完成求解

sinθ＝

方法三、不建系直接计算sinθ＝ eg2、(2010）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

分析：本题破解的关键在于找到面A’DE的高A’M可以通过证明A’M⊥面A’DE来说明.

方法一、构建△A’MF，将所求线面角转化为三角形的一个内角，运用余弦定理求角FM A’；

方法二：以M为直角顶点建立直角坐标系，求出面A’DE的法向量ｎ，运用向量法完成求解,sinθ＝

方法三、不建系直接计算sinθ＝

eg3、（2011）如图，在三棱锥 中， ， 为 的 中点， ⊥平面 ，垂足 落在线段

上.

（ Ⅱ） 已知 ， ， ， .求二面角 的大小.

分析：本题破解的关键在于合理转化所求二面角为一个或多个平面角。

方法一：以O为直角顶点建立直角坐标系，分别求出面APB的法向量ｎ1与面APC的法向量ｎ2，运用向量法求解，cosθ＝。

方法二：直接利用定义，作BH⊥AP于H，再证明CH⊥AP，将所求的二面角的平面角转化为∠BHC，在△BHC中运用余弦定理完成求解。 方法三：证明BC⊥面ADP，将所求二面角分解为两个二面角（二面角B－AP－D 与二面角B－AP－D）的和，其中二面角B－AP－D可以用cosθ＝＝

4.总结提升

通过前面的探究与通法的提炼，让我们的学生掌握了一套求解空间角的行之有效的通用方法，无疑为他们的高考添砖加瓦。从中我的体会是解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神。所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．

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立体几何第六讲：空间中的角

立体几何第六讲：空间中的角

- 1 - 第六讲：空间中的角（二）

二面角

一，知识点

1，基本概念

1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。

2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。

2，范围：],0[

特别：重合为0，共面为，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。

3，步骤：

一找，二证，三计算

4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱；

②明确二面角的平面角是哪个？

而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

二，典型例题与解读

求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.

总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.

1 定义法

即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。

例1 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

jABCDPH- 2 - 2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

补上一课 空间角的大小比较及最值(范围)问题

补上一课 空间角的大小比较及最值(范围)问题

补上一课 ,空间角的大小比较及最值(范围)问题)

1．空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有

线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线

面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较

法及利用最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等方法．

2．立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形翻折、

点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法

等．

题型一　空间角的大小比较

角度1　同类角间的大小比较

【例1－1】 (1)(2021·嘉兴测试)已知长方体ABCD－A

1B

1C

1D

1的底面ABCD为正

方形，AA

1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC

1上一点E满足CC

1＝3CE，设异面直

线A

1B与AD

1，A

1B与D

1B

1，AE与D

1B

1的所成角分别为α，β，γ，则( )

A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α

C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β

(2)(2017·浙江卷)如图，已知正四面体D－ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，

Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，BQ

QC＝CR

RA＝2，分别记二面角D－PR

－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角为α，β，γ，则( )

A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β

C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD

1

所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD－A

1B

1C

1D

1的底面为正方形，AA

1＝

a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC

1上一点E满足CC

1＝3CE，∴A

1(b，0，a)，B(b，

b，0)，A(b，0，0)，D

1(0，0，a)，B

1(b，b，a)，E(

0，

b，a

3)

，

A1B→

＝(0，b，－a)，

AD1→

＝(－b，0，a)，

D1B1→

＝(b，b，0)，

空间中角的范围

空间中角的范围

第 1 页 共 2 页 空间中角的范围

【实用版】

目录

1.空间中角的概念

2.角的范围及其分类

3.空间角的性质和应用

正文

一、空间中角的概念

在数学中，角是由两条射线共同确定的图形部分，通常用一个小圆圈表示。在空间中，角是由两个射线或两个向量所围成的部分。与平面上的角类似，空间中的角也可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。

二、角的范围及其分类

1.锐角：锐角是指小于 90 度的角。在空间中，两个向量所围成的角如果是锐角，那么这两个向量之间的夹角一定是锐角。

2.直角：直角是指等于 90 度的角。在空间中，两个向量所围成的角如果是直角，那么这两个向量之间的夹角一定是直角。

3.钝角：钝角是指大于 90 度小于 180 度的角。在空间中，两个向量所围成的角如果是钝角，那么这两个向量之间的夹角一定是钝角。

4.平角：平角是指等于 180 度的角。在空间中，两个向量所围成的角如果是平角，那么这两个向量之间的夹角一定是平角。

5.优角：优角是指小于 180 度且大于 90 度的角。在空间中，两个向量所围成的角如果是优角，那么这两个向量之间的夹角一定是优角。

三、空间角的性质和应用

空间角具有许多重要的性质，例如，任意两个角之和等于它们所夹的 第 2 页 共 2 页 平面角的度数，任意两个角的差等于它们所夹的平面角的补角的度数等。这些性质在解决空间几何问题时非常有用。

此外，空间角还可以用于解决一些实际问题，例如，在计算机图形学中，空间角常用于计算物体的旋转和翻转，以及确定物体之间的相对位置等。

空间角的概念和应用

空间角的概念和应用

空间角的概念和应用

空间角是指两个射线在平面内的夹角。它是几何学中一个非常基础的概念，但在实际应用中也有着广泛的作用。本文将系统地介绍空间角的定义和性质，并讨论其在不同领域中的应用。

一、空间角的定义和性质

在平面几何中，我们常见的角度分为两类：一个端点是顶点的角称为尖角，两个端点在一条直线上的角称为平角，两个端点分别位于两条相交直线上的角称为锐角或钝角。而在三维几何中，射线可以在任意方向上延伸，在这种情况下，我们需要使用更为复杂的空间角概念。

具体来说，如果空间中有两个射线OA和OB，其中O是它们的公共起点，那么我们可以定义它们之间的空间角为AOB所在的平面与由OA和OB张成的空间角度量之间的夹角。在大多数情况下，我们通常选取OA和OB所在的平面作为一个基准面，这样就可以将空间角化为一个平面角，方便我们进一步计算。

空间角的性质类似于平面角。它们有一个共同的基本量度单位——弧度。一个完整的圆周对应的弧度数为2π，任意角的弧度数等于它所对应的弧长与圆的半径之比。此外，空间角也具有可加性、可减性、开放性和大小比较等性质。

二、空间角在物理学中的应用

空间角在物理学、力学、天文学等领域中具有非常广泛的应用。在物理学中，我们经常会利用空间角辅助描述一个系统中的物理过程。例如，在热力学中，我们可以使用相角来描述多组态系统中的相变行为。这是因为相角可以一目了然地表明不同相之间的相对状况，从而帮助我们更好地理解和说明相变热力学行为。

在力学中，相角还可以帮助我们描述复杂的运动状态。例如，我们可以利用相角来表征旋转物体的自转轴和公转轴之间的夹角，从而更好地控制和预测它的运动状态。此外，相角还可以用于描述阻力、电阻、电容、电感等物理量的相角特性。

三、空间角在计算机科学中的应用

空间角在计算机科学中也有着非常广泛的应用。例如，在计算机视觉和模式识别中，我们常常需要利用空间角计算两幅图像或对象之间的相似性。在机器学习和自然语言处理中，两个向量的空间角可以作为它们之间相似性的一种度量方式。