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空间角的问题

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空间角问题

空间角的计算步骤：一作，二证，三计算

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线ba,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角，的范围为（0°，90°]。

注意：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（锐角或者直角）

（2）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

（3）角AOB的度数并不等于直线AO与直线BO所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，取值范围为 。

由①②③直线与平面所成的角的范围为

。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

关键的步骤是“作角”（斜线和射影所成的角）

求线面角的方法

①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）

②方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

（3）二面角和二面角的平面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

二面角的平面角θ范围

求二面角的方法

① 义法：在棱上选择一个特殊点，过这个点分别在两个半平面内作 的射线得到平面角

②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角为二面角的平面角

③垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。

二面角

一、例题精讲

例1：立体图形P－ABC的四个面是全等的正三角形，求出二面角P－AB－C的余弦值。

注：直接法。直接作出二面角的平面角，然后利用三角形来解。

例2，正方体中，P为AA1的中点，求面PBD1与面ABCD所成的二面角。

注：面积射影法。ΔPBD1在底面ABCD的射影为ΔABD，所以面PBD1与面ABCD所成的二面角θ的余弦值，即为射影ΔABD的面积与原来ΔPBD1的面积的比值。 PABCOD

三、技能训练。

1如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.

A1D1C1B1ABCDP2,在四棱锥P-ABCD中，已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．求二面角ABDP的大小．

3 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，

PA＝2. 求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

A B C E D P 4．如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．求二面角BAPC的大小；

5、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ，求二面角A-CD-E的余弦值。

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，

，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点 （II）求二面角的大小。

12SABCDABCDSDABCD2AD2DCSDSCABMSCSAMBA

C B P

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空间角问题中几何法与向量法之比较

空间角问题中几何法与向量法之比较

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空间角问题中几何法与向量法之比较

作者：吴海英

来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第19期

摘要：本文结合典型例题，分析比较了在解决空间角问题时采用的几何法与向量法，以便使高中数学教学更加简洁、高效。

关键词：空间角问题；几何法；向量法；比较

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）19-0101

在高中数学教学中，立体几何主要分布在高一必修、高二选修中。学生大多反映“立体几何比代数部分难学”，立体几何是高中数学的一个难点，这是因为从初中的平面图形知识过渡到空间图形知识，本身就是难点，加之立几中的基本概念集中、抽象，要求学生形成一定的空间想象能力和演绎推理能力，这在思维能力上有一个较高的要求，再加上客观上高中数学课堂教学容量大，进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的。

因此，新课程引入了空间向量，用向量来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的有机结合，淡化了传统几何中从“形”到“形”的推理论证，降低了思维难度。

而向量在立体几何中的应用，只是向量在平面几何中运用的扩充与推广，但由于空间想象能力的个别差异导致了学生们在用传统方法处理立体几何问题时的巨大差异，而向量法在立体几何问题中具有简化作用，显示出向量具有处理问题的一般性。

那么，几何法与向量法比较，到底用哪种方法更好一些呢？下面，笔者就从求空间夹角来谈谈自己的感受。

一、求异面直线所成角

求异面直线所成角的方法：1. 平移到一个三角形中，利用解三角形解决；2. 直接求两向量的夹角。

例：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN夹角的余弦值。

（作者单位：浙江省龙游县第二高级中学 324400）

立体几何中的空间角问题专题复习

立体几何中的空间角问题专题复习

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立体几何中的空间角问题专题复习

作者：程雷虎

来源：《中学教学参考·理科版》2019年第10期 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

[摘; ;要]空间角问题是立体几何中的高频考点.空间角问题主要为异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角.只要能掌握几何法和空间向量法，就能找到解决问题的关键.

[关键词]立体几何;空间角;复习

[中图分类号]; ; G633.6; ; ; ; [文献标识码]; ; A; ; ; ; [文章编号]; ; 1674-6058（2019）29-0001-03

立体几何是高中数学的重要组成部分.高考中，立体几何主要考查点、线、面的位置关系以及简单几何体为载体的线面位置关系的论证、角与距离的探求.它可与函数最值、空间向量、概率等知识交汇命题.此类问题涉及转化、分类、运动变化、数与方程、类比等数学思想方法.题目既注重考查通性通法，又关注学生的数学素养，是培养学生空间想象能力的主要素材. 龙源期刊网

下面笔者以近年的高考试题为例，对空间角的重要考点举例分析，希望对2020年的高三数学复习有所帮助.

点评：在两个平面内分别作公共棱的垂线（垂足可以不同），由向量性质及二面角的定义知，两垂線所在向量的夹角即为二面角的大小（两向量的起点均为各自的垂足）.对于本题而言，垂棱向量法比垂面向量法要方便，计算量小，并且不需要判断向量的“穿进穿出”问题.在复习过程中，教师不能就题而讲题，要将解决问题的思路拓宽，要引导学生运用多样手段解决问题.

二、空间角的复习建议

复习要根据考试大纲研究复习的内容，以及怎样高效地复习.这对于高三复习教学有着至关重要的作用.对于空间角的复习，笔者给出如下建议.

1.回归教材，夯实基础，理解概念

空间角的习题

空间角的习题

1

专题三空间角

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算、四 结论。

一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090

（一）平移法：常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

（1） 直接平移法

【例1】已知四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，90ABC，PA平面AC，且2BC，1PAADAB，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小。

（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

例2 设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。（510）

（二）补形法

例3：已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。求异面直线1AB

与1BC所成角的余弦值。【答案】125

:二、直线与平面所成角 直线与平面所成角的范围：090

方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）

二、线面角的三种求法

1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1四面体ABCS中，SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（60°）

（2）SC与平面ABC所成的角。（77）

空间角

空间角

高三数学（理）一轮复习导学案 编号6

把基础练成一种素养 把准确练成一种实力 把敏捷练成一种品质 第 1 页 共 2 页 D1C1A1B1ABCDE授课教师 主备人 校对人 审核人 备课时间 授课时间 随堂记录

刘春燕 逯文偲 逄士佐

课 题 六、 空间几何中角问题

【考纲要求】能运用公理、定理和已获得的结论求一些空空间图形中所成角的简单命题

【知识清单】：

（一）异面直线所成的角：

1、定义：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线

，,ab所成的角的大小与点O的选择无关，把,ab所成的

叫异面直线,ab所成的角（或夹角）范围：

为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。

（二）直线和平面所成的角

线面角的定义：平面的一条 叫做这条斜线和这个平面所成的角，

（2）范围：[0,90]；

（3）求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；

（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

（三）二面角

1.二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角 二面角的平面角范围是[0,180]；