三角函数与二次函数综合专题(含解析)

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总结 三角函数与二次函数综合卷2

1．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S△CEF=S△EAF+S△CBE；

④若=，则△CEF≌△CDF．

其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=33，CD=23.

（1）求tan∠ABD的值；

（2）求AD的长.

DCBA

3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝.

（1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.

EABFDC

4．如图，在△ABC中，90ACB，ACBC，点P是△ABC一点，且135APBAPC．

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总结 ABCP

（1）求证：△CPA∽△APB；

（2）试求tanPCB的值．

5．如图，在梯形ABCD中，90BA，AB25，点E在AB上，45AED，6DE,7CE.

（1）求AE的长；

（2）求BCEsin的值．

6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．

（1）求BC的长；

（2）求tan∠DAE的值．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数xky在第一象限的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若4BODS，

(1)求反比例函数解析式；

(2)求C点坐标．

8．如图,在△ABC中，BD⊥AC于点D，22AB,6BD,并且12ABDCBD.求AC的长.

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总结 DABC

9．下图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）

（1）求抛物线的关系式；

（2）求两盏景观灯之间的水平距离.

10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：

（1）这个二次函数关系式，

（2）求图象与x轴的另一个交点，

（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）

11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限相交于点C.

（1）求△AOC的面积；

（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．

12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标；

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总结 （3）画出这条抛物线大致图象；

（4）根据图象回答：

① 当x取什么值时，y＞0 ？

② 当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．

（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？

（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？

（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？

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- 总结 参考答案

1．①③④

【解析】

试题分析：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正确；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴ECEFBEAF，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴ECEFAEAF，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，

在Rt△AEF和Rt△HEF中，

EHAEEFEF，

∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②错误；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；

若23CDBC，则tan∠BCE=323222121CDBCCDBCABBCBEBC，

∴∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°

∴∠DCF=∠ECF=30°， -

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- 总结 又∵∠D=∠CEF, CF=CF

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形

2．（1）1；（2）13.

【解析】

试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.

（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF=22，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

试题解析：（1）如图， 作DEBC于点E.

∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，CD=23，

∴CE3,DE3.

∵BC=33，

∴BEBCCE3333.

∴DEBE3.

∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º.

∵AB⊥BC，∠ABC=90º，

∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.

∴ tan∠ABD=1.

（2）如图，作AFBD于点F.

在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1，

∴2BFAF2.

∵在Rt△BDE 中，DEBE3，

∴BD32.

∴DFBDBF3252222.

∴在Rt△AFD 中，22ADDFAF13. -

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- 总结 ABCDEF

考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．

3．(1) 16.7（海里）．(2) 725．

【解析】

试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；

（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．

（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，

∴cos∠D=35DECD，

∴CE=40（海里），CD=50（海里）．

∵B点是CD的中点，

∴BE=12CD=25（海里）

∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．

答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．

（2）设BF=x海里．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．

在Rt△CFE中，∠CFE=90°，

∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600．

解得x=7．

∴sin∠BCF=725BFBC．

考点: 解直角三角形的应用．

4．（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.

试题解析：

（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC

∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，

又在△APB中，∠APB=135º，

∴∠PBA+∠PAB=45º，

∴∠PAC=∠PBA，

又∠APB=∠APC， -

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- 总结 ∴△CPA∽△APB.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴21ABCA,

又∵△CPA∽△APB，

∴21ABCAPBPAPACP，

令CP=k，则PA=2k，PB=2k，

又在△BCP中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，