(完整)二次函数与三角形综合

(完整)二次函数与三角形综合

二次函数综合提升卷

【类型一】二次函数之面积最值

求与函数图像相关的三角形的面积：

（1)结合方程组用待定系数法求函数的解析式；

（2）根据坐标求出三角形面积；

①公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解；

②割补法：公式法无法使用是,把三角形补成矩形或梯形或直角三角形,然后根据矩形或梯形或直角三角形的面积公式解决；

③等积转化法；

④铅锤法;利用S=铅垂高水平宽2,可以避免求一些比较复杂的点的坐标；

⑤特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。

＊遇到动点最值问题时,需要利用未知数将实际问题中的情形代数化,利用二次函数性质解答

1.

如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用,当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为（ ）

A.x=10，y=14 B。x=14，y=10 C.x=12 ，y=15 D.x=15 ，y=12

（第1题） （第2题)

2. 如图，在平面直角坐标系中，己知点O(0，0）,A(5，0）,B(4，4）． (完整)二次函数与三角形综合

(1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．

（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M

的坐标．

（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

3. 如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m,m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式;

（2)若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点

（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标;

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

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【类型二】二次函数与全等三角形

在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于全等三角形对应边相等或对应角相等，利用某一个特殊角度角展开分类讨论,将所有的情形都讨论到位.

4.

★如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30,在射线OC上取一点A,过点A作AHx轴于点H.在抛物线2xy)0(x上取点P,在y轴上取点Q,使得以P,O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_____．

5. 如图,抛物线cbxaxy2的顶点为D，与y轴交于点C,直线CD的解析式为323xy.

（1)求b、c的值; (完整)二次函数与三角形综合

（2）过C作CEx//轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F)0,4(，求抛物线的解析式；

(3）在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得CDMCEA若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

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6.

如图，抛物线)0(2acaxy与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),ABC为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E,其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H。

(1)求a、c的值.

(2）连接OF,试判断OEF是否为等腰三角形，并说明理由。

（3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角顶点始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与POE全等？若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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【类型三】二次函数与等腰三角形

（1)数形结合,注意使用等腰三角形的性质与判定

（2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用

（3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：

①利用“两圆一线法”；

②万能法：分别表示A、B、P的坐标,在表示出线段AB、BP、AP的长度，再进行分类：①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP，列出方程进行求解.

7. 如图，抛物线cbxxy2与x轴交于点A和点B)03(，，与y轴交于点C)30(，。

（1)求抛物线的解析式。

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MNy//轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值。

(3）在(2)的条件下，当MN取最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN是等腰三角形？若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由。 (完整)二次函数与三角形综合

8. 如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上,折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB8,AD10，并设点B坐标为)0,(m,其中0m。

（1）求点E、F的坐标(用含m的式子表示)。

（2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值。

(3)如图（2），设抛物线hmxay2)6(经过A、E两点,其顶点为M，连接AM，若OAM90，

求a、h、m的值。 (完整)二次函数与三角形综合

【类型四】二次函数与直角三角形 (完整)二次函数与三角形综合

(1）直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理的正定理与逆定理;同时注意直角三角形内的特殊角度;

(2）直角三角形与函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题注意平面直角坐标系的作用;

（3)找动点使之与已知两点构成直角三角形的方法:

①利用“两线一圆"法；

②万能法:分别表示出A、B、P的坐标，再分别表示出线段AB、AP、BP的长度，由①222APBPAB；

②222APABBP;③222BPABAP列方程求解。

9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90,AC=BC，OA=1，OC=4,抛物线cbxxy2经过A，B两点，抛物线的顶点为D。

（1）求b，c的值.

(2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时，求点E的坐标。

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积。

②在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在,说明理由。

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10. 如图，抛物线mxxy22（m0）与x轴的另一个交点为A，过P),1(m作PMx轴于点M，交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C.

（1)若m=2,求点A和点C的坐标。

（2）令m1,连接CA,若ACP为直角三角形，求m的值。

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，

求出点E的坐标;若不存在，请说明理由。

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【综合练习】

以下8题中，二次函数解析式均为:322xxy

1.在抛物线上找一点P，使ABCABPSS35.

2.在线段BC上有一动点P,设P的横坐标为x ,过点P作x轴垂线交抛物线于点E，设PE的长为h。

①求h关于x的函数关系式，并求h的最大值;

②设BECS的面积为y，求y关于x的函数关系式和y的最大值。 A B

C (完整)二次函数与三角形综合

3。在抛物线上找一点P，使得△CBP是以BC为一条直角边的直角三角形。

4。在抛物线对称轴上找一点P,使得△PAC为等腰三角形.

5。在抛物线对称轴上找点Q和点N，分别使得AQ+CQ值最小、｜NB－NC|值最大。

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C (完整)二次函数与三角形综合

6。点D在抛物线上，点E在x轴上，求点D、E坐标，若以点B、C、D、E四点为顶点的四边形为平行四边形。

7。★（拓展）求△ABC的外接圆的半径.

A B

C

A B

C