二次函数中三角形面积问题
【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ， B重合），求△ABC面积的最大值．
【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，
S△ABC＝ S△ACE ＋ S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE
解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；
令y=0, 则 -x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），
设AB所在直线的解析式为y=kx+b.
求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.
设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)
CE=yC-yE= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m
S△ABC＝ S△ACE ＋ S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)
=1/2OB·CE
=1/2×3( -m2+3m)
=--3m2/2+9m/2
S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8
【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB
解：S△ABC＝ S△OAC＋S△OBC－S△OAB
＝ 1/2×OA·XC+1/2×OB·YC-1/2×OA×OB
＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3
＝-3m2/2+9m/2
S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8
【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0
二、二次函数与面积问题
1．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B两点，M是射线BA上一个动点，MN∥y轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，BN，设△ABN的面积为S，点M在线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由
（3）点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值．
2．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
4．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题
解题策略
考点分析：
二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：
1.三角形面积最值问题
2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比
较高。
解决此类题目的基本步骤与思路:
1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标
2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解
三角形的面积从而得出面积的关系式
3. 根据二次函数性质求出最大值.
4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研
究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞
清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：
1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示
2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思
想.
3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂
线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同
的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理
计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使
△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积
最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面
积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达
各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最
值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的
割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形
面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，
在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，
初中二次函数三角形面积问题研究
二次函数是中学数学中一个重要的内容，在这个领域中，二次函数的概念、性质和应用都是值得深入探究的。本文将主要讨论二次函数在解决三角形面积问题中的应用。
一、二次函数基本概念和性质
1.函数与变量
函数是一个集合，包含输入和输出两个部分。输入称为自变量，输出称为函数值或因变量。在数学中，一般用f(x)表示函数。
2.二次函数
二次函数是函数的一种，其函数公式为：f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项系数。它的图象大致为开口向上或开口向下的抛物线。
• 当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下。
• 当二次项系数a>0时，函数f(x)在顶点处有极小值；当a<0时，函数f(x)在顶点处有极大值。
• 二次函数的图象关于其顶点对称。
• 二次函数的轴对称线为x=-b/2a。
1.对于已知底边和高的三角形，其面积可以表示为：
S = 1/2bh
其中，b表示底边长度，h表示高。
可以将h看做自变量x，那么S就可以看做函数y。此时，S与h的函数关系为：
S取得最大值时，即y取得最大值时，对应的x为h的值，此时可以通过求解二次函数的顶点，得到最大值。即：
x=-b/2a，则h=-b/2a
将h代入y=1/2bx中，可以得到S的最大值。
y = -1/2ab*cosx+a/2ab+b 可以通过求解二次函数的顶点，得到最大值。由于sinC的范围在[-1,1]之间，当cosC=-1时，S取得最大值。此时，对应的C为90度，即三角形为直角三角形。
三、例题解析
1.已知等腰直角三角形的斜边长为10，求其面积的最大值。
解：由等腰直角三角形的性质可知，其腰长相等，斜边为√2倍腰长，则可设其底边长为x，高为h，则
