二次函数中三角形面积问题
【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ， B重合），求△ABC面积的最大值．
【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，
S△ABC＝ S△ACE ＋ S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE
解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；
令y=0, 则 -x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），
设AB所在直线的解析式为y=kx+b.
求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.
设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)
CE=yC-yE= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m
S△ABC＝ S△ACE ＋ S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)
=1/2OB·CE
=1/2×3( -m2+3m)
=--3m2/2+9m/2
S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8
【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB
解：S△ABC＝ S△OAC＋S△OBC－S△OAB
＝ 1/2×OA·XC+1/2×OB·YC-1/2×OA×OB
＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3
＝-3m2/2+9m/2
S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8
【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0
二、二次函数与面积问题
1．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B两点，M是射线BA上一个动点，MN∥y轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，BN，设△ABN的面积为S，点M在线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由
（3）点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值．
2．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
4．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
二次函数求三角形面积最大值的典型题目
篇一：
哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！
就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。这可咋整？
我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。
我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！
然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。
老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。
我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”
我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！
经过一番折腾，我终于有点明白了。原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。
你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！
总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！
篇二：
哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！
有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？
二次函数中动点三角形面积最值问题
在二次函数包含动点的三角形面积，一般用“铅锤法”，即S=
×水平宽×铅锤高；
以下图为例：二次函数y=−x2
+2+3,一次函数y=−x+3，交点为B（3,0），C（0,3）；点P是直线上方抛物线
上一个动点，求S
△BCP的面积最大值。
【方法介绍】
三角形面积的变形公式：S=
×水平宽×铅锤高；
对于三角形ABC，过点C做一条铅垂线，交于AB于一点D，过点B作CD的垂线，过点A作CD垂线；
垂线CD将△ABC分为△ACD和△BCD，这两个三角形有一条公共边CD，以CD为底，S
△ACD=
×𝑪×
；
S
△BCD=
×𝑪×
；
那么S△ABC=S
△ACD+S
△BCD=
×𝑪×(
+
);
其中CD称之为“铅锤高”；(
+
)称之为水平宽，即两个定点之间的水平距离；【解题步骤】
首先过动点P作一条垂直于x轴的垂线，交于BC于点Q；
设动点P的坐标为（m，−
+𝐵+）;则Q的坐标为（m，-m+3）；
那么PQ=y
P-y
Q=−
+𝐵+-(-m+3)=−
+𝐵；
S
△BPC=
×（
−）×（−
+𝐵）=×（−）×（−
+𝐵）=×（−+𝐵）
当x=−
𝟐=−
𝓗−=
时，面积最大，
最大面积是S=𝟐
；
将m=
代入P点的坐标表达式（m，−
+𝐵+）中得出P的坐标为（，𝟏
）；
1．如图，抛物线2
yax2xc
与x
轴交于,AB
两点，于y
轴交于C
点，连接BC
，已知(1,0A），B(-3,0)
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
P是线段BC
上一动点，过点P作xPD
轴，交抛物线于点D，求PD
的长的最大值；2．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上
方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
3．如图，已知抛物线y＝ax2
+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
