带电体系的静电能
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带电体系的静电能
亦即能量 定域 于 电场之 中。 关键 词 ：带 电体 系；静 电 能；做 功
中图分 类号 ：０ ４ ． ４１ １
一
文献 标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ Ｏ — ６ ２ ２ ０ ）Ｏ —ｏ ５ — ｏ ８ １ ９（ ０ ７ ３ ０ ３ ３ Ｏ
个 带 电体 系 的能量可 分为势 能和 动 能 。在 静 电学 中 ，由于 电荷 之 间处于相 对静 止状 态 ，无 需讨 论
或 Байду номын сангаас
ｑ ｕｚ ＝ １ ： －
＿ｑ ｑ ２ ｌ
由于这类 做功 改变 了体系 的静 电能 ，属于两 个 电荷 之 间相互 作用 能 的变 化 ，因而又 可 以用体 系的相 互作 用能来表示 ，即
Ｗｍ ：
业
ｒ
： （２ｕｌ＋ｑ ｕ２ ｑ ２ ２ １ （） ） ４
ｑ刀 ０
这一相互 作用 能 的积 累显 然 是 由外 力做功或 第一 个 电荷 的 电场 力做负 功转变 而来 的 ，故 这也 是体系 静 电能的另一 个称呼 。 ３多个点 电荷 系统 的相互作 用 能 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ － ｌ＿ ｌ ０６－ ２ ３
作者简介：张进明 （ ９１ ） １６－ ，河北涿鹿人 ，张家口职业技术学院教育教学研 究室，副主任，副教授。
５ ３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚ ｔ １ ｑｌ ｕ ｚ＝ ｑ２
２０ ０ ７年 第 ３期
由上所 述不 难理解 ，电场 力做 功 与体系 的 电势 能完全 遵 守“ 能原 理” 功 而互 相转 化 ，若用 Ｗ 琳表示 外
力做功，其转换关系就是 ｈ ｗ ＝一 （ ＝一 ｑ ＵＡ—ＵＢ ＝一 ｕＡ ） ｑ Ｂ＝ｑ ＵＢ
中图分 类号 ：０ ４ ． ４１ １
一
文献 标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ Ｏ — ６ ２ ２ ０ ）Ｏ —ｏ ５ — ｏ ８ １ ９（ ０ ７ ３ ０ ３ ３ Ｏ
个 带 电体 系 的能量可 分为势 能和 动 能 。在 静 电学 中 ，由于 电荷 之 间处于相 对静 止状 态 ，无 需讨 论
或 Байду номын сангаас
ｑ ｕｚ ＝ １ ： －
＿ｑ ｑ ２ ｌ
由于这类 做功 改变 了体系 的静 电能 ，属于两 个 电荷 之 间相互 作用 能 的变 化 ，因而又 可 以用体 系的相 互作 用能来表示 ，即
Ｗｍ ：
业
ｒ
： （２ｕｌ＋ｑ ｕ２ ｑ ２ ２ １ （） ） ４
ｑ刀 ０
这一相互 作用 能 的积 累显 然 是 由外 力做功或 第一 个 电荷 的 电场 力做负 功转变 而来 的 ，故 这也 是体系 静 电能的另一 个称呼 。 ３多个点 电荷 系统 的相互作 用 能 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ － ｌ＿ ｌ ０６－ ２ ３
作者简介：张进明 （ ９１ ） １６－ ，河北涿鹿人 ，张家口职业技术学院教育教学研 究室，副主任，副教授。
５ ３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚ ｔ １ ｑｌ ｕ ｚ＝ ｑ２
２０ ０ ７年 第 ３期
由上所 述不 难理解 ，电场 力做 功 与体系 的 电势 能完全 遵 守“ 能原 理” 功 而互 相转 化 ，若用 Ｗ 琳表示 外
力做功，其转换关系就是 ｈ ｗ ＝一 （ ＝一 ｑ ＵＡ—ＵＢ ＝一 ｕＡ ） ｑ Ｂ＝ｑ ＵＢ
1.7静电能
取偶极子所在的直线为X轴 取偶极子所在的直线为 轴 当偶极子在此方向上发生微 小位移时， 小位移时，根据虚功原理
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖 利
吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖 利
吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
i
Ui edS
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r l )
U (r )
W ql U P U p E(r) pE cos
2013/3/13
带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
第五讲 静电场中的能量
1 n 相互作用能： W 2 qiVi i 1
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
带电体系的静电能
Q2 1 Q1 1 9q 2 Wc p 4 0 r 4 0 r
两个带电体的总自能
2 2 1 Q1 1 Q2 9 q2 Ws Ws1 Ws2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 9q 2 1 9q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
两个带电体的总自能
2 1 Q12 1 Q2 13 q 2 Ws Ws1 Ws 2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 5q 2 1 13q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
（1）
带电体系的静电能
接触并回到原处后 系统的互作用能
带电体系的静电能
两种解法：
解法一：取无限远处电势为零 移动前系统的电势能 接触后，电荷重新分布
1 Q1Q2 1 5Q 2 p 4 0 r 4 0 r
Q1 Q2 3q
1
2 Q Q 1 9 Q 1 2 移至原位后，系统的电势能 p 4 0 r 4 0 r
外力对系统作负功 根据能量守恒定律，系统的电势能减少了
讨论
由上述两种方法得出了两种截然相反的结果。 该问题中
外力究竟是作正功还是作负功？ 电势能究竟是增加还是减少了？ 能量守恒定律在这里究竟是否适用？
带电体系的静电能
分析 带电体的静电能包含了每个带电体的自能 和带电体间的互作用能
W静 W自 W互
自能： 将一个带电体视为无穷多个带电体元。将 这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电 体，外力所作的功即为该带电体的自能 互能：n 个带电体组成的系统。将各带电体从现 有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所 做的功定义为带电体间的互能
两个带电体的总自能
2 2 1 Q1 1 Q2 9 q2 Ws Ws1 Ws2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 9q 2 1 9q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
两个带电体的总自能
2 1 Q12 1 Q2 13 q 2 Ws Ws1 Ws 2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 5q 2 1 13q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
（1）
带电体系的静电能
接触并回到原处后 系统的互作用能
带电体系的静电能
两种解法：
解法一：取无限远处电势为零 移动前系统的电势能 接触后，电荷重新分布
1 Q1Q2 1 5Q 2 p 4 0 r 4 0 r
Q1 Q2 3q
1
2 Q Q 1 9 Q 1 2 移至原位后，系统的电势能 p 4 0 r 4 0 r
外力对系统作负功 根据能量守恒定律，系统的电势能减少了
讨论
由上述两种方法得出了两种截然相反的结果。 该问题中
外力究竟是作正功还是作负功？ 电势能究竟是增加还是减少了？ 能量守恒定律在这里究竟是否适用？
带电体系的静电能
分析 带电体的静电能包含了每个带电体的自能 和带电体间的互作用能
W静 W自 W互
自能： 将一个带电体视为无穷多个带电体元。将 这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电 体，外力所作的功即为该带电体的自能 互能：n 个带电体组成的系统。将各带电体从现 有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所 做的功定义为带电体间的互能
65-带电体系的静电能
dW
wedV
Q2 8 π εr 2
dr
W
dW
Q2
8πε
R2 dr r R1 2
Q2 ( 1 1 ) 8 π ε R1 R2
dr Q
r R1
R2
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
-Q
15
讨 论 W Q2 ( 1 1 )
8 π ε R1 R2
（1）
W
Q2 2 C
C 4 π ε R2R1
6.5.1 点电荷系的相互作用能 电荷系的静电相互作用能(互能)：
n个静止电荷所组成的电荷系,将
各电荷从彼此相距无限远搬运到 现有位置时,外力克服它们之间 的静电力所做的功。
W
1 2
n
qi i
i 1
其中： i 为qi 所在处由 qi 以外的其他电荷
产生的电势
6.5 带电体系的静电能
推导
1 最简单的情形：两个点电荷q和Q 点电荷q 在Q 的电场中的电势能为：
)
1 2
q3
(
q1
4 0
r31
q2
4 0r32
)
W
1 2
q1 ( 21
31
)
1 2
q2
(12
32 )
1 2
q3
(13
23 )
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q33
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
5
引入第四个电荷
W q1q2 ( q1q3 q2q3 )
4 0r12 4 0r13 4 0r23
6.5 带电体系的静电能
11
2-7带电体系的静电能与电场的势能
2-7带电体系的静电能与电场的势能2-7带电体系的静电能与电场的势能§2-7 带电体系的静电能与电场的势能前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。
在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。
一、点电荷系统的静电能我们从最简单的情形开始分析。
我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。
现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。
同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。
1⎛1 2 ⎛4πε对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。
我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。
设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。
当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为q 1q 2r 12现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上q 3与q 1及q 2之间的静电能，即q 1q 2r 12⎛1+ 4πε⎛q 2q 3⎛⎛ r 23⎛⎛括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。
电磁学第二章
2 3 法3，作如图高斯面有：
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
带电球体和带电球面的静电能
带电球体和带电球面的静电能带电球体和带电球面是静电学中的两个基本概念，它们在我们日常生活中扮演着重要的角色。
静电能作为一种能量形式，具有许多有趣的特性和应用。
下面，让我们一起来探索一下带电球体和带电球面的静电能，并了解它们的一些指导意义。
首先，让我们关注带电球体的静电能。
当一个球体具有电荷时，它会带有静电能。
这种能量会固定在球体内部和表面。
球体内部的静电能与电荷的分布和电位有关。
一般来说，球体的内部电位是均匀的，因此内部的静电能也是均匀分布的。
而球体表面的静电能则主要集中在表面上。
当球体的电荷增加时，其静电能也会增加。
静电能是一种势能，可以通过公式E=1/2 QV计算，其中E代表静电能，Q代表电量，V代表电位。
这个公式告诉我们，静电能与电量和电位之间有一种非常重要的关系。
根据这个公式，我们可以看出，增加球体的电量或电位会导致静电能的增加。
带电球体的静电能在许多实际应用中发挥着重要的作用。
例如，我们常见的静电喷涂技术就是利用了带电球体的静电能。
在静电喷涂过程中，涂料粒子被带有电荷的球体吸引，从而实现了涂料的均匀喷涂。
接下来，让我们来了解一下带电球面的静电能。
和带电球体不同的是，带电球面是一个无厚度的理想化球形面，它可以是均匀带电的，也可以是非均匀带电的。
类似于带电球体，带电球面的静电能也分布在内部和外部。
对于均匀带电球面，其电场在球面上是均匀的，而球面内外的电场则为零。
这意味着带电球面内外的静电能相等，且与球面的半径和电荷量成正比。
对于非均匀带电球面，其电场在球面上是不均匀的，内外电场不为零。
这意味着带电球面内外的静电能分布是不均匀的，而且无法直接通过简单的公式计算。
对于非均匀带电球面的静电能的计算，需要使用数学方法进行求解。
带电球面的静电能在很多技术领域中也发挥着重要作用。
比如，在电容器中，带电球面可用于存储电能。
在凸透镜的设计中，带电球面也可以用来控制透镜的形状和光学性能。
综上所述，带电球体和带电球面作为静电学的基本概念，具有丰富的特性和应用。
电场的能量
转化为其它能量形式储存在电源中，又将部分电荷送回电源中。
7
例8－21 求均匀带电球体的电场能量。球的半径为R，带电量
为q，球内电介质的相对介电常数为 r 、球外为真空。
解：由高斯定理可求得
E1
qr
4 0r
R3
(r R)
E2
q
4 0r2
(r R)
因场有球对称性，故取体积元为
++ + ++
+ E1 +
10
DE
★ 若介质各向异性或非均匀极化，则
1 we 2 D E
3、 由电场能量密度求电场能
W
V
w dV e
Ｖ是场强不为零的空间。
5
例8－20 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电 源上以保持电压为V。若将极板的距离拉开一倍，试计算 （１）静电能的改变； （２）电场对电源作的功； （３）外力对极板作的功。
以后我们将看到，随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波 的形式在空间传播，电场可以脱离电荷而传播到很远的地方去。 实际上，电磁波携带能量已经是人所共知的事实。
总之，大量事实证明，能量确实是定域在电场中的。
3
1、 用场强表示静电能
以平行板电容器为例
C 0 r s
d
U Ed
W
1 CU 2 1 0 r s (Ed)2
2
2d
1 2
0 r
E2
sd
式中 sd 表示平行板电容器两极板间的体积。如果忽略边 缘效应，其也就是带电平行板间电场所占据的空间，这说明
静电能确实是分布于整个电场的。
2、 电场能量密度
we
dW dV
1.5带电体系的静电能
j 1 i 1
代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi
qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷 组的总 功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布： 面分布： 线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
1-5 带电体系的静电能
一 点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许 多小单元，最初认为它们分散在彼此相距 很远的位置上，规定这种状态下系统的静 电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集 成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的 全部功
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功 二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi
qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷 组的总 功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布： 面分布： 线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
1-5 带电体系的静电能
一 点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许 多小单元，最初认为它们分散在彼此相距 很远的位置上，规定这种状态下系统的静 电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集 成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的 全部功
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功 二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
大学物理第章静电场中导体和电介质小结
1 Q2 Q2
4 0R1 2 8 0R1
本章小结
一、导体的静电感应
1、自由电子 2、静电平衡：导体上没有电荷作定向运动的状态 3、静电平衡条件： 4、导体表面的电荷分布
二、电介质的极化
1、极化电荷
2、介质内场强的变化： 3、极化强度矢量：
4、电位移矢量：
E E0 E P e0 E
0
E0
0
(1 x
l
1) x
A
B
两导线间的电势差：
U
l
a E
dx
la
(1 1 )dx ln l a
a
a 2 0 x l x
0 a
单位长度的电容：
C
Q0 U
U
0
ln l a
a
说明：任何导体之间，实际上都存在着电容，导线 之间，导线与电器元件之间，与金属外壳之间等， 称为“分布电容”，通常分布电容很小，可不计。 但对于高频电路就必须考虑分布电容的影响。
二、带电体系所储藏的静电能（电场能）
electrostatic energy of charged system
一带电系统，带电 qi 电势 Vi ,再从∞处将 qi
移到该系统，外力作功：
Ai Viqi Wi
分成 N 步，外力作的总功：（系统所储藏的静电能）
A Ai Viqi W
若带电体连续分布
例题3 有A、B、C是三块平行金属板，面积均为 200cm2, A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两 板接地，设A板带电荷q=+3.0×10-7C，不计边缘效应， 求（1）B板和C板上的感应电荷。（2）A板的电势。
CA B
-q2 +q2 +q1 -q1
带电球体的静电能
带电球体的静电能
静电能是指在不动的电子之间有的能量，是电荷不同的物体之间的吸引或排斥运动所具有的能量。
带电球体的静电能是很多物理学方面的重要概念之一，其涉及的物理现象十分复杂。
下面将从理论方面进行探讨，希望能够帮助读者更好地理解带电球体的静电能。
首先，让我们考虑一个带电球体，它所带的电量为Q。
由于球体带有电荷，它会对周围的空间产生电场。
这个电场实际上就是因为带电球体的静电能产生的，我们可以通过计算球体所带电荷来推算它的静电能。
我们可以采用以下公式来求解带电球体的静电能：
E = (1/2) k Q^2 / r
其中，E表示静电能，k为库仑常数，r为球体半径。
这个公式中也出现了Q，也就是球体所带电荷的大小。
因为球体的电荷可以正负两种不同的极性，所以在求解静电能时需要考虑其正负极性，并且我们通常采取向电荷所在点移动正电荷的约定，这样可以保证计算静电能时得到的结果为正值。
那么，如何理解这个公式呢？这个公式其实是体现了静电能与电场势能之间的转换关系，因为静电能可以看成是由一些带电物质所产生的电场所存储的能量。
在这个公式中，(1/2) k Q^2 表示电荷的电场势能，它的物理意义就是指将一个电荷从无穷远处移向一带电球体所需的功。
另外，我们还可以通过其他的公式来计算带电球体的电场能、电势能和电势，这些公式也是理解带电球体的静电能的重要工具。
总之，带电球体的静电能是由球体所带电荷所产生的电场能量所构成的，这种能量可以通过各种公式进行计算。
正因为带电球体的静电能牵涉的物理现象如此之多，它才成为了电学研究的重要领域之一。
均匀带电球体的静电能
均匀带电球体的静电能
均匀带电球体的静电能
静电是在不带电荷的物体之间产生的一种吸引力或排斥力。
均匀带电球体是一种具有均匀带电性质的球体，其特点是其电荷在球体表面均匀分布。
这种球体的静电能是由其电荷间的相互作用所产生的。
均匀带电球体的静电能是一个非常重要的物理概念，对于我们理解电荷间相互作用和电场的产生有着非常重要的意义。
静电能的大小取决于球体的电荷量和电势差。
在静电能计算中，电势能的概念也很重要。
电势能是指带电粒子在电场中由于位置变化而产生的变化能量。
对于均匀带电球体，电势能可以通过球体表面积和电势差来计算。
电势差是指两个电荷之间的电位差异。
静电能和电势能的计算对于我们理解电学原理和相关物理量之间的关系是非常有益的。
通过对这些物理概念的理解，我们可以更好地了解电场中电荷和电势之间的相互关系，从而更好地掌握电学知识。
总之，均匀带电球体的静电能是一个非常重要的概念，对于我们理解电场和电势差的产生有着非常重要的意义。
了解静电能和电势能的相关物理概念可以帮助我们更好地掌握电学知识，从而拓展我们的物理知识，并在日常生活中应用这些知识。
均匀带电球体静电能的计算方法
均匀带电球体静电能的计算方法
均匀带电球体是静电学中的一个重要概念，计算其静电能是静电学中的一个重要问题。
均匀带电球体静电能的计算方法可以通过电场能和电势能的概念来进行计算。
首先，我们可以通过球体电荷的分布来计算球体周围的电场强度。
对于均匀带电球体来说，其电场强度在球体外部可以用库仑定律来描述，即E=kq/r^2，其中E为电场强度，k为库仑常数，q为球体的电荷量，r为距离球心的距离。
然后我们可以通过球体电荷的分布来计算球体内部的电场强度，进而计算出整个球体的电场能。
其次，我们可以通过球体电荷的分布来计算球体周围的电势。
对于均匀带电球体来说，其电势在球体外部也可以用库仑定律来描述，即V=kq/r，其中V为电势，k为库仑常数，q为球体的电荷量，r 为距离球心的距离。
然后我们可以通过球体电荷的分布来计算球体内部的电势，进而计算出整个球体的电势能。
最后，通过计算球体的电场能和电势能，我们可以得到整个均匀带电球体的静电能。
静电能是由电场能和电势能组成的，通过以上的计算方法，我们可以得到均匀带电球体的静电能的具体数值。
总之，通过电场能和电势能的概念，我们可以计算出均匀带电球体的静电能。
这不仅是静电学理论的重要问题，也对于理解电荷分布和电场分布有着重要的意义。
通过这样的计算方法，我们可以更深入地理解均匀带电球体的静电特性，为静电学的研究提供了重要的理论基础。
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解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的 电荷面密度分别是
1
Q1
4R12
和 2
Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于 球对称性,导体外表面的电荷面密度是
Q1 Q2
的电容分别为
C1
0
S d
,
C2
0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1
1 2
Q2
0C1
1 2
Q2d
0S
，W2
1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量 为
W＝W2－W1
1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时 所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C
2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接 （G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W
Q2
1 CU 2
i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球 形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电 荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结
本章知识要点：
1.基本概念
（1）静电平衡 （2）静电屏蔽 （3）电容 （4）静电能
2.基本理论
(1)库仑定律
(2)叠加原理
(3)高斯定理
(4)环路定理
3.基本知识
(5)电场线和等势面的性质
(1)金属导体电结构的特点 (A)导体内部场强处处为零
1.2 三个点电荷
依次把q1 、q2、 q3从相距无限远移至所在的位置。
把q1 移至A点，外力做功 A1 0
再把q2 移至B点，外力做功
最后把q3 移至C点，外力做功
C
A2 A3
q2 q3 (
q1
4
q1
0
r12
4 0 r13
q2
4 0 r23
)
q3 r13
r23 A r12
所以
A
q2V1
1
4 0
q1q2 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到A点，外力做功为
A q1V2
1 q1q2
40 r
(V2是q2在A点产生的电势)
可见：两种不同的迁移过程，外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统相互作用能增量，因此
q1、q2处于相距为r的状态时静电能为W
S
3.电容器的静电能
设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C 此时再继续将电量为dq的正电荷从负极板—>正极板， 外力作多少功？外力所作的功将转化为电容器的能量。
dA dWe u(t)dq
静 电 能
We
Q
u(t)dq
(1)两空腔内表面的电荷面密度 1和 2
导体球外表面的电荷面密度
R Q2
O
R2
Q1
(2)导体外任意点的场强和电势,
R1
(3)两空腔内部的场强和电势,
(4)如果导体接地,上述答案如何变化?如果Q1、Q2位置 变化（仍在空腔内），上述答案是否变化?如果有另 一个点电荷Q3置于导体外，上述答案是否变化?
0
Q q dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
例题、一空气平行板电容器的板极面积为S，间距为d， 用电源充电后两极板上带电分别为± Q。断开电源后 再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极 板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸 引力。（空气的电容率取为ε0）。
解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器
先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无限远， 这一过程外力做功等于零。
A
q1
q1
q2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力做功，其 大小等于系统电势能的增量。
A q2 (V1 V )
(V1是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势)
V1
1
4 0
q1 r
V 0
（2）静电平衡条件： (B)外表面场强垂直于导体表面
（3）导体的静电性质：
（A）电势分布特点
（B）电荷分布特点
（C）场强分布特点 （D）空腔导体的静电性质
（a）空腔内无带电体 （b）空腔内有带电体
（a）平板电容器 （E）电容器的电容 （b）球形电容器
C 0S
d C 4 0R1R2
R2 R1
§2-5 带电体系的静电能
电荷之间具有相互作用能（静电势能），当电荷间相对位 置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能与其它形式的能量 之间发生转化。
1.带电体系的静电能 1.1 两个点电荷
约定q1、q2处于相距无穷远的静电状态时静电能为零,则它们 处于任意状态时(相距为r)的静电能便有确定的数值。
W A 1 q1q2
40 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
为了写成对称的形式，可改写为
W
1 2 q1
1
4 0
q2 r
1 2 q2
1
4 0
q1 r
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2
qiVi
i 1
结论:两个点电荷组成的系统的相互作用能（电 势能）等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中
的电势能的代数和的一半。
（电势能)为
W
1 2
n
i 1
qiVi
(Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势)
2.电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元dV从
无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为
W
1 2
V
dV
(是体电荷元处的电势)
同理，面分布电荷系统的静电能为
W
1 2
dS
q2
( q1
4 0
r12
q3 )
4 0 r23
q3
(
q1
4 0
r13
q2 )]
4 0r23
1 2
(q1V1
q2V2
q3V3 )
1 2
3
qiVi
i 1
(V1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，以此类推)
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能
q1
B q2
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
W A1 A2 A3
q2
q1
4 0r12
q3
(
q1
4 0
r13
q2 )
4 0r23
C q3
r13
q1
r23 A r12
B q2
可改写对称的形式为
W
1 2
[q1
(
q2
4 0 r12
q3 )
4 0 r13