特征根法求数列通项

数列通项公式的求法 特征根法题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。

【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），即为a ca d =+，由此可以解得1d a c=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。

Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，即 111n n d d a ca d c c+-=+-–– 将上式变形得 ()111n n d d a c a c c +-=-–– 即 111n n da c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列{}111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。

注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。

【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。

解、在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8a 所以 1+2+3=82=2n n n a -因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –注意在草稿纸上进行此过程由题意得23a a =+，可以解得a =-3草稿纸题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。

【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉（剃光头），即2a pa q =+，为了方便把a 替换为x ，则有2=0x p x q --此时，我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。

特征方程法‎ 解递推关系‎中 通项公式一、（一阶线性递‎推式）若已知数列‎}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个‎,1,0≠≠c c 数列的通项‎公式。

采用数学归‎纳法可以求‎解这一问题‎，然而这样做‎太过繁琐，而且在猜想‎通项公式中‎容易出错，这里提出一‎种易于掌握‎的解法——特征方程法‎：针对问题中‎的递推关系‎式作出一个‎方程称之为‎,d cx x +=特征方程；借助这个特‎征方程的根‎快速求解通‎项公式.下面以定理‎形式进行阐‎述.定理1：设上述递推‎关系式的特‎征方程的根‎为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征‎,1,0≠c 方程得作换‎.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两‎例，说说说说明‎定理1的应‎用.例1．已知数列满‎}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为‎}{n b 31-公比的等比‎数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满‎}{n a 足递推关系‎：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数‎i 单位。

特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。

特征根求数列通项原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个超有意思的东西——特征根求数列通项原理！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开数列这个神秘宝库的大门呢！
比如说这个数列：1，3，5，7，9……哎呀，这不是很明显的奇数数列嘛！那通过特征根的方法，咱就能找到它通项的秘密哦！就好像我们在迷宫中找到了那条正确的路。

你想想看，数列就像一群小精灵，它们有着自己的规律和特点。

而特征根呢，就是我们抓住这些小精灵的工具！我们可以通过计算特征根，找到数列背后隐藏的结构。

这多有趣啊！
你再看这个例子，1，2，3，4，5……这么简单的数列，用特征根求通项原理也能让我们更深入地理解它呢！就好像我们给这个普通的数列穿上了一件特别的外衣，让它变得更加独特。

咱就说，这特征根求数列通项原理，可不是随便说说的。

它是数学家们经过不断研究和探索才发现的呀！这多了不起。

我们可以用它来解决各种难
题，就像拥有了超能力一样。

比如知道了前几项，就能推测出后面的项会是什么。

哇塞，这也太酷了吧！
别人可能觉得数列很枯燥，但是我们一旦掌握了这个原理，就会发现它充满了惊喜和乐趣！它就像一个隐藏的宝藏，等待我们去挖掘。

我们可以和小伙伴们一起探讨，一起研究，那多有意思呀！
总之，特征根求数列通项原理真的是太神奇、太有趣啦！我觉得它就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去欣赏和探索呢！。

2013-04治学之法数列通项公式直接表述了数列的本质。

数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。

因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。

下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。

一、常系数齐次线性递归数列一般地，我们称由初始值a 1，a 2，a 3，…a k 及递推关系a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ）所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n ①的方程x k =c 1x k -1+c 2x k -2+…+c k ②称为其特征方程，方程的根称为｛a n ｝的特征根.下面不加证明地引进两个定理：定理1若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根x 1，x 2…x k ，（包括虚根在内）那么a n =A 1x n 1+A 2x n 2+…A k x nk ，其中A 1，A 2，A k是待定系数，可由初始值确定.定理2若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x 1，x 2…x s （s <k ），（包括虚根在内），其中x i （1≤i ≤s ）是②的t i 重根，那么t 1+t 2+…+t =R ，那么a n =A 1（n ）x n 1+A 2（n ）x n 2+A s （n ）x n s .其中A i （n）=B （i ）1+B （i ）2…+B （i ）t n ti -1，i =1，2…s ，这里B （i ）1，B （i ）2…B （i ）t （i =1，2…s ）的是待定系数，可由初始值确定.下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2+a n +1+a n =0，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为x 2+x +1=0，特征根为x 1=-12+3√2i ，x 2=-12-3√2i ，所以a n =A 1x n 1+A 2x n 2，由初始条件解得A 1=-9+3i √6，A 2=-9-3i √6因此a n =-9+3i √6，（-12+3√2i ）n +-9-3i √6（-12-3√2i ）n 评注：此类型问题解决的关键在于要熟记引入的定理1，注意特征根包括虚根，剩下的任务就是计算.例：设数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a 3=2，3a n +3=4a n +2+a n +1-2a n ，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为3x 3-4x 2-x +2=0，特征根为x 1=x 2=1，x 3=2，所以a n =（A 1+A 2n ）x n 1+A n3，有初始条件解得A 1=125A 2=35，A 3=2750因此a n =125［1+15n -272（-23）n］评注：这里的x =1是二重根，请注意，要利用定理2.二、常系数非齐次线性递归数列一般地，a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ），其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）≠0时，可以分成三类：第一类：f （n ）常数例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2…①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+2…②①和②整理可得：a n +2=6a n +1-11a n +6an -1就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.第二类：f （n ）关于n 的多项式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n -1-6a n +n 2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n -1-6a n +n 2……①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+（n -1）2…②①和②整理可得：a n +2=6a n+1-11a n +6a n -1+2n -1…③把③式中的n 用n -1代替可得：a n +1=6a n -11a n -1+6a n -2+2（n -1）-1…④③和④整理可得：a n +2=7a n +1-17a n +17a n -1-6a n -2+2就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的p 次多项式，我们只需重复上述p +1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.第三类：f （n ）关于n 的指数函数形式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2n ，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2n …①把①式两边同时除以2n +2，整理得：a n +22n +2=52a n +12n +1-32a n 2n +14…②令b n =a n 2n 可得：b n +2=52，b n +1-32b n +14就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.（作者单位福建省泉州南安一中）摘要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。

数列特征根法求通项
嘿，朋友们！今天咱来聊聊数列特征根法求通项这个有趣的玩意儿。

咱就说数列啊，就像是一群小精灵排着队，每个小精灵都有自己独特的位置和特点。

而我们要做的呢，就是找到一种方法，能把这些小精灵的规律给摸清楚，这就是求通项啦！
那特征根法呢，就像是一把神奇的钥匙，能打开数列这个神秘大门。

比如说有个数列，它的递推关系就像是一道谜题，让你摸不着头脑。

但别怕，特征根法这时候就闪亮登场啦！
你看啊，就好像你要解开一个复杂的拼图，一开始你也不知道从哪儿下手，但是当你找到了关键的那几块，一下子就豁然开朗了。

特征根法就是这样的关键！
它能让那些看起来乱七八糟的数字变得有规律可循。

你想想，本来毫无头绪的一堆数字，突然你就能找到它们的内在联系，是不是特别神奇？
举个例子吧，就像你走在一条陌生的路上，一开始觉得哪儿都一样，但当你发现了一些特殊的标志或者地标，你就知道该怎么走啦！特征根法就是那些特殊的标志，能指引你在数列的世界里畅通无阻。

它可不是随随便便就能掌握的哦，需要你用心去琢磨，去体会。

就像学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多练习几次，你不就会啦？
这特征根法也一样，刚开始可能会觉得有点难，但只要你不放弃，慢慢研究，肯定能搞明白的呀！难道你不想体验一下那种解开数列谜题的成就感吗？别犹豫啦，赶紧去试试吧！
总之，数列特征根法求通项就是这么神奇又有趣，它能让你在数学的世界里畅游，发现那些隐藏的美好和奥秘。

别再害怕数列啦，用特征根法去征服它们吧！。

特征方程特征根法求解数列通项公式
1、将数列的前两项给出，在此基础上推雅可比数列，得到数列的递
推公式；
2、将递推公式化为特征方程，且特征方程只包含未知数x；
3、求解特征方程的特征根，得到特征根为{r1,r2,…,rm}；
4、使用特征根构造数列的通项公式：利用特征根构造出原数列的通
项公式，即an = A1*r1^(n-1) + A2*r2^(n-1) + … + Am*rm^(n-1)（此
处n>=1）；
5、求解参数A1，A2，…，Am，即将特征根对应的数列项代入原数列，解方程组求出所有参数；
6、给出最终的数列通项公式：将前面求出的所有参数代入数列通项
公式中，得到最终的数列通项公式。

二、实例演示
下面以解决下列特征方程求数列的通项公式为例，详细介绍特征方程
特征根法的求解：
原特征方程：x^2-x-6=0；特征根：r1=3，r2=2；推出数列：a1=4，
a2=10；
求数列通项公式：
1、根据特征方程求出特征根：
原特征方程：x^2-x-6=0；
解之，得：x=3，2；
即特征根为r1=3，r2=2；。

特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。

谈谈利用特征根求解数列通项作者：曹丽萍来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期一、形如an+1=pan+q（p、q为常数）的一阶线性式其特征方程为x=px+q，特征根为α.方法一：通过待定系数法，转化成an+1+m=p（an+m），如an+1=3an+6，设an+1+m=3（an+m），利用两式等价得m=3，即原式可转化为an+1+3=3（an+3），即数列an+3是以3为公比的等比数列.方法二：两边同时减去特征根α，也可将已知转化成an+1+m=p（an+m）.如an+1=-2an+6，特征方程为x=-2x+6，x=2，同时减2得an+1-2=-2（an-2）.例1 已知a1=3，an+1=-3an+8，求an.方法一：设an+1+m=-3（an+m），利用两式等价，可得m=-2，即数列an-2是以-3为公比的等比数列，则an-2=（a1-2）（-3）n-1=（-3）n-1，所以an=（-3）n-1+2.方法二：特征方程：x=-3x+8，x=2.同时减去2，得an+1-2=-3（an-2），接下来同上.二、形如an+1=Aan+BCan+D的分式线性式对于数列an=Aan+BCan+D，其特征方程为x=Ax+BCx+D，特征根为α，β（1）若α≠β，可对an+1=Aan+BCan+D同时减去特征根，得an+1-α=Aan+BCan+D-α，an+1-β=Aan+BCan+D-β，相除后可化简得an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，{an-αan-β}为等比数列，最后求解通项an-αan-β，可求得an.当然在已知{an-αan-β}为等比数列的前提下，也可利用待定系数法求解（其中c是待定常数），即设an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，代入a1，a2的值可求得c值即可.结论：数列{an-αan-β}是首项为a1-αa1-β，公比为c的等比数列，于是这样可求得an.（2）若α=β，同时减去特征根α，即得an+1-α=Aan+BCan+D-α，两边同时取倒数，可化成1an+1-α=1an-a+c，这样数列{1an+1-α}是首项为1a1-α，公差为c的等差数列.当然在已知数列{1an-α}是等差数列，可假设1an+1-α=1an-α+c（其中c是待定常数），代入a1，a2的值可求得c值.结论数列{1an-α}是首项为1a1-α公差为c的等差数列，于是这样可求得an.例2 已知数列{an}满足a1=2，an=an-1+22an-1+1（n≥2），求数列{an}的通项an.解其特征方程为x=x+22x+1，化简得2x2-2=0，解得x1=1，x2=-1.则an+1=an-1+22an-1+1+1，an-1=an-1+22an-1+1-1，相除化简得an-1an+1=-13（an-1an+1），所以数列{an-1an+1}是以a1-1a1+1=13为首项，以-13为公比的等比数列，所以an-1an+1=13·（-13）n-1，所以an=3n-（-1）n3n+（-1）n.思考对于数列an+1=Aan+BCan+D，其特征方程为x=Ax+BCx+D，若无实特征根，则会是什么情况呢？（个人猜想是周期数列，有待验证）三、形如an+2=pan+1+qan（p，q是常数）的二阶线性式形如a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2=px+q…①.若①有二异根α，β，则可令an=c1αn+c2βn（c1，c2是待定常数）;若①有二重根α=β，则可令an=（c1+nc2）αn（c1，c2是待定常数）.再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an.例3 已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求数列{an}的通项an.解其特征方程为x2=3x-2，解得x1=1，x2=2，令an=c1·1n+c2·2n，由a1=c1+2c2=2，a2=c1+4c2=3，得c1=1，c2=12.所以an=1+2n-1.四、形如an+2=pan+1+qan+m的二阶式先利用待定系数法转化为an+2+c=p（an+1+c）+q（an+c），令bn=an+c，即bn+2=pbn+1+qbn，利用题型三方法求解.。

特征根法求数列的通项公式数列中最重要的一类问题，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的问题中，对数列通项公式的求解，往往是大家解决问题的瓶颈。

而通过递推公式求解数列通项公式的方法更尤为重要，其中可以涉及到的类型有累加法、累乘法、迭代法、构造法、取对数法、取倒数法、双数列法等大家广为孰知的方法，这里向大家推荐一种不常用但很好用的方法——特征根法，特征根法适用范围更广泛，解题过程更标准化，在竞赛、保送以及自主招生考试题中经常运用，希望能对大家能有所帮助。

例. 设已知数列满足 }{n a d ca a b a n n +==+11,, 其中 ,1,0≠≠c c 求：这个数列的通项公式。

对于上题采用数学归纳法或构造法可以求解，然而归纳法太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错；构造法需要以等差数列为依据，形式也比较复杂。

这里推荐更易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式做出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根，快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述。

一阶线性递推式定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当0x 10a x =时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.n a 101;,n n a a x a a b x =≠=+当时0n }{n b c 01111,x a b c b b n n −==−证明：因为由特征方程得,1,0≠c .10cd x −=作换元,0x a b n n −=则 .)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =−=−−=−−+=−=−− 当时，，数列是以为公比的等比数列，故10a x ≠01≠b }{n b c ;11−=n n c b b 当时，，为0数列，故10a x =01=b }{n b .N ,1∈=n a a n （证毕）.例1．已知数列满足：}{n a ,4,N ,23111=∈−−=+a n a a n n 求 .n a 解：作方程.23,2310−=−−=x x x 则 当时，41=a .21123,1101=+=≠a b x a 数列是以}{n b 31−为公比的等比数列.于是 .N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈−+−=+−=−=−=−−−n b a b b n n n n n n二阶线性递推式定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{，方程，叫做数列{的特征方程。

特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （二阶线性递推式） 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列 （分式递推式） 对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1） 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数） 代入12,a a 的值可求得c 值。

特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++−−−=⋅−−−.证明:2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+−=⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b cαβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()n n n n n n nn n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca d αααααβββββ+++−−++−+−+−∴===+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ−+−−−−−−−==−+−−−−−−−n n a a c a c a ααββ−−=⋅−−证毕定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+−+−.证明:22,d a c b cαα=−=−∵111()()()n n n n n n n n ca d ca daa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+−+−+−+−−+22222()(2)()()()2n n n n n nca a c ca a c ca a ca d a c a c a c a c a a αααααααααα+−+−+−===+−−+−−−−2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+−+−+−++===+−+−+−21n c a d a α=++−证毕例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.(1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略.解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a −−++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a −−+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−−+−−+−==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=−+为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333n nn n a a −−=−⋅=−+即3131n n na −=+例2.已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a −==−∈,求通项n a .解:考虑特征方程12x x=−得特征根1x =111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a −−−−−====+−−−−−−所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是以1111a =−为首项,公差为1的等差数列故11n n a =−即1n n a n+=例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a −−+==≥+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x −=，解得121,1x x ==−，令111111n nn n a a c a a ++−−=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =−，∴数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=+为首项，以13−为公比的等比数列，1111133n n n a a −−⎛⎞∴=⋅−⎜⎟+⎝⎠，3(1)3(1)n nn n n a −−∴=+−例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +−==∈+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2146x x x −=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==−，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+−⋅=−+，135106n n a n −∴=−2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4:若12λλλ==,则12()n n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.设)(11−+−=−n n n n ta a s ta a ，则11)(−+−+=n n n sta a t s a ,令⎩⎨⎧−==+qst p t s （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s ,则)(11111−+−=−n n n n a t a s a t a ,)(12221−+−=−n n n n a t a s a t a ,由等比数列性质可得1111211)(−+−=−n n n s a t a a t a ,1212221)(1−+−=−n n n s a t a a t a ,,21t t ≠∵由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..−−−−−=.（2）若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11t s =，则()()112112112111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n −==−=−=−−−−−+…，211121111s a t a s a s a nn n n −=−∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a t a n s a s a n n −−+=，所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=．例5.已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =−，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a −∴=+例6.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =−，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+×=⎪⎪⎨⎪=+×=⎪⎩，得1246c c =−⎧⎨=⎩，1322n n n a −−∴=例7.已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===−,求通项n a .解:考虑特征方程244x x =−得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+其中1211222()2024(2)81nn b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。