【高中数学】特征根法求通项公式

数列通项公式的求法 特征根法题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。

【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），即为a ca d =+，由此可以解得1d a c=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。

Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，即 111n n d d a ca d c c+-=+-–– 将上式变形得 ()111n n d d a c a c c +-=-–– 即 111n n da c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列{}111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。

注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。

【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。

解、在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8a 所以 1+2+3=82=2n n n a -因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –注意在草稿纸上进行此过程由题意得23a a =+，可以解得a =-3草稿纸题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。

【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉（剃光头），即2a pa q =+，为了方便把a 替换为x ，则有2=0x p x q --此时，我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。

特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①m n为（※）两根。

②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。

那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。

用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。

本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。

一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。

（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。

（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。

（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。

（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。

2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。

（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。

（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。

（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。

最终的通项公式为Un=2^n。

二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

特征方程法‎ 解递推关系‎中 通项公式一、（一阶线性递‎推式）若已知数列‎}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个‎,1,0≠≠c c 数列的通项‎公式。

采用数学归‎纳法可以求‎解这一问题‎，然而这样做‎太过繁琐，而且在猜想‎通项公式中‎容易出错，这里提出一‎种易于掌握‎的解法——特征方程法‎：针对问题中‎的递推关系‎式作出一个‎方程称之为‎,d cx x +=特征方程；借助这个特‎征方程的根‎快速求解通‎项公式.下面以定理‎形式进行阐‎述.定理1：设上述递推‎关系式的特‎征方程的根‎为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征‎,1,0≠c 方程得作换‎.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两‎例，说说说说明‎定理1的应‎用.例1．已知数列满‎}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为‎}{n b 31-公比的等比‎数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满‎}{n a 足递推关系‎：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数‎i 单位。

特征根法求数列通项推导
特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。

该方法先求出数列的递推关系式，然后通过特征根分解的方式得到数列的通项公式。

具体步骤如下：
1. 求出数列的递推关系式：
设数列为{an}，递推式为an=ra(n-1)+sa(n-2)，其中r和s为常数。

2. 将递推式改写成矩阵形式：
设矩阵A为[ r s 1 0 ]，列向量Xn为[an an-1 an-2 1]，则有Xn=AXn-1。

3. 求出矩阵A的特征多项式：
特征多项式为det(A-λE)，其中E为单位矩阵，λ为特征值。

4. 求出矩阵A的特征值：
解特征多项式得到矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3、λ4。

5. 求出矩阵A的特征向量：
将λ1、λ2、λ3、λ4带入(A-λE)X=0中，解出矩阵A的特征向量。

6. 将矩阵A分解成特征向量的形式：
将特征向量组合成矩阵P，将特征值组合成对角矩阵D，得到
A=PDP^-1。

7. 求出数列的通项公式：
将A=PDP^-1带入Xn=AXn-1中，得到数列的通项公式为an=c1λ
1^n+c2λ2^n+c3λ3^n+c4λ4^n，其中c1、c2、c3、c4为常数，根据初始条件可求出。

特征根法求解数列递推公式类型一、形如a n 2pa n 1qa n( p,q是常数）的数列（二阶线性递推式）形如 a 1m 1, a 2m 2 ,a n2pa n 1qa n ( p, q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a n ，其特征方程为x 2pxq ①（1）若①有二异根,，则可令a nc 1nc 2n(c 1, c 2 是待定常数）（2）若①有二重根，则可令a n(c 1nc 2 )n(c 1, c 2是待定常数）再利用a 1m 1, a 2m 2 , 可求得c 1 ,c 2 ，进而求得a n例 1 已知数列 { a n } 满足 a 12, a 23, a n 23a n 12a n (n N * ) ，求数列 { a n } 的通项a n解：其特征方程为 x 23x 2 ，解得 x 1 1, x 22 ，令 a n c 1 1n c 2 2n ，a 1 c 1 2c 2 2c 11 a n 1 2n11，由c 1 4c 2，得c 2a 2 32例 2 已知数列 { a n } 满足 a 1 1,a 2 2,4a n 2 4a n 1a n (nN * ) ，求数列 { a n } 的通项a n1，令 a n1 n解：其特征方程为 4 x 24x 1，解得 x 1 x 2c 1nc 2 ，22a 1 ( c 1 11c 2 )c 143n 2由2a n1，得，2n1a 2 (c 1c 262c 2 )24类型二、形如 a n 1 Aa n B的数列（分式递推式）Ca n D对于数列 a n 1 Aa n B， a1 m,n N*(A,B,C, D 是常数且 C 0,AD BC 0）Ca n D其特征方程为 x Ax B，变形为 Cx 2 (D A) x B 0 ②Cx D（1）若②有二异根, ，则可令an 1c a n （其中 c 是待定常数）a n 1 a n代入 a1 , a2的值可求得 c 值。

特征根法求数列的通项公式数列中最重要的一类问题，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的问题中，对数列通项公式的求解，往往是大家解决问题的瓶颈。

而通过递推公式求解数列通项公式的方法更尤为重要， 其中可以涉及到的类型有累加法、累乘法、迭代法、构造法、取对数法、取倒数法、双数列法等大家广为孰知的方法，这里向大家推荐一种不常用但很好用的方法——特征根法，特征根法适用范围更广泛，解题过程更标准化，在竞赛、保送以及自主招生考试题中经常运用，希望能对大家能有所帮助。

例. 设已知数列{a n }满足a 1 =b , a n +1 = ca n + d , 其中c ≠ 0, c ≠ 1, 求：这个数列的通项公式。

对于上题采用数学归纳法或构造法可以求解，然而归纳法太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错； 构造法需要以等差数列为依据，形式也比较复杂。

这里推荐更易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式做出一个方程 x = cx + d , 称之为特征方程；借助这个特征方程的根，快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述。

一阶线性递推式定理 1 ： 设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0 ，则当 x 0 = a 1 时， a n 为常数列， 即 a = a ;当x ≠ a 时, a = b + x ，其中{b }是以c 为公比的等比数列，即b = b c n -1 , b = a - x .n11nnnd n 1 1 1 0证明：因为c ≠ 0,1, 由特征方程得 x 0 =1 - c. 作换元b n = a n - x 0 , 则b n -1 = a n -1 x 0 = ca n + d - d1 - c= ca n cd 1 - c = c (a n x 0 ) =cb n . 当 x ≠ a 时， b ≠ 0 ，数列{b }是以c 为公比的等比数列，故b = b c n -1;11nn1当 x 0 = a 1 时， b 1 = 0 ，{b n }为 0 数列，故a n = a 1, n ∈ N. （证毕）.1例 1．已知数列{a n }满足： a n +1 = - 3a n - 2, n ∈ N, a 1 = 4, 求a n .1 3解：作方程 x = - 3 x - 2,则x 0 = - 2.当a = 4 时， a ≠ x , b= a + 3 = 11. 1 1 0 111 2 2数列{b n }是以- 3为公比的等比数列.于是b = b (- 1)n -1 = 11 (- 1)n -1, a = - 3 + b = - 3 + 11 (- 1)n -1, n ∈ N.n 13 2 3 n 2 n 2 2 3二阶线性递推式n 1 2定理 2 ：对于由递 推公式 a n +2 = pa n +1 + qa nx 2 - px - q = 0 ，叫做数列{a }的特征方程。

特征根法求数列通项原理特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。

在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。

一、特征根法的基本原理特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。

特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。

设数列的通项表示为：an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。

现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。

二、求解步骤1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。

对于一般的线性递推方程，形如：an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k其特征方程可表示为：x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 02.求解特征方程的根。

通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。

这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。

3. 根据特征根，构造数列的通解。

特征根λ1, λ2, ..., λk 对应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。

由于特征根可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。

4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。

根据已知的初始条件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,c2, ..., ck。

这样，我们就得到了数列的特定通解。

三、一个具体的求解例子为了更好地理解特征根法的求解步骤，我们来看一个具体的例子。

假设数列的递推关系为：an = 2 * an-1 - 3 * an-2，其中a0 = 2, a1 = 5步骤1：得到特征方程。

特征方程为：x^2-2x+3=0。

特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。

2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。

3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。

4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。

当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。

5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。

特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。