新教材高一数学典型问题解题策略专题10 分离变量与分式函数-(含答案)

第18讲 函数的零点与方程的解模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.知识点 1 函数的零点1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．【要点辨析】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点函数()=y f x有零点．x ⇔⇔知识点 2 函数零点存在定理1、函数零点存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．知识点 3 函数零点常用方法技巧1、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数．（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，且，则___________.【答案】-1003【解析】+++ +=+]++ +="-3+5-7+" +2001-2003="2+2+2+" +2-2003=-1003.【考点】分段函数；数列求和；化归与转化思想2.已知函数，则 .【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】分段函数.3.已知函数的定义域为集合.（1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求；（2）已知,若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值.试题解析：（1）由，得，， 2分， 3分当时，，于是，即， 5分，。

7分（2））由，得，即． .8分当时，，满足； 9分当时，，因为，所以解得， 11分又，所以；当时，，因为，所以解得，又，所以此时无解； 13分综上所述，实数的取值范围是． 14分【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.4.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。

【考点】分段函数.5.已知函数则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分段函数的函数值计算要注意自变量的取值范围，，.【考点】分段函数.6.函数（1）设函数，若方程在上有且仅一个实根，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值.【答案】（1）实数的取值范围（2）当时，，当时，【解析】（1）由二次方程在上有且仅一个实根，说明且根在上或一根在上一根不在上两种情况，由以上情况列出相应关系式求实数（2）当时，在上是分段函数，分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值.试题解析：（1）方程在上有且仅一个实根即方程在上有且仅一个实根 2分Ⅰ当方程在上有两个相等实根此时无解； 4分Ⅱ当方程一根在上一根不在上分两类情况①在上有且仅一个实根，则即 6分②当时，此时方程符合题意综上所述，实数的取值范围 8分（2）Ⅰ当时，∴当时， 10分Ⅱ当时，∵函数在上单调递增∴ 12分由得又∴当时，，当时，. 14分【考点】二次方程的实根分布，分段函数求最值.7.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值8.已知，则f(3)为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】因为，，所以，，选A。

分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.2.设函数则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知函数可得，，故D为正确答案.【考点】分段函数求值.3.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．6.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。

【考点】分段函数.7.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为A．10B．16C．18D．32【答案】B【解析】观察图（2），可知，，，由平面几何的知识易求得，∴，选B.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.函数满足: ,且,则【答案】【解析】本题给出的函数是一个递归式，可以按照原来函数的样子递归到1，再回推出4。

高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法【知识要点】1、在高中数学解题过程中，对于某些形如22()ax bx cf x dx ex f++=++的分式函数，经常要分离函数，把数学问题转化的简单易解.2、形如22()ax bx cf x dx ex f++=++的分式函数，如果分子分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的系数比；如果分母的最高次数比分子的最高次数低，可以直接利用竖式除法分离；如果分母的最高次数比分子的最高次数高，可以直接把分式的分子分母同时除以分子，再分离，再解答. 【方法讲评】【例1】已知函数31()log 1xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x =，求函数()g x 的值域．因为21x +是减函数，所以211y x =-++是减函数，则函数11x y x -=+在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故函数()g x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上也是减函数． 则max 1()12g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，min 1()12g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因此，函数()g x 的值域为[1,1]-．【点评】（1）对于形如22 ()ax bxcf xdx ex f++=++的函数，一般利用分离函数方法分离，再解答. 如果分子分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的系数比.11xx-+的分子分母最高次数都是“1”，所以分离出来的常数为它们的系数比“1-”. （2）把11xx-+分离成211x-++，再利用复合函数的单调性来分析就简洁多了.【反馈检测1】已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足234a a a+=，1134a a a=+，记21n nb a-=（n N*∈）（1）求数列{}n b的通项公式；-*科-（2）设数列221{}n nn nb bb b+++的前2014项和为2014T，求不超过2014T的最大整数．【例2】已知1x>，求22()1xf xx+=-的最小值.【点评】（1）本题也可以利用导数来求函数的最值，但是利用基本不等式效率要稍微高些.（2）要利用基本不等式关键是化简变形，使它满足“一正二定三相等”.怎么化简呢？对于形如22 ()1xf xx+=-的函数，一般先把分子配方配出2x-1)（，好和分母相约，再把分子的后面的一次项配出x-1)（，好和分母相约.最后结果的形式3()(1)21f x xx=-++-自然可以利用基本不等式了.（3）由于已知条件里有1x>，所以10x->，所以联想到利用基本不等式求函数的最值. 在平时的学习过程中，大家要注意观察想象，提高自己的反应能力.【反馈检测2】已知52x≥，求函数245()24x xf xx-+=-的最小值.【反馈检测3】定义在R上的函数()f x满足(4)1f=，已知()f x的导函数()f x'的图象如图所示，若两个正数a b、满足(2)1f a b+<，则231a ba+++的取值范围是（）75A.(,)531B.(,)(5,)3-∞+∞U5C.(,11)3D.(,3)-∞高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法参考答案【反馈检测1答案】（1）n b n =；（2）2014.【反馈检测1详细解析】（1）设奇数项构成等差数列的公差为d ，偶数项构成的等比数列的公比为q ，由234a a a +=，1134a a a =+，得322d qq d+=⎧⎨=⎩，解得1d =，2q =，则211(1)1n a n n -=+-⨯=，n b =21n a n -=．（2）22222111111111(1)1n n n n b b n n b b n n n n n n n n ++++==+=+=+-+++++当且仅当2122(2)x x -=-，即3x =时，上式等号成立.因为3x =在定义域内，所以最小值为1. 【反馈检测3答案】C【反馈检测3详细解析】由()f x '的图象知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，又∵(2)1f a b +<且(4)1f =所以24a b +<，∴a b 、满足2400a b a b +<⎧⎪>⎨⎪>⎩画出可行域为OAB ∆内部，如图所示：。

第05讲：分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现，特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中，经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成()()k f x k f x 或的形式，再解答.二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号，可以分类讨论，也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数xx x f ln 1)(（1）求曲线)(x f y 在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值；（3）对(0,),()2x f x bx 恒成立，求实数b 的取值范围．列表：x )1,0(1),1()('x f - 0 +)(x f ↘0↗函数)(x f y 的极小值为0)1(f , 无极大值。

（3）依题意对(0,),()2x f x bx 恒成立等价于2ln 1bx x x 在(0,)上恒成立可得x xx b ln 11在(0,)上恒成立，令21ln ln 2()1()xx g x g x x x x【点评】本题第（2）问是恒成立问题，刚好b 的系数x 是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值,比较简洁. 【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x . （1）若0a ,试判断()f x 在定义域内的单调性；（2）若()f x 在1,e 上的最小值为32,求a 的值；（3）若2()f x x 在1,上恒成立,求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x (,a b R,且0)的部分图象如图所示．(1) 求,,a b 的值；(2) 若方程23()()0f x f x m 在2(,)33x 内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．高中数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) f x 在0,上是单调递增函数；（2）a=-e ；（3）1a .【反馈检测1详细解析】（1）由题意知f x 的定义域为0,,且221f '(x)=+=, a>0,a xax x x ,x2376yO 1。

第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称．偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广()y f x =在定义域内恒满足()y f x =的图象的对称轴（中心）()()f a x f a x +=-直线x a =()()f x f a x =-直线2a x =()()f a x f b x +=-直线2a b x +=()()0f a x f a x ++-=点(,0)a ()()0f a x f b x ++-=点(,0)2a b+()()f a x f b x c++-=点(,)22a b c+知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.【注意】判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；（2）如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．3、性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是1D ，2D ，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：()f x ()g x ()()f xg x ±()()f xg x ⋅(())f g x 偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在(())f g x 中，()g x 的值域是()f x 定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据()()f x f x -=-或()()f x f x -=，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用()()f x f x -=-或()()f x f x -=求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；（2）把x -对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得()f x -；（3）利用函数的奇偶性把()f x -改写成()f x -，从而求出()f x ．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间[,]a b 和[,]b a --关于原点对称（1）若()f x 为奇函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最小值M -；（2）若()f x 为偶函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最大值M ．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由12()()f x f x >或12()()f x f x <及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()31f x x =-C ．()31f x x x=+D ．()422f x x x=+【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（）A．y =B ．1y x =+C ．3y x =D ．2y x =【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数()()1(0)01(0)x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的奇偶性是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A ．()12f x ++B ．()12f x -+C ．()12f x --D ．()12f x +-考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数()y f x =在R 上是奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=（）A ．1-B ．1C ．0D ．1±【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x =-，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．5-C ．7D ．5【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知3()3bf x ax x=++，(4)5f =，则()4f -=（）A ．3B ．1C ．-1D ．-5【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则(3)f -=（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．14B ．54C ．74D ．2【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若()()()2f x x x x a =+-为奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，则()()f n m f +=（）A ．34B ．25C ．16D ．9【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数()f x x x a=--为偶函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥C ．33a -≤≤D ．3a ≤-或3a ≥考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数()f x 的定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x是增函数，则(f ，()πf ，()3f -的大小关系是（）A ．(π)(3)(f f f >->B ．()(()π3f f f >>-C ．()()(π3f f f <-<D ．()(()π3f f f <<-【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数()f x 是奇函数且满足()()2f x f x =-，当[]()1212,0,1x x x x ∈≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()1a f =，83b f ⎛=⎫⎪⎝⎭，52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a b c<<【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数()f x 的定义域为[]0,4，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()2f x +为偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A ．()()()()23f f f f >B ．()()()()23f g f g <C ．()()()()23g g g g >D ．()()()()23g f g f <考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数()f x ，当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x-+B ．2x x--C ．2x x+D ．2x x-【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．3x x-+B ．3x x--C ．3x x-D ．3x x+【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数(1),0()(),0x x x f x g x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，那么()g x =（）A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足()0xf x ≥的x 的取值范围是（）A ．[]2,0[2,)∞-⋃+B ．[]22-,C ．[][,2]0,2∞--⋃D ．[][],22,-∞-+∞ 【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,∞+单调递减，则不等式()()121f x f x ->+的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数()31f x x x =++，且()()2342f a f a +-<，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞U C ．()(),14,-∞-⋃+∞D ．()1,4-一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（）A ．()f x =1xx -B ．()f x 2x C ．()f x 1x -1x -D ．()f x =x +1x2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．无法确定3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当<2x -时，()82f x x =+；当02x <≤时，()22f x x =-，则()()()301f f f ++-=（）A ．7B ．9C ．-7D ．-94．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则（）．A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f -=，则满足()111f x -≤+≤的x 的取值范围是（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]22-,D ．[]0,36．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在[4,4]-上的偶函数()f x 在[0,4]上为减函数，且(1)(2)f x f +>-，则实数x 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(]3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-二、多选题7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）()f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()()2f x f x f x --=C ．()()0f x f x -⋅≤D ．()()1f x f x =--8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，则下列说法正确的为（）A ．2a =-B ．2a =C ．((1))1f f -=-D ．()f x 的单调递增区间为,1(),)1(-∞-⋃+∞三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数()32–3f x ax x bx =++，且()106f =，则()10f -=．10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数()323f x x ax x b =+-+是定义在R 上的奇函数，则a b +=．11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，()221f x x x =-+，则()f x =．四、解答题12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f =；当0x <时，2()f x x ax =+.(1)求a 的值；(2)求函数()f x 在R 上的解析式；(3)解方程()6f x =；13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数()24xf x x=-，()2,2x ∈-.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)用定义法证明：函数()f x 在()2,2-上单调递增；(3)求不等式()()120f t f t +->的解集.第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称．偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广()y f x =在定义域内恒满足()y f x =的图象的对称轴（中心）()()f a x f a x +=-直线x a =()()f x f a x =-直线2a x =()()f a x f b x +=-直线2a b x +=()()0f a x f a x ++-=点(,0)a ()()0f a x f b x ++-=点(,0)2a b+()()f a x f b x c++-=点(,)22a b c+知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.【注意】判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；（2）如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．3、性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是1D ，2D ，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：()f x ()g x ()()f xg x ±()()f xg x ⋅(())f g x 偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在(())f g x 中，()g x 的值域是()f x 定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据()()f x f x -=-或()()f x f x -=，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用()()f x f x -=-或()()f x f x -=求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；（2）把x -对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得()f x -；（3）利用函数的奇偶性把()f x -改写成()f x -，从而求出()f x ．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间[,]a b 和[,]b a --关于原点对称（1）若()f x 为奇函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最小值M -；（2）若()f x 为偶函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最大值M ．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由12()()f x f x >或12()()f x f x <及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()31f x x =-C ．()31f x x x=+D ．()422f x x x=+【答案】C【解析】对于A ，因为()21f x x =+的定义域为R ，且()()22()11f x x x f x -=-+=+=，所以()21f x x =+为偶函数；对于B ，因为()31f x x =-的定义域为R ，且()()33()11f x x x f x -=-+=-+≠-，所以()31f x x =-不是奇函数；对于C ，因为()31f x x x=+的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()333111()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以()31f x x x =+为奇函数；对于D ，因为()422f x x x =+的定义域为R ，且()()4242()2()2f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()422f x x x =+为偶函数；故选：C .【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（）A．y =B ．1y x =+C ．3y x =D ．2y x =【答案】D【解析】对于A，y =[)0,∞+，它不关于原点对称，故A 不符合题意；对于B ，对于()1y f x x ==+而言，()()1201f f =≠=-，故B 不符合题意；对于C ，对于()3y f x x ==而言，()()1111f f =≠-=-，故C 不符合题意；对于D ，对于()2y f x x ==而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，且()()()22f x x x f x -=-==，故D 符合题意.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数()()1(0)001(0)x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的奇偶性是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【答案】A【解析】若0x <，则0x ->，则()()()11f x x x f x -=-+=--=-；若0x >，则0x -<，则()()()11f x x x f x -=--=-+=-.又()00f =，满足()()f x f x -=-.所以()()f x f x -=-，又函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，因此，函数()y f x =为奇函数.故选：A.【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A ．()12f x ++B ．()12f x -+C ．()12f x --D ．()12f x +-【答案】A【解析】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数()y f x =在R 上是奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=（）A ．1-B ．1C ．0D ．1±【答案】B【解析】()21121f =-=-，又()f x 在R 上是奇函数，故()()111f f -=-=.故选：B【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x =-，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．5-C ．7D ．5【答案】B【解析】()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x=-，则1112316513333f f ⎛⎫⎛⎫-==⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知3()3bf x ax x=++，(4)5f =，则()4f -=（）A ．3B ．1C ．-1D ．-5【答案】B【解析】设()()33bg x f x ax x=-=+，定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()()()33b bg x a x ax g x x x-=-+=--=--，故()g x 为奇函数，又()()443532g f =-=-=，则()42g -=-，所以()()443231f g -=-+=-+=.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则(3)f -=（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-【答案】D【解析】记()()23,0,0x x g x f x x ->⎧=⎨<⎩，因为()g x 为奇函数，所以()()33g g -=-，又()()33g f -=-，()32333g =⨯-=，所以()()()3333f g g -=-=-=-.故选：D考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．14B ．54C ．74D ．2【答案】D【解析】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D ．【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若()()()2f x x x x a =+-为奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】由函数()()()2f x x x x a =+-为奇函数，可得()()220f f -+=，可得()820a -=，解得2a =，经检验，当2a =时，()()()222(4)f x x x x x x =+-=-，满足()()f x f x -=-，符合题意，所以2a =.故选：D.【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，则()()f n m f +=（）A ．34B ．25C ．16D ．9【答案】A【解析】因为()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，所以2330n n -+-=，得到3n =，显然1m ≠-，由()y f x =图象关于y 轴对称，得到10m -=，解得1m =，所以()227f x x =+，满足要求，得到()()(3)(1)25934f f f f n m +=+=+=.故选：A.【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数()f x x x a=--为偶函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥C ．33a -≤≤D ．3a ≤-或3a ≥【答案】A【解析】 函数()f x =y =[3,3]-，且为偶函数，||y x x a ∴=--在[3,3]-(或其子集)上为偶函数，0x a ∴-≥恒成立，,(33) a x x ∴≤-≤≤恒成立， 3.a ∴≤-故选:A.考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数()f x 的定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x是增函数，则(f ，()πf ，()3f -的大小关系是（）A ．(π)(3)(f f f >->B ．()(()π3f f f >>-C ．()()(π3f f f <-<D ．()(()π3f f f <<-【答案】A【解析】由()f x 是R 上的偶函数，得((3)(3)f f f f =-=，又()f x 在()0,∞+上单调递增，则(3)(π)f f f <<，所以(π)(3)(f f f >->.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数()f x 是奇函数且满足()()2f x f x =-，当[]()1212,0,1x x x x ∈≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()1a f =，83b f ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a b c<<【答案】B【解析】[]()1212,0,1x x x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在[]1,1-上单调递增，因为()()2f x f x =-，所以8822333f f f b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5512222c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为21132-<-<，所以()21132f f f ⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：B 【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数()f x 的定义域为[]0,4，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()2f x +为偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()2f x +为偶函数，所以函数()2f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线2x =对称，且()()13f f =，又()f x 在[]0,2上单调递减，故()f x 在[]2,4上单调递增，5723422<<<< ，()57322f f f ⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A ．()()()()23f f f f >B ．()()()()23f g f g <C ．()()()()23g g g g >D ．()()()()23g f g f <【答案】D【解析】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数()f x ，当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x -+B ．2x x--C ．2x x+D ．2x x-【答案】D【解析】当0x <，则0x ->，()()()22f x x x x x -=-+-=-，又()f x 为偶函数，所以，当0x <时，()()2f x f x x x =-=-．故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．3x x -+B ．3x x--C ．3x x-D ．3x x+【答案】D【解析】()f x 为奇函数，当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，0x ->，()()()()33f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=+⎣⎦.故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数(1),0()(),0x x x f x g x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，那么()g x =（）A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【答案】A【解析】当0x <时，0x ->，所以()(1)(1)f x x x x x -=---=+，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()(1)f x x x -=+，即()(1)f x x x =-+，所以当0x <时，()(1)g x x x =-+.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】根据题意，由2()()1f x g x x x +=-+①得2()()1f x g x x x -+-=++，因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以2()()1f x g x x x -+=++②，由①②得2()2f x x =-，所以()f x x =-，则(2)2f =-.故选：A.考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-【答案】D【解析】由()10f x +<，可得()1f x <-，因为()f x 是奇函数，且()21f =，所以()()2f x f <-，因为()f x 在R 上单调递增，所以<2x -，故不等式()10f x +<的解集为(),2∞--．故选：D【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足()0xf x ≥的x 的取值范围是（）A ．[]2,0[2,)∞-⋃+B ．[]22-,C ．[][,2]0,2∞--⋃D ．[][],22,-∞-+∞ 【答案】B【解析】()f x 为R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减，(2)0f =，(2)0f ∴-=，(0)0f =，且在()0,∞+上单调递减，所以()02f x x ≥⇒≤-或02x ≤≤，()020f x x ≤⇒-≤≤或2x ≥，()0xf x ∴≥可得0202x x x >⎧⎨≤-≤≤⎩或，或0202x x x ≤⎧⎨-≤≤≥⎩或，即02x <≤或20x -≤≤，即22x -≤≤，故选：B.【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,∞+单调递减，则不等式()()121f x f x ->+的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】A【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()121f x f x ->+，又因为()f x 是在区间[)0,∞+单调递减，所以121x x -<+，即()()22121x x -<+，于是有2360x x +>，解得<2x -或0x >，故不等式()()121f x f x ->+的解集为()(),20,-∞-⋃+∞.故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数()31f x x x =++，且()()2342f a f a +-<，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞U C ．()(),14,-∞-⋃+∞D ．()1,4-【答案】A【解析】函数()31f x x x =++的定义域为R ，令函数3()=+g x x x ，则()()1f xg x =+显然33()()()()()g x x x x x g x -=-+-=-+=-，函数3,y x y x ==在R 上都单调递增，因此3()=+g x x x 在R 上单调递增，不等式()()2342f a f a +-<化为2(34)12()1g a a g -+++<，即2(34)(3)4()g g a a g a <--=-+，于是234a a <-+，即2340a a +-<，解得41a -<<，所以实数a 的取值范围是()4,1-.故选：A一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（）A ．()f x =1x x -B ．()f x 2x C ．()f x 1x -1x -D ．()f x =x +1x【答案】B【解析】选项A 中，函数定义域是{|1}x x ≠，函数没有奇偶性；选项B 中，函数定义域是(,)-∞+∞，22()()()f x x x f x -=-==，是偶函数；选项C 中，函数定义域是{1}，函数没有奇偶性；选项D 中，函数定义域是{|0}x x ≠，1()()f x x f x x-=--=-，函数是奇函数．故选：B ．2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．无法确定【答案】C【解析】因为()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，所以1210a -++=，解得0a =.故选：C.3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当<2x -时，()82f x x =+；当02x <≤时，()22f x x =-，则()()()301f f f ++-=（）A ．7B ．9C ．-7D ．-9【答案】B【解析】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()833832f f =--=-=-+，()()()211121f f -=-=--=，所以()()()3019f f f ++-=．故选：B ．4．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则（）．A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由偶函数知：()2(2)f f =-，又()f x 在(],0-∞上单调递增且3212<--<-，所以3(2)()(1)2f f f -<-<-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.故选：D 5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f -=，则满足()111f x -≤+≤的x 的取值范围是（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]22-,D ．[]0,3【答案】A【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞上单调递减，且()21f -=，可得()()221f f =--=-，则不等式()111f x -≤+≤，等价于212x -≤+≤，解得31x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]3,1-.故选：A.6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在[4,4]-上的偶函数()f x 在[0,4]上为减函数，且(1)(2)f x f +>-，则实数x 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(]3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-【答案】C【解析】因为()f x 为定义在[4,4]-上的偶函数，且(1)(2)f x f +>-，可得()1(2)f x f +>，且()f x 在[0,4]上为减函数，则012x ≤+<，解得31x -<<，所以实数x 的取值范围是()3,1-.故选：C.二、多选题7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）()f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()()2f x f x f x --=C ．()()0f x f x -⋅≤D ．()()1f x f x =--【答案】AC【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，且()00f =，因此()()0f x f x -+=，A 正确；()()()2f x f x f x --=-，B 错误；又()()()20f x f x f x -⋅=-≤⎡⎤⎣⎦，C 正确；而当0x =时，()00f =，此时式子()()f x f x -无意义，D 错误.故选：AC8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，则下列说法正确的为（）A ．2a =-B ．2a =C ．((1))1f f -=-D ．()f x 的单调递增区间为,1(),)1(-∞-⋃+∞【答案】BC【解析】因为函数()f x 为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，即1(12)a -+=--，解得2a =，故B 正确，A 错误；因为(1)121f -=-+=，所以((1))(1)1f f f -==-，故C 正确；作出()f x 的图象，如图，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，D 选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数()32–3f x ax x bx =++，且()106f =，则()10f -=．【答案】188【解析】令()3g x ax bx =+，()2–3h x x =，R x ∈，则()()()33g x ax bx ax bx g x -=--=-+=-，()()2–3h x x h x -==，所以()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，又()()()f x g x h x =+，且()()()1010106f g h =+=，()21010397h =-=，所以()1091g =-，()()101097h h -==，又()()101091g g -=-=，所以()()()1010109197188f g h -=-+-=+=.故答案为：18810．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数()323f x x ax x b =+-+是定义在R 上的奇函数，则a b +=．【答案】0【解析】由题意得()()()()()3232330f x f x x a x x b xax x b -+=-+---+++-+=，即2220ax b +=恒成立，则0a b ==，则0a b +=，故答案为：0.11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，()221f x x x =-+，则()f x =．【答案】2221,00,021,0x x x x x x x ⎧--->⎪=⎨⎪-+<⎩【解析】函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，所以()00f =，设0x >，则0x -<，2()21f x x x -=++，又因为()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，所以2()21f x x x =---所以2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧--->⎪==⎨⎪-+<⎩.四、解答题12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f =；当0x <时，2()f x x ax =+.(1)求a 的值；(2)求函数()f x 在R 上的解析式；(3)解方程()6f x =；【答案】(1)5；(2)225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩；(3)解集为{}6,2,3-【解析】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()1114f f a =--=--=，解得5a =；（2）当0x <时，2()5=+f x x x ，()f x 是定义在R 上的奇函数，则当0x >时，0x -<，则()()22()()55f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦，0x =时也满足，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩.（3）方程()6f x =，即2056x x x ≥⎧⎨-+=⎩或2056x x x <⎧⎨+=⎩，解得2x =或3x =或6x =-，所以方程()6f x =的解集为{}6,2,3-.13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数()24xf x x =-，()2,2x ∈-.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)用定义法证明：函数()f x 在()2,2-上单调递增；(3)求不等式()()120f t f t +->的解集.【答案】(1)()f x 为奇函数；(2)证明见解析；(3)112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由()()22044x xf x f x x x --+=+=--，且定义域()2,2x ∈-关于原点对称，故()f x 为奇函数.（2）任取12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，()()()()()()()()()()()()()()221221121212121212122222222212121212444444444444x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--+-=-===--------，因为12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，故120x x -<，()124,4x x ∈-，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以()()()()121222124044x x x x x x -+<--，()()120f x f x -<，故函数()f x 在(2,2)-上单调递增；（3）由（1）（2）2()4xf x x =-为奇函数，且在(2,2)-上单调递增，()(12)0f t f t +->变形为()()(12)21f t f t f t >--=-，则要满足22122221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪>-⎩，解得：112t -<<，故不等式的解集为112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭。

变量分离技巧的应用知 识 拓 展分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.结论1 不等式f (x )≥g (a )恒成立⇔[f (x )]min ≥g (a )(求解f (x )的最小值)； 不等式f (x )≤g (a )恒成立⇔[f (x )]max ≤g (a )(求解f (x )的最大值).结论2 不等式f (x )≥g (a )存在解⇔[f (x )]max ≥g (a )(求解f (x )的最大值)； 不等式f (x )≤g (a )存在解⇔[f (x )]min ≤g (a )(求解f (x )的最小值).结论3 方程f (x )＝g (a )有解⇔g (a )的范围与f (x )的值域有交集(求解f (x )的值域). 解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类； (2)确定是求最大值、最小值，还是值域.题 型 突 破题型一 不等式恒成立求参数【例1】 已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)＋a －1(x >－1，a ∈R ).若函数f (x )在x ＝0处取到极值，且对任意x ∈(－1，＋∞)，f (x )≥mx ＋m －2恒成立，求实数m 的取值范围. 解 f ′(x )＝a －1x ＋1，f ′(0)＝a －1＝0， ∴a ＝1，f (x )＝x －ln(x ＋1)， ∴f (x )＝x －ln(x ＋1)≥m (x ＋1)－2， ∴m ≤x ＋2－ln （x ＋1）x ＋1(x >－1).令x ＋1＝n ，n >0， ∴m ≤n －ln n ＋1n ＝1－ln n n ＋1n， 设g (n )＝1－ln n n＋1n，n >0，则g ′(n )＝ln n －2n2； 当n ∈(0，e 2)时，g ′(n )<0，g (n )单调递减， 当n ∈(e 2，＋∞)时，g ′(n )>0，g (n )单调递增，则g (n )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 2. 【训练1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，x ∈(0，1]，且|f (x )|≤3恒成立，求a 的取值范围. 解 由题意|x 2＋ax ＋1|≤3， 即－3≤x 2＋ax ＋1≤3， 所以－4－x 2≤ax ≤2－x 2， 又x ∈(0，1]， 即－4x －x ≤a ≤2x－x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x－x max ≤a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min，g (x )＝－4x－x 在(0，1]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (1)＝－5.h (x )＝2x－x 在(0，1]上单调递减，所以h (x )min ＝h (1)＝1.所以－5≤a ≤1，即a 的取值范围是[－5，1]. 题型二 不等式有解求参数【例2】 已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式f ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立.所以满足要求的实数a 的取值范围是(－∞，－22).【训练2】 已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 f (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x－ax －2，由f (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设h (x )＝1x 2－2x，所以只要a >h (x )min 即可.而h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以h (x )min ＝－1. 所以a >－1，即实数a 的取值范围为(－1，＋∞). 题型三 含参数的方程有解问题【例3】 已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值点，求实数a 的最大值. 解 由题意f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有解， ∴a ＝ln x ＋12x ，x ∈(0，＋∞)，令g (x )＝ln x ＋12x，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝－2ln x4x2， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； ∴g (x )最大＝g (x )极大＝g (1)＝12，故实数a 的最大值为12.【训练3】 已知f (x )＝x 3＋(k －1)x 2＋(k ＋5)x －1在区间(0，3)上不单调，求k 的取值范围.解 f ′(x )＝3x 2＋2(k －1)x ＋(k ＋5)， 因为f (x )在区间(0，3)上不单调， 所以f (x )在(0，3)上有极值点，由f ′(x )＝0得k (2x ＋1)＝－(3x 2－2x ＋5)，所以k ＝－3x 2－2x ＋52x ＋1＝－34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x ＋1）＋92x ＋1－103， 令t ＝2x ＋1，有t ∈(1，7)，记h (t )＝t ＋9t，则h (t )在(1，3]上单调递减，在[3，7)上单调递增， 所以有h (t )∈[6，10)，得k ∈(－5，－2]，而当k ＝－2时有f ′(x )＝0在(0，3)上有两个相等的实根x ＝1，故舍去，所以k ∈(－5，－2).补 偿 训 练一、选择题1.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，x ∈(1，4). 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 A2.对任意实数x ，若不等式4x－m ·2x＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－2，2) C.(－∞，2]D.[－2，2]解析 由4x－m ·2x＋1>0知m <4x＋12x ＝2x ＋12x .对任意实数x ，原不等式4x－m ·2x＋1>0恒成立. 所以实数m 小于2x＋12x 的最小值，又2x >0，所以2x＋12x ≥22x·12x ＝2，当且仅当2x＝12x ，即x ＝0时等号成立，故2x＋12x 的最小值为2.即m <2，故选A. 答案 A3.若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 因为2x>0，所以由2x(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1. 答案 D4.已知函数f (x )＝m ·9x －3x，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A.m ≥12B.0<m <12C.0<m <2D.m ≥2解析 由题意得关于x 的方程m ·9－x－3－x＝m ·9x －3x有非零实数解，整理得到：m ＝3x（3x ）2＋1＝13x ＋13x<12，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <12. 答案 B 二、填空题5.(2019·上海徐汇区一模)若不等式(－1)n·a <3＋（－1）n ＋1n ＋1对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 n 为偶数时，a <⎝⎛⎭⎪⎫3－1n ＋1min ，即a <3－13＝83； n 为奇数时，－a <⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1n ＋1min即－a ≤3，∴a ≥－3，综上实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，83. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，836.(2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________.解析 当－3≤x ≤0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为x 2＋2x ＋a －2≤－x 恒成立，即a ≤－x 2－3x ＋2恒成立，所以a ≤(－x 2－3x ＋2)min ＝2；当x >0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为－x 2＋2x －2a ≤x 恒成立，即a ≥－x 2＋x2恒成立，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋x 2max ＝18.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 7.设函数f (x )＝lg 1x＋2x＋3x＋…＋9x＋10xa10，其中a 为实数，如果当x ∈(－∞，1]时f (x )有意义，则a 的取值范围是________.解析 由函数f (x )＝lg 1x＋2x＋3x＋…＋9x＋10xa 10在x ∈(－∞，1]上有意义得1x ＋2x ＋3x＋…＋9x＋10xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－⎝ ⎛⎭⎪⎫110x －⎝ ⎛⎭⎪⎫210x －⎝ ⎛⎭⎪⎫310x －…－⎝ ⎛⎭⎪⎫910x在x ∈(－∞，1]上恒成立，设g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110x －⎝ ⎛⎭⎪⎫210x －⎝ ⎛⎭⎪⎫310x －…－⎝ ⎛⎭⎪⎫910x，则易得g (x )在x ∈(－∞，1]上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝－92，所以a >－92.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，＋∞8.(2019·上海嘉定区调研)若不等式x 2－2y 2≤cx (y －x )对满足x >y >0的任意实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________.解析 ∵不等式x 2－2y 2≤cx (y －x )对任意满足x >y >0的实数x ，y 恒成立，∴c ≤x 2－2y 2xy －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－2xy －⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2，令x y＝t >1，∴c ≤t 2－2t －t 2＝f (t )，f ′(t )＝t 2－4t ＋2（t －t 2）2＝（t －2－2）（t －2＋2）（t －t 2）2， 当t >2＋2时，f ′(t )>0，函数f (t )单调递增； 当1<t <2＋2时，f ′(t )<0，函数f (t )单调递减. ∴当t ＝2＋2时，f (t )取得最小值，f (2＋2)＝22－4. ∴实数c 的最大值为22－4. 答案 22－4 三、解答题9.已知a 和b 是任意非零实数.(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立， 即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集. 解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2]. 10.已知函数f (x )＝|x |＋m x－3，m ∈R ，x ≠0. (1)判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由. (2)讨论函数y ＝f (x )的零点个数. 解 (1)当m ＝0时，f (x )＝|x |－3，此时f (－x )＝f (x )，又x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f (x )为偶函数. 当m ≠0时，∵f (1)＝m －2，f (－1)＝－m －2，∴f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)由f (x )＝0，可得x |x |－3x ＋m ＝0(x ≠0)， 变为m ＝－x |x |＋3x (x ≠0)，令g (x )＝3x －x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2＋3x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94，x <0，作y ＝g (x )的图象及直线y ＝m ，由图象可得：当m >94或m <－94时，y ＝f (x )有1个零点；当m ＝94或m ＝0或m ＝－94时，y ＝f (x )有2个零点；当0<m <94或－94<m <0时，y ＝f (x )有3个零点.11.(2019·宁波模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x，其中a 为常数且a ∈R .(1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值；(2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求实数b 的最小值.解 (1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x 2，因为x >0，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12a ＋1＝0，所以a ＝－52，此时f (x )＝－52ln x ＋x －1x，则f ′(x )＝x 2－52x ＋1x 2＝（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数， 所以x ＝2为极小值点，则极小值为f (2)＝32－5ln 22.(2)不等式a ln x －1x≤b －x 即为f (x )≤b ，所以b ≥f (x )max .若1≤x ≤2，则ln x ≥0，f (x )＝a ln x ＋x －1x ≤x －1x ≤2－12＝32.当a ＝0，x ＝2时取等号； 若12≤x <1，则ln x <0， f (x )＝a ln x ＋x －1x ≤－52ln x ＋x －1x.由(1)可知g (x )＝－52ln x ＋x －1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数.所以当12≤x <1时，g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52ln 2－32.因为52ln 2－32<52－32＝1<32，所以f (x )max ＝32，于是b min ＝32.12.(2019·杭州调研)已知函数f (x )＝2x ＋2－x. (1)求证：函数f (x )是偶函数； (2)设a ∈R ，求关于x 的函数y ＝22x＋2－2x－2af (x )在x ∈[0，＋∞)时的值域g (a )的表达式；(3)若关于x 的不等式mf (x )≤2－x＋m －1在x ∈(0，＋∞)时恒成立，求实数m 的取值范围. (1)证明 函数f (x )的定义域为R ，对任意x ∈R ，f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )， 所以，函数f (x )是偶函数. (2)解 y ＝22x＋2－2x－2a (2x ＋2－x )＝(2x ＋2－x )2－2a (2x ＋2－x)－2，令2x＋2－x＝t ，因为x ≥0，所以2x≥1，故t ≥2， 原函数可化为y ＝t 2－2at －2，t ∈[2，＋∞)，y ＝t 2－2at －2＝(t －a )2－a 2－2图象的对称轴为直线t ＝a ，当a ≤2时，函数y ＝t 2－2at －2在t ∈[2，＋∞)时是增函数，值域为[2－4a ，＋∞)； 当a >2时，函数y ＝t 2－2at －2在t ∈[2，a ]时是减函数，在t ∈[a ，＋∞)时是增函数，值域为[－a 2－2，＋∞).综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧[2－4a ，＋∞），a ≤2，[－a 2－2，＋∞），a >2.(3)解 由mf (x )≤2－x ＋m －1，得m [f (x )－1]≤2－x－1， 当x >0时，2x >1，所以f (x )＝2x ＋2－x>2，所以f (x )－1>1>0， 所以，m ≤2－x－1f （x ）－1＝2－x－12x ＋2－x －1＝1－2x22x ＋1－2x恒成立.令t ＝1－2x，则t <0，1－2x22x ＋1－2x ＝t （1－t ）2＋t ＝tt 2－t ＋1＝1t ＋1t－1， 由t <0，得t ＋1t ≤－2，所以t ＋1t －1≤－3，－13≤1t ＋1t－1<0. 所以，m ≤－13，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.。

第20讲 函数模型的应用模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．会利用已知函数模型解决实际问题；2．能建立函数模型解决实际问题；3．了解拟合函数模型并解决实际问题.知识点 1 函数模型的选择与建立1、几种常见的函数模型（1）一次函数模型：=+y kx b （k ，b 为常数，0≠k ）（2）二次函数模型：2=++y ax bx c （,,a b c 为常数，0≠a ）（3）指数函数模型：=+xy ba c （,,a b c 为常数，0≠b ，0>a 且1≠a ）（4）对数函数模型：log =+a y m x n （,,m a n 为常数，0≠m ，0>a 且1≠a ）（5）幂函数模型：=+ny axb （,a b 为常数，0≠a ）（6）分段函数模型：,,+<⎧=⎨+≥⎩ax b x my cx d x m ．2、建立函数模型时，求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式．（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式．（3）方程法：用x表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于,x y的方程．3、用函数模型求解应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学模型；（4）还原：将数学结论还原为实际问题．知识点 2 拟合函数模型的建立与求解1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．3、函数拟合与预测的一般步骤（1）通过原始数据、表格，绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；（5）利用选取的拟合函数进行预测；（6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．考点一：指数型函数模型的应用例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：C ︒）满足的函数关系为e kt b T +=（k ,b 为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0C ︒时的有效保存时间是1080h ，在10C ︒时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15C ︒时的有效保存时间是（ ）A ．15hB ．30hC ．40hD ．60h【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r （3g/m ）满足函数模型()0.2512.250.043n n r -=-⨯（n *∈N ），其中n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则t min 后该物体的温度θ℃可由公式4010()e tθθθθ-=+-求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取：ln 20.69=，ln 3 1.10=）A ．4.14minB ．5.52minC ．6.60minD ．7.16min【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I 随时间x （单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：0e kxI I =，其中0,I k 为常数，0I 为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了21%，则感染人数累计增加80%需要的时间大约为（ ）（参考数据：ln3 1.1,ln5 1.6,ln10 2.3≈≈≈，ln11 2.4≈）A ．10.5天B ．9天C ．8天D ．6天考点二：对数型函数模型的应用例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为25log 10Qv =，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为1Q 时的飞行速度为1v ，耗氧量的单位数为2Q 时的飞行速度为2v ，若()217.5m /s v v -=，则12Q Q 的值为（ ）A B C ．D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．48%B ．37%C ．28%D ．15%【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数 (0)p p > 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级.声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）A ．12p p <B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p >【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M 的计算公式：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（ ）A ．6，1000B ．4，1000C ．6，10000D ．4，10000考点三：根据增长率选择函数模型例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：x 0.50.99 2.01 3.98y﹣0.990.010.982.00在四个函数模型中，最能反映x ，y 函数关系的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ．2()f x ax bx c =++B ．()e x f x a b =+C ．()e ax bf x +=D ．()ln f x a x b=+【变式3-2】（23-24高一上·江苏·月考）若三个变量1y 、2y 、3y ，随着变量x 的变化情况如下表.x13579111y 51356251715364566552y 52924521892196851771493y 56.10 6.616.9857.27.4则关于x 分别呈函数模型：log a y m x n =+、x y pa q =+、a y t kx =+变化的变量依次是（ ）A ．1y 、2y 、3y B ．3y 、2y 、1y C ．1y 、3y 、2y D ．3y 、1y 、2y 【变式3-3】（22-23高一上·广东揭阳·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：x 1.0 2.0 4.08.0y0.010.992.023现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（ ）A ．2log y x=B ．2xy =C ．223y x x =+-D ．23y x =-考点四：拟合函数模型的建立例4.（23-24高一上·河南南阳·月考）数据显示，某IT 公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：月份23456月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y （万元）与月份x 的函数模型时，给出两个函数模型12y x =与23xy =供选择.(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【变式4-1】（23-24高一上·江苏·月考）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：()x T 123456⋯(y 万个)⋯10⋯50⋯250⋯若该变异毒株的数量(y 单位：万个)与经过()*x x N ∈个单位时间T 的关系有两个函数模型2y px q =+与)01(x y ka k a =>>，可供选择．(2.236≈ 2.449≈，lg 20.301≈，lg 60.778.≈(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．【变式4-2】（22-23高一上·福建南安·月考）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x234568y3.53.844.164.34.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②y b =，③2x a y b -=+．(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．【变式4-3】（22-23高一上·贵州黔东南·期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号()x 1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离()y 0.7 1.0 1.6 5.2110.01(1)为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号x 之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；①y ax b =+；②2x y a b =⨯+；③2log y a x b =+．(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．一、单选题1．（23-24高一下·云南·月考）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=，其中τ是一个常数．把混响时间R T 定义为声音的声强衰减到原来的610-所需的时间，则R T 约为（参考数据：ln20.7,ln5 1.6≈≈）（ ）A ．6.72τB ．8.3τC ．13.8τD ．148τ2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.080.033lg 20.301lg 30.477≈≈≈，，）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20243．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%100%~，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：ln20.69,ln3 1.10≈≈）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．1.54．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L a b V =+（其中a ，b 为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1，则（ ）A ．5a =，b lge =B ．5a =，1b =C ．5a =，ln10b =D ．1a =，5b =5．（23-24高一上·北京·月考）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km /s 与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0km /s v ．若要使火箭的最大速度达到02km /s v ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）A ．22t B ．2002t t +C ．02t D ．2002t t +6．（23-24高一上·全国·月考）有一组实验数据如下:t 1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．2log V t=B ．12log V t=C ．212t V -=D ．22V t =-二、多选题7．（23-24高三下·江西·月考）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量m (单位:mg /L)与时间t (单位:h )满足关系式()e btam t =，已知处理1h 后，重金属含量减少20%，则（ ）(lg 20.301≈)A ．a 表示未经处理时土壤中的重金属含量B ．b 的值为ln 0.8C ．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2hD ．函数()m t 为减函数8．（22-23高一下·广西柳州·月考）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =（0a >，且1a ≠）.下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．第5个月时，浮萍面积就会超过230mC ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t +=三、填空题9．（22-23高一上·浙江台州·月考）声强级（单位：dB ）由公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.平时常人交谈时声强约为6210W/m -，则其声强级是 dB .10．（23-24高三上·云南楚雄·期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y （mg ）与时间t （年）近似满足关系式212log 1y a t =+（0a ≠），其中a 是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的14. 1.41≈，答案保留一位小数）11．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是0T ，经过min t 后的温度是T ，则()()0ee 2.71828thT T T T αα--=-≈ ，其中T α表示环境温度，h 为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置 min 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）四、解答题12．（22-23高一上·重庆·月考）为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.xL 40505560L yL603015L(1)根据表中提供的数据描出实数对(),x y 的对应点，确定y 与x 的一个函数关式()y f x =(2)设经营此商品的日销售利润为()L x （单位：元），根据上述关系，写出()L x 关于x 的函数解析式，并求日销售利润的最大值.13．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x （百万元）与利润y （百万元）的关系如下表：x （百万元）L 2L 4L 12L y （百万元）L0.4L0.8L12.8L当投资成本x 不高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）的关系有两个函数模型2(0)y Ax B A =+>与(0,1)x y Ta T a =>>可供选择.(1)当投资成本x 不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)当投资成本x 高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）满足关系()()0.2121712.8y x x =---+，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本x （百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：lg20.30≈）第20讲 函数模型的应用模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．会利用已知函数模型解决实际问题；2．能建立函数模型解决实际问题；3．了解拟合函数模型并解决实际问题.知识点 1 函数模型的选择与建立1、几种常见的函数模型（1）一次函数模型：=+y kx b （k ，b 为常数，0≠k ）（2）二次函数模型：2=++y ax bx c （,,a b c 为常数，0≠a ）（3）指数函数模型：=+xy ba c （,,a b c 为常数，0≠b ，0>a 且1≠a ）（4）对数函数模型：log =+a y m x n （,,m a n 为常数，0≠m ，0>a 且1≠a ）（5）幂函数模型：=+ny axb （,a b 为常数，0≠a ）（6）分段函数模型：,,+<⎧=⎨+≥⎩ax b x my cx d x m ．2、建立函数模型时，求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式．（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式．（3）方程法：用x表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于,x y的方程．3、用函数模型求解应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学模型；（4）还原：将数学结论还原为实际问题．知识点 2 拟合函数模型的建立与求解1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．3、函数拟合与预测的一般步骤（1）通过原始数据、表格，绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；（5）利用选取的拟合函数进行预测；（6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．考点一：指数型函数模型的应用例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：C ︒）满足的函数关系为e kt b T +=（k ,b 为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0C ︒时的有效保存时间是1080h ，在10C ︒时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15C ︒时的有效保存时间是（ ）A ．15hB ．30hC ．40hD ．60h【答案】C【解析】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===，所以51e 3k =，所以151e 27k=，所以15151ee e 10804027k b k b +=⋅=⨯=.故选：C ．【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r （3g/m ）满足函数模型()0.2512.250.043n n r -=-⨯（n *∈N ），其中n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次【答案】C【解析】()0.2512.250.043n n r -=-⨯，由0.25n r ≤，得()0.251350n -≥，即()lg500.251lg3n -≥，得()42lg2115.17lg3n -≥+≈，又*n ∈N ，所以16n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次.故选：C【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则t min 后该物体的温度θ℃可由公式4010()e tθθθθ-=+-求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取：ln 20.69=，ln 3 1.10=）A ．4.14minB ．5.52minC ．6.60minD ．7.16min【答案】D【解析】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是422080e tθ-=+，40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是432020e tθ-=+，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则42360e 10tθθ--=≤，解得4ln 64(ln 2ln 3)7.16t ≥=+=，所以至少要经过7.16min.故选：D【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I 随时间x （单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：0e kxI I =，其中0,I k 为常数，0I 为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了21%，则感染人数累计增加80%需要的时间大约为（ ）（参考数据：ln3 1.1,ln5 1.6,ln10 2.3≈≈≈，ln11 2.4≈）A ．10.5天B ．9天C ．8天D ．6天【答案】B【解析】当3x =时，感染人数累计增加了21%，则()300e 10.21kI I I ==+，所以3e 1.21k =，则3ln1.212ln1.1k ==，所以2ln1.13k =，所以感染人数累计增加80%可得()00e 10.8kx I I I ==+，则2ln1.13e 1.8x⎛⎫⎪⎝⎭=，此时2ln1.1ln1.83x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以9ln3ln1.8332ln 3ln 532 1.1 1.659112ln1.122ln11ln102 2.4 2.3ln 10x -⨯-=⋅=⋅=⋅≈⨯=--，故感染人数累计增加80%需要的时间大约为9天.故选：B.考点二：对数型函数模型的应用例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为25log 10Qv =，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为1Q 时的飞行速度为1v ，耗氧量的单位数为2Q 时的飞行速度为2v ，若()217.5m /s v v -=，则12Q Q 的值为（ ）ABC．D【答案】D【解析】因为217.5v v -=，所以127.5v v -=-所以3121122222235log 5log 7.5log 210102Q Q Q Q Q Q --=-⇒=-⇒===，故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．48%B ．37%C ．28%D ．15%【答案】A【解析】由题意可得，当1000SN=时，12log 1000C W =，当5000SN=时，221.2log 5000C W =，所以()2221226lg1000lg 51.2log 50006log 50006lg 5000log 10005log 10005lg100015C W C W +====()231lg 282lg 2820.30101.48555+---⨯==≈≈，所以C 的增长率约为0048.故选：A【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数 (0)p p > 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级.声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）A ．12p p <B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p >【答案】C【解析】对于燃油汽车，得106020lg90p p ≤⨯≤，则92010100010p p p ≤≤，对于混合动力汽车，有25020lg60p p ≤⨯≤，则52020101000p p p ≤≤，则12p p ≥，A错误；对于电动汽车，有320lg40p p ⨯=，即30100p p =，C 正确；由以上可知2310p p ≤，B 错误；又5922220011001010p p p p +≥=≥，D 错误，故选：C【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M 的计算公式：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（ ）A ．6，1000B ．4，1000C ．6，10000D ．4，10000【答案】C【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则()0lg lg lg1000lg0.001=336M A A =-=---=； 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，则有9lg lg 0.001,5lg lg 0.001x y =-=-，解得6210,10x y ==，所以62101000010x y ==，故选：C.考点三：根据增长率选择函数模型例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：x 0.50.99 2.01 3.98y﹣0.990.010.982.00在四个函数模型中，最能反映x ，y 函数关系的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =【答案】D【解析】对于A ，当0.5x =时，1y =，与表格相差过大，故排除，对于B ，当 2.01x =时，y =3.0401，与表格相差过大，故排除，对于C ，当 2.01x =时，y =2.02，与表格相差过大，故排除，对于D ，由对数函数性质知，表格里的数与2log y x =上的点相差较小，故正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ．2()f x ax bx c =++B ．()e x f x a b =+C ．()e ax bf x +=D ．()ln f x a x b=+【答案】D【解析】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势，。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

可编辑修改精选全文完整版高考数学（理）专题练习（五）分离（常数）参数法（讲）一．分离常数法1.1．用分离常数法求分式函数的最值例1．函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________． 1.2．用分离常数法求函数的值域例2．函数22(1)1x y x x +=>-的最小值是（ ） A．2B．2 C． D ．21.3．用分离常数法判断分式函数的单调性例3．已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性． 例4．已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间123⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数，则实数a 的取值范围 _________．二．分离参数法2.1．用分离参数法解决不等式恒成立问题例5．已知数列{}n a 是以为首项，以为公差的等差数列，数列{}n b 满足(1)2n n b n a =+．若对n +∈N 都有 4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是_________．2.2．求定点的坐标例6．已知直线:(21)(1)740l m x m y m ++++--=，m ∈R ，求证：直线l 恒过定点．t 2分离（常数）参数法（讲）答 案例1．2例2．A例3． 解：由已知有()1,x b a b a b y x b x b x b++--==+≠++， ∴当0a b ->时，函数()f x 在(),b -∞-和(),b -+∞是减函数； 当0a b -<时，函数()f x 在(),b -∞-和(),b -+∞上是增函数．例4．43a ≥． 例5．[18,14]-- 例6．解：直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=， 设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得()403,1270x y M x y +-=⎧⇒⎨+-=⎩， ∴直线l 恒过定点()3,1分离（常数）参数法（讲）解 析例1．例2．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2例3． 例4．【解析】∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x≥-+在1[2]3，恒成立，∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥。

A. ［－1，3］B. ［－3，1］C. ［－2，2］D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔*〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔*〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔*+1〕的图象是由y=f 〔*〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔*+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔*+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔*〕＝*2－2*，则函数f 〔*〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长*的函数，则其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2*〔*≤10〕 B.y ＝20－2*〔*<10〕C.y ＝20－2*〔4≤*<10〕D.y ＝20－2*〔5<*<10〕解：Y=20-2* Y>0，即20-2*>0，*<10， 两边之和大于第三边， 2*>Y ， 即2*>20-2* 4*>20 *>5。

此题定义域较难，很容易忽略*>5。

∴54、二次函数y ＝*2－4*＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，则区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为*=2，当*=0或*=4时有最大值y=4，*=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，则函数y ＝f 〔*＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤*≤4 则3+2 ≤*+2≤4+2，所以5≤*+2≤6 所以 y=f(*)的定义域为[5,6] 则5≤*+5≤6，则0≤*≤1 所以y ＝f 〔*＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕333.1(02).1(02)2223.1(02).11(02)2A y x x B y x x C y x x D y x x =-≤≤=--≤≤=--≤≤=--≤≤二. 填空题。

备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题一 分离变换法一、分离变换法：分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分离整式法、分离参数法及分离函数法。

二、方法详解 （一）分离常数法分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx cy mx nx p ++=++，x x m a ny p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 【例】已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( ) A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034【解析】由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝201820182018220181x x⨯+-+=2 018－22 018x ＋1。

因为y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034。

故选D 。

【例】若对任意实数x 恒有222231x a a x +<<+，求实数a 的取值范围.【分析】从22231x x ++中分离出2，使分子为常数，便于求范围。

【解析】因为222231211x x x +=+++，由2221100122311x x x ≥⇒<≤⇒<+≤++，所以223a a ≤⎧⎨>⎩，2a a <<≤。

专题二 函数的解析式与分段函数1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示． 2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．5．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 考点一 求函数的解析式 【方法总结】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f (x )可设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(4)解方程组法：已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【例题选讲】[例1] (1) 已知1()xf x +＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝__________；答案x 2－x ＋1解析 (配凑法)1()x f x+＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1．令x ＋1x ＝t (t ≠1)，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1．(2) 已知2(1)f x +＝lg x ，则f (x )＝__________；答案 lg 2x －1(x >1) 解析 (换元法)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(3) 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋3，则f (x )＝__________；答案 12x 2＋52x ＋2 解析 (待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝c ＝2，得f (x )＝ax 2＋bx ＋2，则f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x ＋3，所以2a ＝1，且a ＋b ＝3，解得a ＝12，b ＝52，故f (x )＝12x 2＋52x ＋2． (4) 已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝__________；答案 2x ＋1－2－x 3 解析 (解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，①．得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②．①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x ．即f (x )＝2x ＋1－2－x 3．故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R )．(5) 若函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，x ∈R ，且x ≠0，a 为常数，a ≠±1，且a ≠0，则f (x )＝________． 答案 a (ax 2－1)(a 2－1)x 解析 (解方程组法)因为af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，所以af ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝a x ，两方程联立解得f (x )＝a (ax 2－1)(a 2－1)x． 【对点训练】1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________________．1．答案 x 2－1(x ≥1) 解析 设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1．故f (x )＝x 2－1，x ≥1．2．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋22．答案 A 解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2．故选A ．3．已知1()f x x+＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________________．3．答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 由于1()f x x +＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－ 2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2．4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x4．答案 B 解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g (x )的解析式 为g (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所以二次函数g (x )的解析式为g (x )＝3x 2－2x ．故选B ．5．定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________________．5．答案 23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1) 解析 当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①，将x 换成－x ，则－x 换成x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②，由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．6．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________．6．答案 2x －1x (x ≠0) 解析 ∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①．把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x．②．联立①② 可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝_____． 7．答案 －12x (x ＋1) 解析 ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．考点二 分段函数求值 【方法总结】求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出具体值为止；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点； (4)求值时注意函数奇偶性、周期性的应用． 【例题选讲】[例2] (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A ．－12 B ．2 C ．4 D ．11答案 C 解析∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，∴f (1)＝12＋2＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4．故选C ．(2) (2015·全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C 解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3．∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6．∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9．(3) 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B 解析 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①．f (－1)＝a －1＋b ＝3，②．联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2．(4) 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥9，f (f (x ＋4))，x <9，则f (7)＝_______．答案 6 解析 ∵7<9，∴f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)．又∵8<9，∴f (8)＝f (f (12))＝f (9)＝9－3＝6．即f (7)＝6．(5) (2017·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C 解析 当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6；当a ≥1时，a ＋1≥2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，所以2(a －1)＝2a ，无解；综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6．故选C ．【对点训练】8．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1B ．14C ．12D ．328．答案 C 解析 因为f (－2)＝2－2＝14，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12，故选C ． 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．1 D ．－19．答案 B 解析 f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A ．14B ．⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋C ．12D ．12010．答案 D 解析 因为2<log 25<3，所以3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋log 25＋1)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫12 22log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫12 2log 5＝14×15＝120，故选D ． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，则f (－2 019)＝( )A ．e 2B ．eC ．1D ．1e11．答案 D 解析 当x <－2时，f (－2 019)＝f (2 019)，当x >2时，函数周期为4，f (2 019)＝f (－1)＝1e．考点三 求参数或自变量的值或范围 【方法总结】已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解． 【例题选讲】[例3] (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1，4} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4答案 A 解析 由题意可知f (x )＝2，即⎩⎨⎧2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4．故选A ．(2) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx2，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值为( )A ．1或－2 2 B ．－ 2 2 C ．1 D ．1或22答案 A 解析 因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，因为0<a 2<1，所以0<πa 2<π，所以πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1．故a ＝－22或1．(3) (2017·全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0．②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞． (4) (2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0) 答案 D 解析 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1．因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0．因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D ．(5) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤23，1B ．[0，1]C ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C 解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1．当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1．当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1．综上，a ≥23，故选C ．【对点训练】12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．12．答案 －1或1 解析 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1．所以实数x 0的值为－1或1．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或313．答案 A 解析 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2．故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 14．答案 D 解析 根据题意，当a >0时，f (a )－f (－a )>0，即a 2＋a －[－3(－a )]>0，∴a 2－2a >0，解得a >2；当a <0时，f (a )－f (－a )<0，即－3a －[(－a )2＋(－a )]<0，∴a 2＋2a >0，解得a <－2．综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D ．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥1，1，x ＜1，则满足f (2x ＋1)＜f (3x －2)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(3，＋∞)C ．[1，3)D ．(0，1)15．答案 B 解析 法一：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ≥1，1，x ＜1可得当x ＜1时，f (x )＝1，当x ≥1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (1)＝log 22＝1，要使得f (2x ＋1)＜f (3x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＜3x －2，3x －2＞1，解得x ＞3，即不等式f (2x ＋1)＜f (3x －2)的解集为(3，＋∞)，故选B ．法二：当x ≥1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x )≥f (1)＝1，要使f (2x ＋1)＜f (3x －2)成立，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥1，2x ＋1＜3x －2或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＜1，3x －2＞1，解得x ＞3．故选B ． 16．(2013·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]16．答案 D 解析 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D ．。

第10讲 函数的单调性与最大（小）值模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性；2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性；3．会求一些具体函数的单调区间.知识点 1 函数的单调性1、单调函数的定义（1）设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数；当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

（2）单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间：若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数()0≠+=k b kx y 当0>k 时，在R 上单调递增；当0<k 时，在R 上单调递减.反比例函数()0≠=k xky 当0>k 时，在()0,∞-和()+∞,0上单调递减；当0<k 时，在()0,∞-和()+∞,0上单调递增.二次函数()02≠++=a c bx ax y 当0>a 时，在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a b 上单调递增；当0<a 时，在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2ab 上单调递减.4、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x 1，x 2为该区间内任意的两个值，且x 1＜x 2②作差变形：做差f （x 1）-f （x 2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论④判断：根据定义做出结论。

函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。

一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。

其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。

由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。

若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。

例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。

例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。

(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。

解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。

例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。

例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。

例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。

二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。