湖南科技大学数理方程历年真题

长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可表示为=)(0M u dS nG z y x f ⎰⎰Γ∂∂-),,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(111050358⎰-=dx x P x P ； （ ）5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则[])()(021ax xJ a ax xJ dxd =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．第 1 页（共 2 页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：⎩⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=atx at x ds s a at x at x t x u )(212)()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u txx tt ψϕ 的解．第 2 页（共 2 页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为∑∞==0cos)(),(n n lx n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞=， ……………10分 于是),1(0)()(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；当1=n 时，解上面的微分方程得ττπωτπd t l a A a l t u t)(sin sin )(01-=⎰第1页（共3页）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 122， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=。

湖南科技大学考试试题纸（A卷）(2008-2009学年第2学期)化学反应工程课程化学化工学院（系）07应化1~3 班级考试时量100分钟学生人数80 命题教师仇明华系主任交题时间：2008年 6 月12 日考试时间：2009年7 月1 日注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共4页，第1 页，注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共4页，第2 页，⎩⎨⎧≥-<=1)1exp(10)(t t t t E 试分别用轴向扩散模型和直接用RTD （停留时间分布）加权的方法计算该反应器的出口转化率，并对计算结果进行比较。

4．任选题（在下面两题中，任选一题作答。

作答时一定要有求解过程，多选或无过程作答均无效） 4-1．（10分）某气液反应器，高20米，截面积21m 。

内装填料的空隙率为0.5。

气液流量分别为s m /5.03和s m /1.03。

在气液入口脉冲注入示踪剂，测得出口流中的示踪剂浓度如图所示，试分析塔中有无死体积。

4-1图1 出口气体时间-浓度曲线 4-1图2 出口液体时间-浓度曲线4-2．（10分）某全混流反应器31m V R =，流量min /13m V =，脉冲注入0M 克示踪剂，出口示踪剂浓度随时间的变化为40/30)(t et c -= ，试判断反应器中有无死角存在。

注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内 共4页， 第4 页，湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（2008 -2009 学年第 2 学期）化学反应工程课程（A卷）化学化工院（系）05应化1~2 班级应试学生人数62 实际考试学生人数65 考试时量100分钟命题教师仇明华审核人：考试时间：2008年7 月3日注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 3 页，第 1 页，。

湖南科技大学考试试题纸高等数学__B————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：湖南科技大学考试试题纸（ Ｂ 卷）(200７-200８ 学年第一学期)高等数学Ａ 课程 院（系） 班级考试时量 100分钟 学生人数 命题教师 邹鹏贤 系主任 汤四平 交题时间：２００７年 １２ 月２３日 考试时间： 年 月 日一、单项选择题（5×4分共计20分）1、 已知()()1ln 1f x xg x x =+=+则()()f g x =⎡⎤⎣⎦。

().1ln 1;.2ln ;.ln(1)1;.1ln A x B x C x D x ++++++2、当n →∞，为了使211sinn n λ与等价，λ应取为（ ）。

1.;.1;.2;.32A B C D 。

3、曲线22326y x x =+-上点M 处的切线斜率是15，则点M 的坐标是（ ）。

()()()().3,15;.3,1;.3,15;.3,1A B C D ---。

4、函数()21y x =-在(),-∞+∞上的极小值点为（ ）。

A.0;B.1;C.2;D.不存在 ５、()()()33xf x dx ec f x =+=⎰则。

xx xx3333A.3e ;B.9e ;C.e ;D.e c + 二、填空（5×4分共计20分）１、若()1sin 000x x f x x x λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则λ满足（ ）。

２、设函数()3221f x x x x =-，则()()1f '=。

３、sin 2y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间[],ππ-上的极大值点()0x =。

４、()()13f x dx '-=⎰。

５、设()f x 连续，0x >且()()211xf t dt x x =+⎰则()()2f =。

湖南科技大学考试试题纸（A卷）
(2008 -2009 学年第一学期)
线性代数A课程院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008 年11 月28 日考试时间：2008 年12 月14 日
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.
湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A卷）
(2008 -2009学年第一学期)
线性代数A课程专业班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008年11月28日考试时间：2008年12 月14 日
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.。

湖南科技大学2023——2024学年第一学期《高等数学》期末考试试卷班级：姓名：学号：一、填空题(每小题3分，共15分分数：)1.=)(x f 21111x --的间断点是=x 2.若)0(,)(2n x n y e x y 则+==3.函数43)(3--=x x x f 的极大值点为4.dx e x ⎰+11=5.=-⎰dx x 2024二、填空题(每小题3分，共15分)1.当1→x 时，函数11211)(---=x e x x x f 的极限为（）)(A ∞)(B 不存在)(C 2)(D 02.设)(x f 是以3为周期的奇函数，且1)1(-=-f ，则)7(f =（）)(A 1)(B 1-)(C 2)(D 2-3.设||)(x x x f =，则)0(f '是（）)(A 0)(B 1)(C 1-)(D 不存在4.方程0133=+-x x 在区间(0,1)内（）)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有两个实根)(D 有三个实根5.设)(x f 在[a -，a ]上连续（a ＞0），⎰=-dx x f a a )(（）)(A ⎰a 21.求极限(C )不存在 (D )⎰0a [f (x )+f (-x )]dx三、计算题(每小题8分，共40分0f (x )dx (B )0)x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π。

2.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0 ,sin )(x x x x x f ，求)(x f '。

3.()dx x 210arcsin ⎰yxt 1s 2s 1o 4．在区间]1,0[上给定函数2x y =，问t 为何值时，图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和最小？何时最大？5．试确定正的常数a ,b 使等式1sin 1lim 2200=+-⎰→dt t a t bx x x x 成立。

四、综合应用题(每小题10分，满分20分)1.在曲线)0(2≥=x x y 上某点A 处作一切线，使此切线与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121，试求由上述所围平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。

湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2006- 2007学年度第一学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2007- 2008学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

考试舞弊受湖南科技大学考试试题（A卷）(2008 -2009 学年第二学期)概率论与数理统计B 课程班级考试时量100分钟学生人数_ 命题教师系主任交题时间：2009 年 5 月15 日考试时间：2009 年 6 月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

考试舞弊受湖南科技大学考试试题（B卷）(2008 -2009 学年第二学期)概率论与数理统计B 课程班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）(2010 -2011 学年第一学期) 概率论与数理统计（B）课程专业班级考试时量100分钟学生人数106 命题教师匡能晖系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（A卷）（2010- 2011学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

考试舞弊受湖南科技大学考试试题纸（A卷）（2011- 2012学年度第二学期）课程名称概率论与数理统计B 开课学院数学学院命题教师上课学院所有学院年级班级考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。

第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。

第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调和函数，使1321cos r u θ==+（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：()()0lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明：()sin limN Nxx Nxδ→+∞=（弱） 22、证明：当时，弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。

湖南科技大学考试试题纸（A卷）
（2013- 2014学年度第二学期）
课程名称线性代数B开课学院数学学院命题教师唐运梅
上课学院13级各上课学院年级13级班级13级适用
考试时量100分钟系主任
考核方式（闭卷）交题时间：2014年4月14日
警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开
湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则
（ 2013 - 2014 学年度第 2 学期）
课程（A 卷）线性代数B 学院班级 13级适用
应试学生人数实际考试学生人数考试时量 100 分钟
命题教师唐运梅审核人考试时间：年月日 一、选择题（每小题4分，共计20分） B A D C C
二、填空题（每小题4分，共计20分）
1. 8 ，偶排列
2. 16
27
- 3.10-=或a 4. n r n ,-
5. 4π
三、将第2,3，…，n 列都加到第一列，得
()()()()a
b b b n a b a b b
n a b b a b n a b b b b n a D 1111-+-+-+-+=[]a
b b b a
b b
b a b
b b b n a
11
11)1(-+= 6分
[]b
a b a b
a b
b b b n a r r r r n ----+--000
000
1
)1(1
12
00
0 9分
[]1)()1(---+=n b a b n a 12分。

湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（A卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（B卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《》B卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考核方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（A 卷）湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（2012 - 2013 学年度第二学期）课程（A卷）线性代数A 学院土木、信息、机械等学院班级12级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100 分钟命题教师唐运梅审核人考试时间：年月日注：《线性代数A 》课程（A）卷湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（B 卷）。