对数的换底公式推导

对数目录对数的概念定义若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);第5条的公式写法5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）推导1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b令t=a^b所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)令b=1，则1=log(a)(a)3、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)4、与（3）类似处理M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)5、与（3）类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] =(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）函数图象1.对数函数的图象都过(1,0)点.2.对于y=log(a)(n)函数,①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.其他性质性质一：换底公式log(a)(N)=log(b){N}/log(b){a}推导如下：N = a^[log(a){N}]a = b^[log(b){a}]综合两式可得N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 又因为N=b^[log(b){N}]所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的]所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}公式二：log(a){b}=1/log(b){a}证明如下：由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数log(a){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1 在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。

对数换底公式推导对数换底公式，也称作变底公式，是数学中比较常用的一种公式。

它可以用来换算一个底数的对数。

简而言之，对数换底公式就是一种便捷的计算方法，实现对数从一个底数转换到另一个底数的操作。

对数换底公式是一个有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。

比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。

借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。

二、对数换底公式的推导对数换底公式的推导可以简单地总结为：公式：loga b = rlog c b其中，a，b，c分别表示底数、被求对数数值和新底数。

现在我们来推导这个公式。

我们要从一个简单的例子入手。

假设有一个数值n，其对数以2为底。

这个数值的对数可以表示为：log2 n，其中n表示被求对数数值，2表示底数。

现在我们要求n以4为底的对数，可以在等式右边替换底数，即：log4 n = ?此时我们可以把等式右边的部分变形：log4 n = log2 n 2于是，等式可以变形为：loga b = rlog c b其中a、b、c表示底数，r表示log2 n的值。

我们可以继续用范例来说明这个公式的推导过程。

假设有一个数值n，其对数以4为底。

这个数值的对数可以表示为：log4 n，既然要求n以2为底的对数，则可以使用上述公式推导：log2 n = log4 n即：log2 n = (1/2)log4 n以上就是对数换底公式的推导过程，简而言之，它的形式就是：loga b = rlog c b三、数换底公式的应用对数换底公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。

比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。

借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。

另外，对数换底公式在推导几何级数和统计学方面也有广泛的应用。

例如，在推导几何级数中，对数换底公式可以帮助计算复杂的公式，从而求出结果。

log公式大全计算公式
log运算法则是一种经典的数学运算，在各种高等数学课程中都有涉及。

log运算法则主要用于计算幂和对数。

以下是一些常见的log 运算法则公式：
1. 对数的乘法法则：loga(mn) = loga m + loga n。

2. 对数的除法法则：loga(m/n) = loga m - loga n。

3. 自然对数的性质：ln(1) = 0。

4. 换底公式：logb(a) = logc(a) / logc(b)。

5. 换底公式的推导公式：logb(a) * loga(b) = 1。

6. loge(x) = ln(x)。

7. lg(x) = log10(x)。

8. loga(b) * logb(a) = 1。

9. loga(b) / loga(c) = logc(b) / logc(a)。

10. logc(c^x) = x。

11. logc(a * b) = logc(a) + logc(b)。

12. logc(a / b) = logc(a) - logc(b)。

13. logc(sqrt[n](a)) = logc(a) / n。

14. logc(a^n) = n * logc(a)。

这些公式在计算对数和幂时非常有用，可以帮助我们快速得到结
果。

记住这些公式需要理解和练习，建议多做习题以加深对这些公式的理解和掌握。

换底公式的证明
GPT: 换底公式是数学中常用的一个公式，用于计算不同底数的对数之间的关系。

以下是换底公式的证明过程：
假设我们要计算以底数a的对数b和以底数c的对数d之间的关系，即求logₐb和logₐd之间的关系。

根据对数的定义，我们有以下等式：
logₐb = y ---- (1)
logₐd = x ---- (2)
我们的目标是找到x和y之间的关系。

假设存在一个常数k，使得a^k = c，即a的k次幂等于c。

我们可以对等式(2)两边同时乘以k，得到：
k * logₐd = x
现在我们需要将logₐb表示为logₐd的形式。

由等式(1)可知：
a^y = b
将上述等式两边同时取k次幂，得到：
(a^y)^k = b^k
a^(k * y) = b^k
由于a^k = c，将其代入上述等式，得到：
c^y = b^k
再次应用对数的定义，将上述等式转换为对数的形式：
logₐb = y = logₐc^y = y * logₐc
将上述结果代入等式(2)，得到：
k * y * logₐc = x
综合以上推导，我们得到换底公式：
logₐb = logₐd / logₐc
这就是换底公式的证明过程。

通过这个公式，我们可以方便地计算不同底数之间的对数关系。

请注意，换底公式中的底数a、b、c应该是正数且不等于1，同时logₐc也应该不等于0。

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。

定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。

换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。

拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

“兴趣是最好的老师”。

做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。

但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。

有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。

如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。

建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。

首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。

因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。

其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。

要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。

即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。

对数换底公式推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式推论”的文章：在咱们学习数学的这个大旅程中，对数换底公式及其推论就像是隐藏在数字丛林里的神秘宝藏，得用心去找，还得仔细琢磨才能真正搞懂。

咱先来说说啥是对数换底公式。

这就好比你在不同的度量衡系统里转换单位一样。

比如说，你熟悉的是以 10 为底的常用对数，可有时候题目给你的却是以其他数为底的对数，这时候对数换底公式就派上用场啦。

公式是这样的：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a、b、e 都是正数，且 a≠ 1，e 通常取自然常数约 2.718）。

那它的推论又是咋来的呢？这就得好好琢磨琢磨啦。

就拿我之前给学生讲这部分内容的时候来说吧。

有个学生叫小明，这孩子特别聪明，就是有时候容易钻牛角尖。

我在黑板上写出对数换底公式的时候，他眼睛直勾勾地盯着，一脸疑惑。

我知道他心里在想：“这到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，咱们来假设一个实际的情况。

假如有一个细菌，它每过一小时数量就翻倍。

那经过 x 小时后，细菌的数量会是最初的多少倍呢？”这时候大家就开始七嘴八舌地讨论起来。

有的同学说，那就是 2 的 x 次方倍呗。

我说：“没错，那如果咱们要用对数来表示这个关系呢？”这时候大家就有点懵了。

我接着引导：“这时候咱们就可以用到对数换底公式啦。

假设咱们要用以 10 为底的对数来表示，那就是 log₁₀(2^x) = x log₁₀2 。

”这时候小明突然站起来说：“老师，我懂了，对数换底公式就是让我们能在不同的底数之间灵活转换，找到最方便计算和理解的方式！”我笑着点头，心里特别欣慰。

从这个小小的例子咱们就能看出来，对数换底公式推论的用处可大着呢。

比如说，当我们要比较两个不同底数的对数大小时，通过换底就能把它们变成相同底数的对数，这样比较起来就容易多啦。

再比如说，在解决一些复杂的数学问题或者物理问题时，可能会遇到各种各样底数的对数，这时候灵活运用对数换底公式及其推论，就能让问题变得清晰明了。

对数换底公式推导过程对数换底公式是高中数学中的一种重要公式，用于计算不同底数的对数之间的关系。

通过对数换底公式，我们可以将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数，从而简化计算。

对数是指数运算的逆运算，对数换底公式是将底数不同的对数互相转化的一种方法。

换底公式的一般表达式为：logₐb = logₓb / logₓa，其中logₐb表示以a为底，b的对数，logₓb表示以x为底，b的对数。

对数换底公式的推导过程如下：假设对数换底公式为：logₐb = logₓb / logₓa，我们需要证明它的正确性。

我们将底数为a的对数表示为以x为底的对数：logₐb = logₓb / logₓa。

假设logₓa = m，那么x^m = a。

然后，将底数为b的对数表示为以x为底的对数：logₓb = logₓb / logₓa。

假设logₓb = n，那么x^n = b。

接下来，我们将x^m = a代入logₓb = logₓb / logₓa中得到：logₓb = logₓb / m。

将m移到等号右边，得到：m = logₓb / logₓa。

再将x^n = b代入logₐb = logₓb / logₓa中得到：logₐb = n / logₓa。

将n移到等号右边，得到：n = logₐb * logₓa。

将m = logₓb / logₓa和n = logₐb * logₓa代入logₓb = logₓb / m 和logₐb = n / logₓa中，得到：logₓb = logₓb / (logₓb / logₓa) = logₐb * logₓa / logₓb。

化简得到对数换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。

通过对数换底公式，我们可以将求解一个底数为a的对数问题转化为一个底数为b的对数问题，从而简化计算。

对数换底公式在解决各种数学问题中具有广泛的应用，特别是在指数和对数的运算中起到了重要的作用。