高中数学《函数的应用根与零点及二分法》练习题新人教B版必修

【高中数学新人教B 版必修1】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》测试一、选择题１．函数ｆ（ｘ）＝－2x ＋４ｘ－４在区间［１，３］上（ ）Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ． 有无数个零点２方程322360x x x -+-=在区间［－２，４］上的根必定属于区间（ ）Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］ Ｃ．［１，47］ Ｄ．［47，２．５］ 3．下列关于二分法的叙述,正确的是( )A.用二分法可以求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行D.二分法只用于求方程的近似解4．函数f(x)= 1x )(23+--=x x x f 在[0,2]上( )A.有3个零点B.有2个零点C.有1个零点D.没有个零点5．函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是( ) A.a 51≥B.a 1-≤C. 51a 1≤≤-D. .a 51≥ 或a 1-≤ 6．方程063x 223=-+-x x 在区间[-2,4]上的根必定属于区间( ) A.[-2,1] B ]4,25[ C.[1, ]47 D.[ ]25,47二、填空题7．函数ｆ（ｘ）＝2x －５的零点近似值（精确到０．１）是 ．8．方程2x －６＝０的近似解（精确到０．０１）是 ．三、解答题9．求方程08823=--+x x x 的无理根（精确到０．０１） 参考答案：一、选择题１．Ｂ２．Ｄ3．Ｂ4．Ｃ5．D6． D二、填空题7．２。

２8．２．４５三、解答题9．原方程可化为0)8)(1(2=-+x x ，显然方程的一个有理根为－１，而方程的无理根就是方程082=-x 的根，令8)(2-=x x f ，则只须求函数ｆ（ｘ）的零点即可，又因为ｆ（ｘ）是偶函数，所以只须求出ｆ（ｘ）的一个正零点即可，用二分法求得正零点的近似值为２．８３．因此，原方程的无理根的近似值为２．８３和－２．８３。

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

高一数学(必修一)《第四章 函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为（ ） A ．0或12-B ．0C ．12-D ．0或122．设()f x 在区间[],a b 上是连续变化的单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在[],a b 内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根D ．必有唯一实根3．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.54．设函数()26x f x e x =+-， 在用二分法求方程()0f x =在()12x ∈，内的近似解过程中得(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，，则方程的解所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()11.25，C ．()1.251.5，D ．()1.52，5．函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,56．若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．127．若函数f (x )唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，3(1,)2内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f 3()28．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是（ ）A ．B ．C． D ．二、多选题9．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为A ．2.52B ．2.56C ．2.66D ．2.75三、填空题10．若函数()0y kx b k =+≠有一个零点是2，则函数2y bx kx =+的零点是______．11．定义方程()()f x f x '=的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2e 1xg x =+，()ln h x x =和()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为_______.12．已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式04x x ->的最小整数解为k ，则k =______．13．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()4f x x =，则方程1()=01f x x +-在[]2,4-上的所有根之和为____.四、解答题14．已知A 地到B 地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条10km 长的线路，每隔50m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在（精确到50m ）？15．已知函数()2283f x x x m =-++为R 上的连续函数．(1)若函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围．(2)若4m =-，判断()f x 在()1,1-上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 16．设函数32()613123g x x x x =----.（1）证明：()g x 在区间（-1,0）内有一个零点；（2）借助计算器，求出()g x 在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 17．已知函数()e 23x f x mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．A【分析】根据函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，得到b ＝－2a ，再令g (x )＝0求解. 【详解】因为函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2 所以b ＝－2a所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )． 令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12． 故选：A 2．D【分析】根据零点存在性定理及函数的单调性判断即可.【详解】解：因为()f x 在区间[],a b 上连续的单调函数，且()()0f a f b ⋅<所以函数()f x 的图象在[],a b 内与x 轴只有一个交点，即方程()0f x =在[],a b 内只有一个实根． 故选：D 3．C【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数当()1,2x ∈时，则2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，则22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，则222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立又22(2.5) 2.5log 2.560f =--< 2(3)9log 360f =-->根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C.【点睛】方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 4．C【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可. 【详解】函数()26x f x e x =+-在R 上为增函数又(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，， 则方程的解所在的区间为()1.251.5，. 故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题. 5．B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<- ()23ln 3ln 31031f =-=->- 所以()()230f f <所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B 6．A【分析】由换底公式对原式变型即可求解.【详解】∵2369lg3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg36lg9m m ⨯⨯=⨯⨯ 2lg3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg34lg 242m m m =⨯⨯=== ∴2log 2m =，∴4m =． 故选：A ． 7．C【分析】根据零点存在定理判断，注意零点的唯一性．【详解】由题意()f x 的唯一零点在3(1,)2上，因此(1)f 与(0)f 符号相同，3()2f ，(2)f 和(4)f 符号相同且与(0)f 符号相反故选：C ． 8．C【解析】利用二分法的定义依次判断选项即可得到答案. 【详解】在A 中，函数无零点，故排除A在B 和D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同 因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C 中的函数能用二分法求其零点． 故选：C【点睛】本题主要考查二分法的定义，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 9．AB【分析】根据表格中函数值在0的左右两侧，最接近的值，即()2.50.084f ≈-，()2.56250.066f ≈可知近似根在()2.5,2.5625之内，再在四个选项中进行选择，得到答案.【详解】由表格函数值在0的左右两侧，最接近的值，即()2.50.084f ≈- ()2.56250.066f ≈ 可知方程ln 260x x +-=的近似根在()2.5,2.5625内 因此选项A 中2.52符合，选项B 中2.56也符合 故选AB .【点睛】本题考查利用二分法求函数零点所在的区间，求函数零点的近似解，属于简单题.10．0或12【分析】先求得,k b 的关系式，然后求得函数2y bx kx =+的零点. 【详解】由于函数()0y kx b k =+≠有一个零点是2 所以20k b += 2b k =-所以()22221y bx kx kx kx kx x =+=-+=--由于0k ≠，所以()2100kx x x --=⇒=或12x =. 故答案为：0或12 11．c b a >>【分析】先根据函数的新定义分别求出a ，b ，c ，然后再比较大小【详解】由()2e 1x g x =+，得()22e xg x '=所以由题意得22e 12e a a +=，解得0a = 由()ln h x x =，得()1h x x'= 所以由题意得1ln b b=令1()ln t x x x=-，（0x >），则211()0t x x x '=+>所以()t x 在(0,)+∞上递增因为(1)10t =-< ()1212ln 2ln 202t lne =-=->所以存在0(1,2)x ∈，使0()0t x =，所以(1,2)b ∈由()31x x ϕ=-，得()23x x ϕ'=所以由题意得3213c c -=令32()31m x x x =--，则2()36m x x x '=- 令()0m x '=，则0x =或2x =当0x <或2x >时()0m x '>，当02x << ()0m x '< 所以()m x 在(,0)-∞和()2,+∞上递增，在()0,2上递减所以()m x 的极大值为(0)1m =-，极小值为()283415m =-⨯-=-因为(3)2727110m =--=-< (4)64121510m =--=> 所以()m x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，所以(3,4)c ∈ 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 12．6【分析】利用()f x 单调性和零点存在定理可知012x <<，由此确定04x +的范围，进而得到k .【详解】函数()226xf x x =+-为R 上的增函数，()120f =-< ()220f =>∴函数()226x f x x =+-的零点0x 满足012x << 0546x ∴<+<04x x ∴->的最小整数解6k =． 故答案为：6. 13．6【分析】由奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，可知函数的周期性与对称性，作出函数图象，判断函数()f x 与函数11y x =--的交点情况. 【详解】因为函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为直线12x = 又因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--又(1)()f x f x +=-，所以(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2又因为当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，作出函数()f x 和()11y g x x ==--的简图如图所示由411y x y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故当102x ≤≤时，线段4y x =与曲线11y x =--仅有一个交点 故由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点()1,0对称的，且关于点()1,0对称的两个点的横坐标之和为2则所有根之和为326⨯=. 故答案为：6. 14．见解析【解析】利用二分法取线段的中点即可迅速查出故障所在. 【详解】如图：可首先从中点C 开始检查，若AC 段正常，则故障在BC 段； 再到BC 段中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；再到BD 段中点E 检查……每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半 经过8次查找，可将故障范围缩小到50m 之内，即可迅速找到故障所在． 【点睛】本题考查了二分法在生活中的应用，理解二分法的定义，属于基础题. 15．(1)[]13,3-； (2)存在，区间为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据()2283f x x x m =-++，结合二次函数的图象与性质，可知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，结合条件()f x 在区间[]1,1-上存在零点，则有()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，解不等式组即可求出实数m 的取值范围；（2）当4m =-时，得()2281f x x x =--，可知()f x 在区间()1,1-上单调递减，并求得()()110f f -⋅<，根据零点存在性定理可知()f x 在()1,1-上存在唯一零点0x ，最后利用二分法和零点存在性定理，求出在误差不超过0.1的条件下的零点所在的区间. (1) 解：()2283f x x x m =-++为二次函数，开口向上，对称轴为2x =可知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∵()f x 在区间[]1,1-上存在零点，∴()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩即28302830m m +++≥⎧⎨-++≤⎩，解得：133m -≤≤∴实数m 的取值范围是[]13,3-． (2)解：当4m =-时，()2281f x x x =--为二次函数，开口向上，对称轴为2x =所以()f x 在区间()1,1-上单调递减()19f ∴-=，()17f =-则()()110f f -⋅<∴函数()f x 在()1,1-上存在唯一零点0x 又()f x 为R 上的连续函数∵()010f =-<，∴()()100f f -⋅<，∴()01,0x ∈- ∵17022f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1002f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ∵19048f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1004f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∵110832f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1008f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,08x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭此时误差为10.1610218-=<-，即满足误差不超过0.1 ∴零点所在的区间为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．（1）证明见解析；（2）0.4-.【分析】（1）令32()6131230g x x x x =----=，转化为函数()()326,13123h x x r x x x =-=++的交点问题，利用数形结合法证明；（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）令32()6131230g x x x x =----= 则32613123x x x -=++令()()326,13123h x x r x x x =-=++在同一坐标系中作出函数()(),h x r x 的图象，如图所示：因为()()()()11,00h r h r ><，即(1)0,(0)0g g ->< 所以()g x 在区间（-1,0）内有零点再由图象知()g x 在区间（-1,0）内有一个零点.（2）由()0(0.5)00.5,0(0)30g x g ->⎧⇒∈-⎨=-<⎩； 由()0(0.25)00.5,0.25(0.5)0g x g -<⎧⇒∈--⎨->⎩； 由()0(0.375)00.5,0.375(0.5)0g x g -<⎧⇒∈--⎨->⎩； 由()0(0.4375)00.4375,0.375(0.375)0g x g ->⎧⇒∈--⎨-<⎩ 所以00.4x ≈-. 17．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出导函数()e 2xf x m '=-，由题意，原问题等价于2e 3x m =+有解，从而即可求解.【详解】解：函数()f x 的导数()e 2xf x m '=-由题意，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则()1e 213x m -=-，即2e 3x m =+有解第 11 页 共 11 页 又因为e 33x +>，所以23m >，即32m >所以实数m 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

人教版必修 1 高一数学方程的根与函数的零点专项练习（带答案）方程的学习需要记忆好多公式，以下是方程的根与函数的零点专项练习，请大家仔细练习。

一、选择题1.已知函数 f(x) 在区间 [a，b] 上单一，且 f(a)f(b)0 则方程 f(x)=0在区间 [a， b]上 ()A. 起码有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有独一的实根[答案]D2.已知函数 f(x) 的图象是连续不停的，有以下的x、 f(x) 对应值表：x123456函数 f(x) 在区间 [1,6] 上的零点起码有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个[答案]B3.(2019～2019 山东淄博一中高一期中试题)关于函数f(x)=x2+mx+n ，若 f(a)0， f(b)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上 ()A. 必定有零点B.可能有两个零点C.必定有没有零点D. 起码有一个零点[答案]B[ 分析 ] 若 f(x) 的图象以下图否认C、 D若 f(x) 的图象与 x 轴无交点，知足 f(a)0 ， f(b)0 ，则否认 A ，应选 B.4.以下函数中，在[1,2] 上有零点的是 ()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案]D[ 分析 ] A ：3x2-4x+5=0 的鉴别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由 f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3 ，x[1,2] 与 y=5x+5 ，x[1,2] 的图象，如图 1，两个图象没有交点.f(x)=0 在 [1,2] 上无零点 .C：由 f(x)=0 得 lnx=3x-6 ，在同一坐标系中画出y=lnx 与 y=3x-6的图象，如图 2 所示，由图象知两个函数图象在[1,2] 内没有交点，因此方程f(x)=0 在 [1,2] 内没有零点 .D ：∵ f(1)=e+31-6=e-30 ，f(2)=e20 ，f(1)f(2)0.f(x) 在[1,2] 内有零点 .5.若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3，则函数g(x)=bx2-ax-1 的零点是 ()A.-1 和 16B.1 和 -16C.12 和 13D.-12 和 -13[答案]B[ 分析 ] 因为 f(x)=x2-ax+b 有两个零点 2 和 3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1 有两个零点 1 和 -16.6.(2019 福建理， 4)函数 f(x)=x2+2x-3 ， x0-2+lnx ， x0 的零点个数为 ()A.0B.1C.2D.3[答案]C[ 分析 ] 令 x2+2x-3=0 ， x=-3 或 1;∵x0， x=-3; 令 -2+lnx=0 ，lnx=2 ，x=e20，故函数 f(x) 有两个零点 .二、填空题7.已知函数 f(x)=x+m 的零点是2，则 2m=________.[答案 ] 14[ 分析 ] ∵ f(x) 的零点是 2， f(2)=0.2+m=0 ，解得 m=-2.2m=2-2=14.8.函数 f(x)=2x2-x-1 ，x0，3x-4，x0 的零点的个数为________. [答案]2[ 分析 ] 当 x0 时，令 2x2-x-1=0 ，解得 x=-12(x=1 舍去 );当 x0 时，令 3x-4=0 ，解得 x=log34 ，因此函数 f(x)=2x2-x-1 ， x0，3x-4 ，x0 有 2 个零点 .9.关于方程 x3+x2-2x-1=0 ，有以下判断：①在 (-2， -1)内有实数根 ;②在 (-1,0)内有实数根 ;③在 (1,2)内有实数根 ;④在 (-， +)内没有实数根 .此中正确的有 ________.( 填序号 )[答案 ] ①②③[ 分析 ] 设 f(x)=x3+x2-2x-1 ，则 f(-2)=-10 ，f(-1)=10 ，f(0)=-10 ， f(1)=-10 ， f(2)=70 ，则 f(x) 在 (-2， -1)，(-1,0) ， (1,2)内均有零点，即①②③正确.三、解答题10.已知函数 f(x)=2x-x2 ，问方程 f(x)=0 在区间 [-1,0] 内能否有解，为何 ?[ 分析 ] 因为 f(-1)=2-1-(-1)2=-120 ，f(0)=20-02=10 ，而函数 f(x)=2x-x2 的图象是连续曲线，因此 f(x) 在区间 [-1,0] 内有零点，即方程f(x)=0 在区间 [-1,0]内有解 .11.判断以下函数能否存在零点，假如存在，恳求出.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x2+4x-12x-2;(4)f(x)=3x+1-7;(5)f(x)=log5(2x-3).[ 分析 ] (1) 因为 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1)，令f(x)=0，解得x=-18 或 x=1 ，因此函数的零点为-18 和 1.(2)令 x2+x+2=0 ，因为 =12-412=-70 ，因此方程无实数根，所以 f(x)=x2+x+2 不存在零点 .(3)因为 f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2，令x+6x-2x-2=0，解得x=-6 ，因此函数的零点为 -6.(4)令 3x+1-7=0 ，解得 x=log373 ，因此函数的零点为log373.(5)令 log5(2x-3)=0 ，解得 x=2，因此函数的零点为 2.12.(2019～2019 北京高一检测 )已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3) 有两个零点，一个大于1，一个小于 1，务实数 m 的取值范围 .[ 分析 ] 设 f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)，如图，有两种状况.第一种状况， m+20， f10，解得 -2要练说，得练听。

第三章函数的应用单元测试卷(B)时间：120分钟分值：150分第I卷(选择题，共60分)题号12s456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1 .函数f(x)= n X log2X的零点所在区间为()1 1 1 A . [0, 8】B.【8, 4]C. [4,2】若函数f(x)在［a, b］上连续，且同时满足f(a) f(b) v0, f(a) f-(A. f(x)在［a, ^2^］上有零点B. f(x)在［旦护，b］上有零点A .函数f(x)在(2014,2015)内不存在零点B .函数f(x)在(2015,2016)内不存在零点C.函数f(x)在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个D .函数f(x)在(2014,2015)内可能存在零点16. 已知x b是函数f(x)= 2x+ 的一个零点.若疋€ (1, X。

)，沁€(X。

，+乂),I —x则()A . f(xj v 0, f(X2)v 0B . f(xd v0, f(X2)>0C. f(xd>0, f(X2)v 0 D . f(xd>0, f(X2)>07 .二次函数f(x) = ax2+ bx+ c(x€ R)的部分对应值如下表：2.X—3—2—101234y6m—4—6—6—4n6 X1357911y15135625171536456655 y2529245218919685177149 y s5 6.10 6.61 6.9857.27.4A . (—3,—1)和(2,4) B . ( —3,—1)和(一1,1)C . (—1,1) 和(1,2)D . (— = ,—3)和(4，+乂)8 .某研究小组在一项实验中获得一组关系y、t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系()C . y s, y2, y1D . y1, y s,目24.下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是()ABC5. 对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2014)<0, f(2015)<0, f(2016)>0，则下列叙述正确的是()由此可以判断方程ax2+ bx+ c = 0的两个根所在的区间是(). f(x)在［a,号上无零点D. f(x)在［色|匕b］上无零点.三个变量y1, y2, y s随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幕函数变化的变量依次为() . y1, y2, y s B .目2, %, y st 2A. y= 2tB. y= 2t23C. y=tD. y= log2t9.某厂原来月产量为a, 一月份增产10%,二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b,则()A. a>b B . a v bC . a= b D.无法判断10 .设a，b，k是实数，二次函数f(x) = x2+ax+ b 满足：f(k—1)与f(k)异号，f(k + 1)与f(k)异号.在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是()A .该二次函数的零点都小于kB .该二次函数的零点都大于kC .该二次函数的两个零点之间差一定大于2D .该二次函数的零点均在区间(k—1, k+1)内11 .若函数f(x) = x3—x—1在区间［1,1.5］内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125f(x)—10.875—0.29690.2246—0.05151那么方程x3—x—1 = 0的一个近似根(精确度为0.1)为( )A . 1.2B . 1.3125C . 1.4375D . 1.2512 .已知三个函数f(x)= 2x+ x, g(x) = x—2, h(x)= log2x + x 的零点依次为a, b,c,则()A . a v b v cD . c v a v b第口卷(非选择题，共90分)二、填空题侮小题5分，共20分)13 .若函数y= mx2+ x —2没有零点，则实数m的取值范围是________ .14 .已知二次函数f(x) = x2+ x + a(a>0), 若f(m)<0，则在(m, m+1)上函数零点的个数是________ .15 .已知y= x(x—1)(x + 1)的图象如图所示.令f(x) = x(x—1)(x + 1)+ 0.01，则下列关于f(x) = 0的解叙述正确的是 ________ .①有三个实根；②x> 1时恰有一实根；③当0v x v 1时恰有一实根；④当一1v x v 0时恰有一实根；⑤当x v —1时恰有一实根(有且仅有一实根).16 .某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、X、4B . a v c v bC . b v a v c天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C 需要的天数x最大为______________ .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)18.(本小题满分12分)设函数f(x)= ax2+ (b-8)x-a-ab的两个零点分别是—3 和2;(1) 求f(x);(2) 当函数f(x)的定义域是［0,1］时，求函数f(x)的值域.20.(本小题满分12 分)某公司从1999年的年产值100万元，增加到10年后2009 年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln (1+ x)〜x, lg2 = 0.3, ln10 = 2.30) 12x—2, x € [1，+X17-(本小题满分10分)设函数f(X)V x2-2x, x€f-oo, 求函数g(x) = f(x) 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lgx,3lg 3-x , x<2.1—1的零点.若方程f(x) = k无实数解，求k的取值范围.。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．用二分法研究函数f(x)＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0,0.5) f(0.25)B ．(0,1) f(0.25)C ．(0.5,1) f(0.75)D ．(0,0.5) f(0.125)2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是ε D ．重复计算计数与ε无关3．函数f(x)＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2,4]上的零点必在________内．( ) A ．[－2,1]B ．[52，4]C ．[1，74]D ．[74，52]4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经过计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程精确到0.1的一个近似解为________．1．右下图是函数f(x)的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[-2.1，-1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]2．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．0D ．无法确定3．已知连续函数y ＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y ＝f(x)( ) A ．在区间[a ，b]上可能没有零点B．在区间[a，b]上至少有一个零点C．在区间[a，b]上零点的个数为奇数D．在区间[a，b]上零点的个数为偶数4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )A．6 B．7 C．8 D．95．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且在(－2,2)上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)的值( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．可正可负也可为零6．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？7．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确到0.01)1．若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24)，(0,12)，(0,6)，(0,3)内，则下列命题正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,2)内有零点B．函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点C．函数f(x)在区间(3,24)内无零点D．函数f(x)在区间(2,24)内无零点2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )A．a<－1 B．a>1C．－1<a<1 D．0≤a<13．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则函数f(x)：①当x<－1时，恰有一零点(有一零点且仅有一零点)；②当－1<x<0时，恰有一零点；③当0<x<1时，恰有一零点；④当x>1时，恰有一零点．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．45．对于函数f(x)＝x3＋x＋m，若满足f(a)<0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内至多有__________个零点．6．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则a的取值范围是__________．7．某方程有一无理根在区间D内，若用二分法求此根的近似值，那么：(1)区间D＝(1,3)时，将D等分n次后，所得近似解可精确到多少？(2)一般情况，是否有必要尽可能多地将区间D等分？8．作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，并写出方程x3＝3x－1的近似解．(精确到0.1)9．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，自己设计精确度求方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解．答案与解析1．A ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴函数f(x)的一个零点x 0∈(0,0.5)，第二次计算f(0＋0.52)＝f(0.25)．2．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．3．D 由于f(－2)<0，f(4)>0，f(－2＋42)＝f(1)<0，f(1＋42)＝f(52)>0，f(1＋522)<0，∴零点介于[74，52]之间．4．0.7 ∵f(0.687 5)·f(0.75)<0，∴函数的零点在区间(0.687 5,0.75)上，由精确度可知近似解为0.7.5．1.4 由题中表中对应的数值可得函数零点必在区间(1.406 5,1.438)上，由精确度可知近似解为1.4. 课堂巩固1．B 由不变号零点的特征易判断得该零点在[1.9,2.3]内．2．B ∵ac<0，∴a≠0，且b 2－4ac>0，故二次函数与x 轴有两个交点，即函数有两个零点．3．B ∵f(a)·f(b)<0，∴由函数零点的性质判断得f(x)在[a ，b]上至少存在一个零点．4．B 函数f(x)的零点所在区间的长度为1，用二分法经过7次分割后区间的长度为127<0.01.5．D 设x 0为函数在区间(－2,2)上的零点， 若x 0∉(－1,1)，则f(－1)·f(1)>0； 若x 0∈(－1,1)，则f(－1)·f(1)<0； 若x 0＝－1或x 0＝1，则f(－1)·f(1)＝0. 6．解：可以利用二分法的原理进行查找．如图所示，他首先从中点C 查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 中点E 来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m ～100 m 之间，即一两根电线杆附近．7．解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用，所以1.44就是所求函数一个精确到0.001的正零点的近似值．点评：此类问题的求解，首先是大致区间的确定，要使区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性，另外在计算第n 步时，区间[a n ，b n ]的两端点近似值相等时，则该近似值就是所求零点的近似解． 课后检测1．C 由题意可得f(x)有唯一的零点在(0,3)内，∴f(x)在区间(3,24)内无零点．2．B 令f(x)＝2ax 2－x －1，a ＝0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)·f(1)＝－1×(2a －2)<0，∴a>1.3．C 由零点的定义及精确到0.1知近似根为1.4. 4．B 函数f(x)的图象是由y ＝x(x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，易知f(x)：当x<－1时有一个零点；当－1<x<0时无零点；当0<x<1时有两个零点；当x>1时无零点．5．1 易知该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又f(a)<0，f(b)>0，故该函数在(a ，b)内有且只有一个零点．6．(－∞，0) 由题意知，两根之积x 1·x 2＝1a<0，∴a<0.点评：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两正根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac≥0，－b a>0，c a >0，有两负根的条件为⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac≥0，－b a<0，c a >0，有一正一负两根的条件为ca<0，即ac<0，此时不必讨论判别式，∵b 2－4ac>0恒成立．7．解：(1)设无理根为x 0，将D 等分n 次后的长度为d n .包含x 0的区间为(a ，b)，于是d 1＝1，d 2＝12，d 3＝122，d 4＝123，…，d n ＝12n －1.所以|x 0－a|≤d n ＝12n －1，即近似值可精确到12n －1.(2)由于12n －1随n 的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度ε，总有自然数n ，使得12n －1≤ε.所以，只需将区间D 等分n 次就可以达到事先给定的精确度ε.所以，一般情况下，不需尽可能多地将区间D 等分．8．解：由图象可以知道，方程x3＝3x－1的解在区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)上，那么，对于区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈－1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.5。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(十八)求函数零点近似解的一种计算方法——二分法基础强化1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0解析∵f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，若f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点；若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上可能存在零点，也可能不存在零点．故C正确．答案 C2．下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是()解析二分法适合用于变号零点，故选B.答案 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.165f(1.40625)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为() A．1.2B．1.3C．1.4 D．1.5解析由参考数据可知，f(x)的零点在区间(1.40625，1.4375)内，由于所给精确度为0.1，故f(x)的近似零点为1.4.答案 C4．下面关于二分法的叙述，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有在求函数零点时才用二分法解析二分法只能求函数的变号零点，且可以在计算机上完成运算，故A、C、D均错误．答案 B5．在求f(x)＝ax3－4ax＋3的变号零点时，取第一个区间为[－1,1]，第二个区间为[0,1]，则a的可能值是()A ．－1B ．2C ．－2D ．－3解析 ∵f (0)＝3>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋3≤0，3a ＋3>0.∴a ≥1. 答案 B6．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6解析 已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案 C7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．解析 由于f (0)·f (0.5)<0，故x 0∈(0,0.5)，依二分法，第二次应计算f (0.25)．答案 (0,0.5) f (0.25)8．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： x1 2 3 4 5 6f (x ) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1则f (x )的零点至少有________个．解析 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，∴f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故f (x )的零点至少有3个．答案 3能 力 提 升9．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是______．解析 设f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝8－4－5＝－1<0，f (3)＝27－6－5＝16>0，f (2.5)＝1258－10＝458>0.∴下一个有根的区间为[2,2.5]．答案 [2,2.5]10．函数f (x )＝8x 2－10x －3在[－1,2]上有无变号零点，请说明理由．解 f (－1)＝8＋10－3＝15>0，f (2)＝8×4－10×2－3＝9>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝8×14－10×12－3＝－6<0. ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上各至少有一个零点． 11．用二分法求函数f (x )＝x 3－4的零点的近似值(精确到0.1)． 解 由于f (1)＝－3<0，f (2)＝4>0，故可以取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：端点或中点的横坐标计算端点或中点的函数值 定区间 a 0＝1，b 0＝2f (1)＝－3，f (2)＝4 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5f (x 0)＝－0.625 [1.5,2] x 1＝(1.5＋2)/2＝1.75f (x 1)＝1.359375 [1.5,1.75] x 2＝(1.5＋1.75)/2＝1.625f (x 2)＝0.291015625 [1.5,1.625] x 3＝(1.5＋1.625)/2＝1.5625 f (x 3)＝－0.185302734375 [1.5625,1.625] 由上表计算可知，区间[1.5625,1.625]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.6，因此，1.6就是f (x )＝x 3－4的一个零点的近似值．12．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点？②有两个零点且均比－1大？(2)若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)①若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即4m 2－12m －16＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.②设两个零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0－2m ＋2>03m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．(2)若F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，即|4x －x 2|＋a ＝0有四个根，即|4x －x 2|＝－a 有四个根．令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .则作出g (x )的图象，如下图所示由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根，则需g (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，∴0<－a <4，即－4<a <0.品 味 高 考13．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 解析 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案 A。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法5分钟训练1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______________,第二次应计算______________.以上横线上应填的内容为( )A.(0,0.5) f(0.25)B.(0,1) f(0.25)C.(0.5,1) f(0.75)D.(0,0.5) f(0.125)答案：A解析：∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).第二次计算f(25.0)=f(0.25).2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A.ε越大，零点的精确度越高B.ε越大，零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.3.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解析：考虑分解因式降次.∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),∴f(x)有三个零点.4.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内（如15秒）猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_________________（只写出一个正确答案）.答案：二分法(或综合法等)10分钟训练1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：C解析：只有函数的变号零点才能用二分法求.2.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A.1B.2C.0D.无法确定 答案：B解析：分析条件a·c<0,a 是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0). ∴a·c=af(0)<0,由此得解. ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a 与f(0)异号,即⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>.0)0(,00)0(,0f a f a 或 ∴函数必有两个零点.3.已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A.在区间［a,b ］上可能没有零点B.在区间［a,b ］上至少有一个零点C.在区间［a,b ］上零点个数为奇数个D.在区间［a,b ］上零点个数为偶数个 答案：B4.用二分法求方程x 3-2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是______________. 答案：［2,2.5］解析：由计算器计算得f(2)=23-2×2-5=-1,f(2.5)=15.625>0, ∴f(2)·f(2.5)<0,∴下一个有根区间是［2,2.5］.5.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)约为______________. 答案：6.05解析：设立方体的边长为x,则V=x 3,S=6x 2. ∵V=S+1, ∴x 3=6x 2+1.不妨设f(x)=x 3-6x 2-1,应用二分法得方程的根约为6.05.函数f(x)在哪几个区间内有零点?为什么? 解：由x 、f(x)的对应值表,可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”,可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点. 30分钟训练1.(创新题)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币( )A.3B.4C.5D.6 答案：B解析：可利用二分法的思想方法去解决.2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24),(0,12),(0,6),(0,3)内,则下列命题正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点 C.函数f(x)在区间(3,24)内无零点 D.函数f(x)在区间(2,24)内无零点 答案：C3.若方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1答案：B解析：令f(x)=2ax2-x-1,a=0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,∴a>1.4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A.（0,1］B.（0,1）C.（-∞,1）D.（-∞,1］答案：D解法一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=31>0，即m=0应符合题设，所以排除A、B.当m=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1,符合要求，排除C，故选D.解法二：直接法.∵f(0)=1，∴（1）当m<0时，必成立，排除A、B.（2）当m>0时，要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≥--=∆>.023,04)3(,02mmmmm∴0<m≤1.（3）当m=0时根为x=31>0.故选D.5.(探究题)已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则函数f(x)：①当x<-1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点);②当-1<x<0时,恰有一零点;③当0<x<1时,恰有一零点;④当x>1时,恰有一零点.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4答案：B解析：∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,∴在(-2,-1)内有一零点.结合函数图象,函数在(-∞,-1)上,恰有一个零点,∴①正确.又∵f(0)=0.01>0,结合图象,知函数f(x)在(-1,0)上没有零点,∴②不正确.又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01>0,即f(0.5)·f(1)<0,∴函数f(x)在(0.5,1)上必有一个零点,且f(0)·f(0.5)<0.∴函数f(x)在(0,0.5)上也有一个零点.∴函数f(x)在(0,1)上有两个零点,③不正确.由f(1)>0,结合图象，知函数f(x)在(1,+∞)上没有零点, ∴④不正确.6.定义在R 上的偶函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的个数是______________. 答案：2解析：∵f(1)·f(2)<0,∴在(1,2)上函数y=f(x)有零点.又∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.由函数为偶函数可知,函数在(-∞,0)上也有一个零点.7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a,b)等分的次数至多是_______________. 答案：108.求函数f(x)=x 3+2x 2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）. 解：∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0, ∴存在x 1∈(1,2)，使f(x 1)=0.∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正数零点为1.7. 9.某方程有一无理根在区间D 内,若用二分法求此根的近似值,那么: (1)区间D=(1,3)时,将D 等分n 次后,所得近似解可精确到多少? (2)一般情况,是否有必要尽可能多地将区间D 等分? 解：(1)设无理根为x 0,将D 等分n 次后的长度为d n . 包含x 0的区间为(a,b),于是d 1=1,d 2=21,d 3=221,d 4=321,…,d n =121-n . 所以|x 0-a|≤d n =121-n ,即近似值可精确到121-n .(2)由于121-n 随n 的增大而不断地趋向于0,故对于事先给定的精确度ε,总有自然数n,使得121-n ≤ε.所以,只需将区间D 等分n 次就可以达到事先给定的精确度ε. 所以,一般情况下,不需尽可能多地将区间D 等分. 10.设函数f(x)=-x 2-3x-2.(1)若g(x)=2-［f(x)］2,求g(x)的解析式;(2)借助计算器或计算机,画出函数g(x)的图象; (3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1).解：(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x 2+3x+2)2=-x 4-6x 3-13x 2-12x-2. (2)函数图象如下图所示.(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点. 取区间(-3,-2)的中点x 1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5. 因为g(-3)·g(-2.5)<0, 所以x 0∈(-3,-2.5).再取(-3,-2.5)的中点x 2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28. 因为g(-3)·g(-2.75)<0, 所以x 0∈(-3,-2.75).同理可得x 0∈(-2.875,-2.75),x 0∈(-2.812 5,-2.75). 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,此时区间(-2.812 5,-2.75)的两个端点精确到0.1的近似值都是-2.8,所以函数在区间(-4,-3)内精确到0.1的零点约为-3.5.同样可求得函数在区间(-1,0)内精确到0.1的零点约为-0.2. 所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-3.5或-0.2.。

课后导练基础达标1.求方程f(x)=0在［0,1］内的近似根，用二分法计算到x 10=0.445达到精度要求.那么所取误差限ε是（ ）A.0.05B.0.005C.0.0005D.0.00005答案：C2.函数f(x)=x 2+(a 2-1)x+(a-2)的两个零点一个比1大，一个比1小，则（ ）A.-2<a<1B.a>1或a<-2C.-1<a<1D.a>2或a<-1解析：由f(1)<0,知1+(a 2-1)+(a-2)<0,即a 2+a-2<0.解得-2<a<1.答案：A3.函数y=3x+3π的零点是( )A.πB.-πC.2π D.2π- 答案：B4.用二分法求x 2+3x-7=0的正的近似解是(精确到0.01)( )A.1.60B.1.70C.1.54D.1.58答案：C5.已知函数f(x)在区间(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上( )A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.没有零点D.有唯一的零点答案：D6.用二分法求得函数零点( )A.一定是近似解B.一定是准确解C.一定是变号零点D.以上都不对解析：由二分法的定义可知选C.答案：C7.若f(x)=ax 3+ax+2(a≠0)在［-6,6］上满足f(-6)>1且f(6)<1,则方程f(x)=1解的个数为…( )A.1B.2C.3D.4解析：设g(x)=f(x)-1.由f(-6)>1及f(6)<1,得［f(-6)-1］［f(6)-1］<0,即g(-6)·g(6)<0,因此g(x)=f(x)-1在(-6,6)内有一个零点.由于g(x)=ax 3+ax+1(a≠0),易知a>0时,g(x)单调递增;a<0时,g(x)单调递减;即函数g(x)为单调函数.故g(x)仅有一个零点,所以方程f(x)=1仅有一根.故选A.答案：A8.若函数在区间(2,4)内有零点,则下列说法正确的是( )A.在区间(2,3)内有零点B.在区间(2,3)或(3,4)内有零点C.在区间(3,4)内有零点D.在区间(2,3］或(3,4)内有零点答案：D9.用二分法求方程x 3-2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是_________.解析：令f(x)=x 3-2x-5,∵f(2)=-1<0,f(2.5)=8125-10>0,f(3)=27-11>0, ∴f(2)·f(2.5)<0.∴f(x)在(2,2.5)内有零点.答案：(2,2.5)10.要使关于x 的二次方程x 2-2mx+m 2-1=0的两根介于-2和4之间,则m 的取值范围为________.解析：令f(x)=x 2-2mx+m 2-1,则⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=>-++=-≥--=∆.01816)4(,0144)2(,0)1(442222m m f m m f m m解之,得-1<m<3.答案：(-1,3)综合运用11.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内,那么下列说法正确的是( )A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在［2,16)内无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点答案：C12.三次方程x 3+x 2-2x-1=0在下列连续整数___________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与332由上表知①②④正确.答案：①②④2则使ax 2+bx+c>0的自变量x 的取值范围是_________.解析：由表中给出的数据可以得到f(-2)=0,f(3)=0,因此函数的两个零点是-2和3,这两个零点将x 轴分成三个区间(-∞,-2),(-2,3),(3,+∞),在(-∞,-2)中取特殊值-3,由表中数据知f(-3)=6>0,因此根据二次函数零点的性质知当x ∈(-∞,-2)时都有f(x)>0,同理可得当x ∈(3,+∞)时也有f(x)>0,故使ax 2+bx+c>0的自变量x 的取值范围是(-∞,-2)∪(3,+∞).答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)14.设函数f(x)在［0,2a ］上是连续不间断的，且f(0)=f(2a),证明方程f(x)=f(x+a)在［0,a ］上至少有一实根.证明:令g(x)=f(x)-f(x+a),则g(0)=f(0)-f(a).∵f(0)=f(2a),∴g(0)=f(2a)-f(a).又g(a)=f(a)-f(2a),∴g(0)·g(a)=-［f(a)-f(2a)］2≤0.∴函数g(x)在［0,a ］上至少有一个零点.∴方程f(x)=f(x+a)在［0,a ］上至少有一个实根.15.设f(x)在［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线,且a≤f(x)≤b,试问:在［a,b ］中是否存在常数c,使f(c)=c.解析：①若f(a)=a,取c=a,此时f(c)=c 成立;②若f(b)=b,取c=b,此时f(c)=c 也成立;③若f(a)>a 且f(b)<b,令g(x)=f(x)-x,由于g(a)=f(a)-a>0,g(b)=f(b)-b<0.显然,在［a,b ］中至少存在一点c,使g(c)=0,即f(c)=c.综合①②③,可知在［a,b ］中存在常数c,使f(c)=c 成立.拓展探究16.已知抛物线y=-x 2+mx-1和点A(3,0)、B(0,3),若抛物线与线段AB 有两个不同的交点,求m 的取值范围.解析：∵A(3,0)、B(0,3),∴线段AB 的方程为x+y=3(0≤x≤3).∴由⎩⎨⎧=++=3y x 1,-mx -x y 2(0≤x≤3)消y,可知问题等价于x 2-(m+1)x+4=0在x ∈［0,3］上有两个不同的根.令f(x)=x 2-(m+1)x+4, 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=≥=<+<>-+=∆.0310)3(,04)0(,3210,016)1(2m f f m m 解之,得3<m≤310. 故m 的取值范围为(3,310］.。

2021-2022年高中数学 2.4.1《函数的零点》同步练习新人教B版必修1一、选择题１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－的零点是（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝的零点是（）Ａ．１，２，３Ｂ．－１，１，２Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）ｆ（４）的值（）Ａ．大于０Ｂ．小于０Ｃ．等于０Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４５．ｆ（ｘ）＝，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－０．５Ｄ．０．５6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f(x) = ，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为 A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．11．若函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ａｘ－１的零点．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）－４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f（x）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1．Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．三、解答题13．解：（１）由条件知；Δ＝－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０即ｍ＞ 所以函数与ｘ轴有两个交点（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，有２（ｍ－１）－４ｍ＋２ｍ－１＝０ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a+（b －１）x ＝０．有等根Δ＝＝０， 解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，ｆ（ｘ）＝－＋ｘ（２）ｆ（ｘ）＝－＋ｘ＝－２ｎ ， ｎ函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０23542 5BF6 寶30964 78F4 磴; Srl(33196 81AC 膬27392 6B00 欀m40255 9D3F 鴿 33281 8201 舁z。