2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ，∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB（2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯= ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ；【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥= ，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。

2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师用书文新人教版1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1．(教材改编)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD . 又FH ∩OH ＝H ， ∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ， ∴GH ∥平面PAD .命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ， 而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角(或补角)． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．(1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V 三棱柱＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三 平行关系的综合应用例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2017·保定月考)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·滨州模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20答案 B解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥． 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.*13.如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值． 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.。

【考点１:空间中点、线、面的基本关系】题型1:平面基本性质及其应用【典型例题】[例１］(１)在下列命题中,不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内Ｄ.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线(2)下列命题正确的是.①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．(3)以下四个命题中正确的是.①不共面的四点中，其中任意三点不共线;②若点A、B、Ｃ、D共面，点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面，直线ａ、c共面，则直线b、ｃ共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.［例２]如图所示，正方体ABCＤ—A1Ｂ１C1D１中,E、F 分别是AB和AＡ1的中点.求证:（1)E、Ｃ、Ｄ1、Ｆ四点共面；(2)CE、Ｄ1F、DＡ三线共点.【变式训练】1.如图,α∩β＝l,Ａ、B∈α,Ｃ∈β,且C∉ｌ,直线ＡB∩l＝M，过A,B,Ｃ三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(）A.点AB.点BC.点Ｃ但不过点MD.点C和点Ｍ2.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上，这四点能确定__＿_＿___个平面.3.如图，空间四边形ABＣD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AＥ∶EＢ=CF∶FB=２∶1，CG∶GD=３∶１,过E、Ｆ、G的平面交AＤ于点Ｈ.（1)求AH∶HD;（2)求证：EH、FＧ、BＤ三线共点. 题型2:空间中直线关系的判断【典型例题】[例1](1)(教材习题改编)给出命题:①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两直线互相平行.③若两条直线都与第三条直线平行,则这两直线互相平行．其中不正确的命题的个数为＿_＿_____.(2）(２0１5·福建六校联考）设a，b，c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c，则a∥c；②若ａ⊥b,b⊥c,则ａ∥ｃ；③若a与b相交,b与c相交,则ａ与ｃ相交；④若a⊂平面α,ｂ⊂平面β，则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是＿___＿___(只填序号).(3)(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l１，l2,ｌ３,l ４,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（) A.ｌ１⊥l４ B.ｌ1∥l4Ｃ.ｌ1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定[例2］(１)如图,在正方体AＢCD-A１B1C1Ｄ1中,M，N分别是BC１，CD1的中点，则下列判断错误的是(）A．ＭＮ与CC1垂直Ｂ.MN与AC垂直C.ＭN与BD平行D．MN与A１B1平行（2)如图所示,正方体ABCD—A1B1C１Ｄ1中,M、N分别是A1B1、B１C1的中点.问:①ＡM和ＣN是否是异面直线?说明理由；②D１B和CC１是否是异面直线?说明理由.【变式训练】１.若a,ｂ是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( ）A．一定是异面直线 B.一定是相交直线C．不可能是平行直线ﻩ D.不可能是相交直线２.若空间直线a,ｂ,ｃ满足a⊥ｂ,b⊥c，则直线ａ与c （)A.平行B.相交C.异面直线D.都有可能３.设P表示一个点,ａ,ｂ表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是___＿____.①Ｐ∈ａ,P∈α⇒a⊂α;②a∩ｂ＝Ｐ，b⊂β⇒ａ⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α,P∈β⇒P∈b4.已知l1,l2,l3是空间不同的直线，则下列正确的是(）A.l1⊥ｌ２,l2⊥l3⇒l1∥ｌ3 Ｂ.l1⊥l2,l２∥ｌ３⇒l1⊥ｌ3Ｃ.ｌ1∥l２∥l３⇒l1,l2,ｌ３共面 D.l1，l2,ｌ3共点⇒l1，l2,l3共面。

【考点3:空间中直线、平面的夹角问题】题型1：异面直线的夹角 【典型例题】 [例1](1)在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中直线BA ′与CC ′所成角大小为________.(2)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,若∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (3)(2012·四川)如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________.答案 90° (4)(2015·济南一模)在正四棱锥V -ABCD 中,底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________.[例2](1)如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝2,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45(2)(2014·课标Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 (3)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33 【变式训练】 1.(2016·江西南昌一模)已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中(如图),l ⊂平面A 1B 1C 1D 1,且l 与B 1C 1不平行,则下列一定不可能的是( )A.l 与AD 平行B.l 与AB 异面C.l 与CD 所成角为30°D.l 与BD 垂直2.四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5,底面ABCD 是边长为2的正方形,则CD 与P A 所成角的余弦值为( )A.255B.55C.45D.353.(2015·浙江)如图,在三棱锥A -BCD 中,AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3,AD ＝BC ＝2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是________.4.(2015·上海模拟)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB ＝90°,AA 1＝2,AC ＝BC ＝1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________.5.(2015·揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 是AC 的中点,AA 1∶AB ＝2∶1,则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.题型2：直线与平面所成的角【典型例题】[例1](1)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.63(2)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,PD ⊥底面ABCD ,点E 在棱PB 上.①求证：平面AEC ⊥平面PDB ；②当PD =2AB ,且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小.[例2]►(1)(2016·天津文)如图,四边形ABCD 是平行四边形,平面AED ⊥平面ABCD ,EF ∥AB ,AB ＝2,BC ＝EF ＝1,AE ＝6,DE ＝3,∠BAD ＝60°,G 为BC 的中点. (1)求证：FG ∥平面BED ；(2)求证：平面BED ⊥平面AED ；(3)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.►(2)(2014·浙江六校联考)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AD ＝2,AB ＝1,BM ⊥PD 于点M . (1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.►(3)[2014·浙江文] 如图,在四棱锥A - BCDE 中,平面ABC ⊥平面BCDE ,∠CDE ＝∠BED ＝90°,AB ＝CD ＝2,DE ＝BE ＝1,AC ＝ 2.(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值. 【变式训练】 1.(2013·大纲全国)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 2.(2016·日照模拟)如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,已知BC ＝1,∠BCC 1＝π3,A B ＝CC 1＝2.(1)求证C 1B ⊥平面ABC .(2)设E 是CC 1的中点,求AE 和平面ABC 1所成角的正弦值的大小.3.(2015·湖南)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点. (1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F -AEC 的体积.4.(2015天津文)如图,已知AA 1⊥平面ABC ,BB 1∥AA 1,AB =AC =3,BC =25,AA 1=7,BB 1=27,点E ,F 分别是BC ,A 1C 的中点. (I)求证：EF ∥A 1B 1BA ；(II)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1. (III)求直线A 1B 1 与平面BCB 1所成角的大小.5.[2017天津文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ⊥平面PDC ,AD ∥BC ,PD ⊥PB ,AD =1,BC =3,CD =3,PD =2. (I)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II)求证：PD ⊥平面PBC ；(II)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.题型：二面角【典型例题】[例1](1)(教材例题改编)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,PD⊥底面ABCD,PD＝DC.则二面角C-PB-D的大小为________.[例2](2015·广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD＝PC＝4,AB＝6,BC＝3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF＝2FB,CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P-AD-C的正切值；(3)求直线P A与直线FG所成角的余弦值.【变式训练】1.已知二面角α－l－β的大小为30°,m、n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则m、n所成的角为________.2.(2014·天津)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA＝BD＝2,AD＝2,P A＝PD＝5,E,F分别是棱AD,PC的中点.(1)证明：EF∥平面P AB.(2)若二面角P-AD-B为60°,①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.。

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC. ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF.[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG.►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H. 【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离. 【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC. [例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β6.(2015·山东二模)设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是()A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n8.(2013北京)如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, CD＝2AB,平面P AD⊥底面ABCD,P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.9.[2014·山东文]如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD, AD∥BC,AB＝BC＝12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面P AC.10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积. 11.(2013·辽宁)如图,AB是圆O的直径,P A垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1,AD＝3,三棱锥P -ABD的体积V＝34,求A 到平面PBC的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC＝4,AB＝6,BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD中,AD∥B C,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1﹣BCDE．(Ⅰ)证明：CD⊥平面A1OC；(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1﹣BCDE的体积为362,求a的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD′=22,求五棱锥D′­ABCFE的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．19.[2017全国I文]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,∠ADP＝90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II文]如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.21.[2017全国III文]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC22.[2017全国III文]如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D 不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE 的体积比.。

专题31 空间中直线、平面平行位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线平行得到线面平行，进而得出面面平行的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例1 如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中， 1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证： 11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.(方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒，所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ， 1B D ⊂平面11B C CB ，所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积244ABC S ∆==在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B D =.所以三棱锥1B ABC -的体积111833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 【点评】证明线面平行的思路一般有两种：一是在所证的平面内找到一条直线与已知直线平行即可；二是通过证明已知直线所在的平面与已知平面平行，进而得到这条直线与已知平面平行的结论.例2 已知四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD ．求证：平面MNQ ∥平面PBC ．【答案】详见解析.【点评】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．【变式演练1】 如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．求证：//AB FG ；【答案】详见解析.【解析】试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明.试题解析：证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．又因为AB ⊄平面PDE ，所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =，所以//AB FG ．【变式演练2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM .【答案】详见解析.【解析】试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行.试题解析：证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结ME ．因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，M 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，ME 为△ABC 1的中位线，所以 ME// A C 1．因为 ME ⊂平面B 1CM ， AC 1⊄平面B 1CM ，所以 AC 1∥平面B 1C.【变式演练3】已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1 证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD .【答案】详见解析.考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.【变式演练4】已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.求证EF∥平面BCD.【答案】详见解析.考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.方法二空间向量法使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板：第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.【答案】详见解析.【解析】如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可得M (0,1，12)，N (12，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)．【点评】用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN ∥A 1D ，而忽视MN ⊄平面A 1BD .【变式演练5】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【答案】详见解析.【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)．所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 一个法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝2x 1＝0n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0z 1＝－2y 1.令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．考点：空间向量证明直线、平面的平行；【高考再现】1. 【2017课表1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．2. 【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=（1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3. 【2017课标II ，理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。