>=
n ⋅EB
= -
21
．
1EB uur
n EB 21
由图可得二面角B -CD -C1为钝角，所以二面角B -CD -C1的余弦值为-
21
．21
（3）平面BCD 的法向量为n =(2, - 1, - 4)，Q G (0, 2,1)，F (0, 0, 2)，
∴GF =(0, - 2,1)，∴n ⋅GF =-2 ，∴n 与GF 不垂直，
∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交
2．（本小题14 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ， E ，F 分别为AD ，PB 的中点．
（1）求证：PE ⊥BC ；
（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
（3）求证：EF∥平面PCD ．
【解析】（1）Q PA =PD ，且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ，
Q 底面ABCD 为矩形，∴BC∥AD ，∴PE ⊥BC ．
（2）Q 底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，
Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，
∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，Q PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．
（3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．
Q F ，G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG∥BC ，且FG =1 BC ，
2
Q 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED∥BC ，DE =1 BC ，
2
∴ED∥FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，
∴EF∥GD ，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，
∴EF∥ 平面PCD ．
3 2 3 ⋅
2 3 3．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E , F 分别为 AD , BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF ⊥ BF .
（1） 证明：平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ；
（2） 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.
解答：（1）
E ,
F 分别为 AD , BC 的中点，则 EF / / AB ，∴ EF ⊥ BF ， 又 PF ⊥ BF ， EF ⋂ PF = F ，∴ BF ⊥ 平面 PEF ，
BE ⊂ 平面 ABFD ，∴平面 PEF ⊥ 平面 ABFD .
（2） PF ⊥ BF ， BF / / E D ，∴ PF ⊥ ED ，
又 PF ⊥ PD ， ED ⋂ DP = D ，∴ PF ⊥ 平面 PED ，∴ PF ⊥ PE ，
设 AB = 4 ，则 EF = 4 ， PF = 2 ，∴ PE = 2 ，
过 P 作 PH ⊥ EF 交 EF 于 H 点，
由平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ，
∴ PH ⊥ 平面 ABFD ，连结 DH ，
则∠PDH 即为直线 DP 与平面 ABFD 所成的角，
由 PE ⋅ PF = EF ⋅ PH ，∴ P H = = ， 4
而 PD = 4 ，∴ sin ∠PDH =
PH = 3 ，
PD 4 ∴ DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 3
. 4 4．（12 分）如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = 2 AC 的中点．
（1） 证明： PO ⊥ 平面 ABC ；
， PA = PB = PC = AC = 4 ， O 为
（2） 若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M - PA - C 为30︒ ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．
2
