函数与基本初等函数2.1 函数及其表示(作业)

第1讲函数及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N*f(x)≥01与[f(x)]0f(x)≠0f(x)log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.方法 示例 示例答案 配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 分离常数法y ＝x x ＋1 y ∈(－∞，1)∪ (1，＋∞)辨 析 感 悟1．对函数概念的理解． (1)(教材习题改编)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法 (3)(2013·广东卷改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域为(－1，＋∞)．(×) (4)(2014·杭州月考改编)函数f (x )＝11＋x 2的值域为(0,1]．(√) 3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝139.(√)(6)设函数f (x )＝若f (a )＝4，则实数a ＝2或4.(×)4．函数解析式的求法(7)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.(√)(8)已知f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2.(×) [感悟·提升]1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)； 二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8)．考点一 求函数定义域的方法【例1】 (1)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．(2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析 (1)要使函数有意义，则log 0.5(4x －3)＞0， 即0＜4x －3＜1，所以34＜x ＜1.故函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34. 综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 规律方法 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y ＝x 0，要求x ≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．【训练1】 (1)(2014·南京模拟)函数f (x )＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域是________．(2)(2014·聊城模拟)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 解析 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0得－1<x <1.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)(－1,1)考点二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1. 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22， 于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．规律方法 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．【训练2】 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)法一 (配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R .得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(2)法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.法二 (单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.考点三 求函数的解析式【例3】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式． (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎨⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1). 规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2. 答案 (1)2x 2－4x ＋3 (2)－x (x ＋1)21．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．教你审题1——分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.❶若|f (x )|≥ax ❷，则a 的取值范围是________．(1)[审题]一审条件❶：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．二审条件❷：|f (x )|≥ax ，由f (x )的图象得到|f (x )|的图象如图(2)．(2)三审图形：观察y ＝ax 的图象总在y ＝|f (x )|的下方，则当a ＞0时，不合题意；当a ＝0时，符合题意；当a ＜0时，若x ≤0，f (x )＝－x 2＋2x ≤0， 所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2. 综上－2≤a ≤0. 答案 [－2,0][反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【自主体验】(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析 因为f (1)＝lg 1＝0，所以由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a ＞0时，f (a )＝lg a ＝0，所以a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，解得a ＝－3.所以实数a 的值为a ＝1或a ＝－3. 答案 －3或1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．下列各组函数表示相同函数的是________．①f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2；②f (x )＝1，g (x )＝x 2；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1.解析 ①中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； ②中的两个函数的对应法则不一致；④中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；③中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 ③2．(2014·镇江一模)函数f (x )＝ln xx －1＋12x的定义域为________．解析要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x (x －1)＞0，解得x ＞1. 答案 (1，＋∞)3．f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，x ＜1，x －2，x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________.解析 令log 2(1－a )＋1＝3，得a ＝－3；令a －2＝3，得a ＝33(舍去)，所以a ＝－3. 答案 －34．(2013·江西师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤0，a x ，x ＞0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于______．解析 由f (1)＝f (－1)，得a ＝1－(－1)＝2. 答案 25．(2014·保定模拟)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是________．解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 g (x )＝2x －16．(2014·徐州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是______．解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1.答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x2(x ≠－1)．答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1) 二、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．某人开汽车沿一条直线以60 k m/h 的速度从A 地到150 k m 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 k m/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (k m)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．设函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (4x )ln x 的定义域是________． 解析 由已知0≤4x ≤4，且ln x ≠0，x ＞0⇒0＜x ＜1. 答案 (0,1)2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为________． 解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 f (x )＝－1x ＋23．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x＝14，即x ＝＝3.答案 3 二、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值． 解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.第2讲 函数的单调性与最值知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为A ，如果对于定义域A 内某个区间I上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间I 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间I 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x0)．辨析感悟1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·北京卷改编)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)[感悟·提升]1．一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＜0，有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＞0，有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0，则1－ax 2＞0， 解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－ax 2＜0， 解得－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a .∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝13log u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数y ＝13log u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝13log (x 2－4x ＋3) 的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1.所以x 2－x 1＞0， x 1－1＜0，x 2－1＜0故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考点二 利用单调性求参数【例2】 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a 的取值范围是(－∞，－1)． 答案 (－∞，－1)规律方法 解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． 【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________(填序号)．①{－3}；②(－∞，3)；③(－∞，－3]；④[－3，＋∞)． (2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________(填序号)．①(－1,0)∪(0,1)；②(－1,0)∪(0,1]；③(0,1)； ④(0,1]． 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 答案 (1)③ (2)④考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．[错解]由题意知⎩⎨⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] (1,8)[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] [4,8)[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立． 令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是________．解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 (－1,0)∪(0,1)4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 b ＜a ＜c5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4. 答案 46．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．解析 由18－3x ≥0，得x ≤6，又函数f (x )在定义域上显然是增函数，所以当x＝6时，f (x )取最大值f (6)＝12. 答案 127．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －68．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6. 答案 6 二、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1 ＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是________． ①y ＝cos x ；②y ＝－|x －1|；③y ＝ln2＋x2－x；④y ＝e x ＋e －x . 解析 对于①，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于②，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于③，注意到函数y ＝ln 2＋x 2－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于④，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x －e －x ≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，填④. 答案 ④2．(2014·南阳一中月考)函数y ＝－(x －3)|x |的递减区间是________．解析 y ＝⎩⎨⎧－x (x －3)，x ≥0，x (x －3)，x ＜0，这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(－∞，0)和(32，＋∞)． 答案 (－∞，0)和(32，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 二、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6. 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).第3讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有关于原点对称(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×)2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(8)(2013·湖北卷改编)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上是周期函数．(√) [感悟·提升]1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0，如(2)．2．两个结论 一是若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称，如(4)． 二是若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是以2a 为周期的函数；若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝±1fx (f (x )≠0)，则f (x )也是以2a 为周期的函数，如(7)(8).考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝________.(1)解 ①由⎩⎨⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1. ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． ②由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．(2)解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－ln(1＋9x 2－3x )＝－g (x )．∴g (x )为奇函数．∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝g (lg 2)＋1＋g (－lg 2)＋1＝g (lg 2)－g (lg 2)＋2＝2. 答案 2规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2013·湖南卷改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.解析 (1)由题意知：f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，① f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，② ①＋②得g (1)＝3.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1， 所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)3 (2)－3考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝－x ；③f (x )＝2－x－2x ；④f (x )＝－tan x 中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是________．(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (18log x )＞0的解集为________．解析 (1)f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调； f (x )＝－x 为非奇非偶函数；f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (18log x )＞0等价于f (|18log x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|18log x |＞13，即18log x ＞13或18log x ＜－13，解得0＜x ＜12或x ＞2.答案 (1)③ (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】 (2013·天津卷改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (12log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又因为12log a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (12log a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1，即 －1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小顺序为________．审题路线 f (x －4)＝－f (x )――→令x ＝x －4f (x －8)＝f (x )→结合f (x )奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论． 解析 ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)． 答案 f (－25)＜f (80)＜f (11)规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷改编)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.[一般解法] 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12(－x －a )＝－x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )恒成立，所以a ＝12. [优美解法] (特值法)由已知f (x )为奇函数得f (－1)＝－f (1)， 即－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， 所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. [答案] 12[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f (－x )＝±f (x )，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法． 【自主体验】1．(2014·永康适应性考试)若函数f (x )＝ax 2＋(2a 2－a －1)x ＋1为偶函数，则实数a 的值为________．解析 由2a 2－a －1＝0，得a ＝1或－12. 答案 1或－122．(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数，。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．考点1 函数的概念1.函数与映射的概念确定2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．答案：对应关系3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．答案：定义域对应关系[教材习题改编]以下属于函数的有________．①y＝±x；②y2＝x＋1；③y＝＋；④y＝x2－2(x∈N)．答案：④解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y 值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．答案：①②④①②解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )A．① B．①③④C．①②③ D．③④[答案] B[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝x2－1[答案] A[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同；C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴两函数的定义域不同；D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.(3)下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．是从集合A到集合B的函数的为________．[答案] ①[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点2 函数的定义域对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．(1)[教材习题改编]函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C (2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A BC D答案：B 定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x的函数解析式为________．答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6)解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．(2)函数y＝的定义域为________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，应使x－1≠0，即x≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y＝＝＝x＋2，从而得函数定义域为R，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．主要有以下几个命题角度：角度一求给定函数解析式的定义域[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f(x)＝的定义域是( )A．(0,2)B．(0,1)∪(1,2)D．(0,1)∪(1,2]C．(0,2][答案] D [解析] 要使函数有意义，则有即所以0<x≤2且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] A[解析] 函数f(x)＝ln(x －1)＋的定义域为⇒1<x<2，故选A.角度二求抽象函数的定义域[典题3] (1)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2][答案] C[解析] 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100， 所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ＋f 的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f ＋f中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.角度三已知定义域确定参数问题[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．[答案] [－1,0][解析] 函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.[点石成金] 求函数定义域的两种方法函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.答案：解析法图象法列表法[典题5] (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.[答案] lg (x>1)[解析] 令t ＝＋1(t ＞1)，则x ＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x ＞1)．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(x)＝________. [答案] 2x ＋7[解析] 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f(x)＝2x ＋7.(3)已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x ，则f(x)＝________.[答案] 2x －(x≠0)[解析] ∵2f (x)＋f ＝3x ，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f ＋f(x)＝.②①×2－②，得3f(x)＝6x －，∴f(x)＝2x －(x ≠0)．(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x ＋，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.[答案] x －－x[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x ＋.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x －， 即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x －. [点石成金] 求函数解析式的方法1.已知f(＋1)＝x ＋2，则f(x)＝________.答案：x2－1(x≥1)解析：令t ＝＋1，∴t≥1，x ＝(t －1)2，则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x ≥1)．2．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2－x ＋3解析：设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 又f(0)＝c ＝3，∴f(x)＝ax2＋bx ＋3，∴f(x ＋2)－f(x)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋3－(ax2＋bx ＋3)＝4ax＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x2－x ＋3.考点4 分段函数及其应用1.分段函数的定义若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系 2．分段函数的性质(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．答案：(1)并集(2)并集[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求分段函数的函数值或取值范围[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f(x)＝则f(f(4))＝________；若f(a)<－1，则a的取值范围为________．[答案] 5 ∪(1，＋∞)[解析] f(4)＝－2×42＋1＝－31，f(f(4))＝f(－31)＝log2(1＋31)＝5.当a≥1时，由－2a2＋1<－1，得a2>1，解得a>1；当a<1时，由log2(1－a)<－1，得log2(1－a)<log2，∴0<1－a<，∴<a<1.即a的取值范围为∪(1，＋∞)．角度二分段函数的图象与性质的应用[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)[答案] D[解析] 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3.解x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－∞，－2]∪[3，＋，x2－1，－2，其图象如图实线所示．由图可知，当－2≤k<1时，函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略间进行分别求解，然后整合.[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法．[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f()＝x ＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．真题演练集训1．[2013·大纲全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵f(x)的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x<－. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C解析：∵ －2<1，∴ f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵ log212>1，∴ f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴ f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C. 3．[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )A．f(sin 2x)＝sin xB．f(sin 2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|答案：D解析：取特殊值法．取x＝0，，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．综上可知，故选D.4．[2014·山东卷]函数f(x)＝的定义域为( )A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)答案：C解析：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．5．[2014·上海卷]设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )B．[－1,0]A．[－1,2]D．[0,2]C．[1,2]答案：D解析：∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时等号成立．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.6．[2016·江苏卷]函数y＝的定义域是________．答案：[－3,1]解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．课外拓展阅读已知定义域求参数问题[典例1] 已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．[解] 函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.归纳总结已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．[典例2] 已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．[解] 由题意知ax＋1≥0，a<0，所以x≤－，即函数的定义域为.因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆，所以－≥1.又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范围是[－1,0)．温馨提示函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．已知分段函数图象求解析式已知函数的图象求函数的解析式y＝f(x)，如果自变量x在不同的区间上变化时，函数y＝f(x)的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．[典例3] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．[解] 当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x －；当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx ＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x －； 当1≤x<2时，f(x)＝1.综上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x<－1，32x －12，－1≤x<1，1，1≤x<2.方法探究由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。

高中数学总复习系列之函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…1．了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域．了解映射的概念在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了解简单的分段函数并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分以考查函数的概念、三要素及表示法为主同时函数的图像、分段函数的考查是热点另外实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像仍是2019年高考考查的重要内容．课前自助餐函数与映射的概念函数映射两集合A设A是两个非空数集设A 是两个非空集合对应关系：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中有唯一的数(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．(4)两个函定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才相同．分段函数在一个函数的定义域中对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系这样的函数叫分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f(x)＝＋(2)A＝R＝R：x→y＝表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(3)函数(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．(4)y＝2x(x∈{1)的值域是2(5)y＝与y＝2表示同一函数．(6)f(x)＝则f(－x)＝答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．2018年是平年假设月份构成集合A每月的天数构成集合B是月份与天数的对应关系其对应如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是3．已知(x)＝m(x∈R)则f(m)等于()． D．不确定答案4．已知f(x＋1)＝x－1则(x)＝________答案x－2x5.函数y＝(x)的图像如图所示那么(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3]∪[2，3][1][1)∪(4，5]6．(2018·衡水调研卷)函数(x)＝则()＝________；方程f(－x)＝的解是________答案－2－或1解析f()＝＝－2；当x<0时由f(－x)＝(－x)＝解得x＝－当x>0时由f(－x)＝2－x＝解得x＝1.授人以渔题型一函数与映射的概念(1)下列对A到B的映射能否构成函数？A＝N＝N：x→y＝(x－1)；＝N＝R：x→y＝±；＝N＝Q：x→y＝；＝{衡中高三·一班的同学}＝[0]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】①是映射也是函数．不是映射更不是函数因为从A到B的对应为“一对多”．当x ＝1时值不存在故不是映射更不是函数．是映射但不是函数因为集合A 不是数集．【答案】①是映射也是函数不是映射更不是函数不是映射更不是函数是映射但不是函数(2)下列表格中的x与y能构成函数的是()【解析】中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数也是有理数．【答案】★状元笔记★映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A 为非空数集时即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他思考题1(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．④中中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}下列不表示从A到B的函数的是()：x→y＝．：x→y＝：x→y＝：x→y＝【解析】依据函数概念集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项不符合．(2018·湖北宜昌一中月考)已知函数(x)＝|x－1|则下列函数中与(x)相等的函数是()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝与(x)的定义域和对应关系完全一致故选【答案】★状元笔记★判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时才是相同函数．思考题2下列五组函数中表示同一函数的是________(x)＝x－1与g(x)＝(x)＝与g(x)＝2(x)＝x＋2与g(x)＝x＋2(u)＝与f(v)＝＝(x)与y ＝f(x＋1)【答案】④题型二函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f()＝求(x)的解析式；(2)已知f(＋)＝x＋求(x)的解析式；(3)已知(x)是二次函数(x＋1)－(x)＝2x＋1且f(0)＝3求(x)的解析式；(4)定义在(0＋∞)上的函数(x)满足(x)＝()·－1求(x)的解析式．【解析】(1)(换元法)设＝t[－1]，∵f(cosx)＝＝1－(t)＝1－t[－1]．即(x)＝1－x[－1]．(2)(凑配法)∵f(＋)＝(＋)－2(x)＝x－2[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为(x)是二次函数可设(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)(x＋1)＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1解得又∵f(0)＝3＝3(x)＝x＋3.(4)(方程组法)在(x)＝2f()－1中用代替x得f()＝2(x)－1将f()＝－1代入(x)＝2f()－1中可求得(x)＝＋【答案】(1)(x)＝1－x[－1](2)f(x)＝x－2[2，＋∞)(3)f(x)＝x＋3(4)f(x)＝＋★状元笔记★函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝(x)，可将(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法(4)方程思想：已知关于(x)与f()或f(－x)等的表达式可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程组求出(x)．思考题3(1)若函数(x)满足f(1＋)＝求(x)的解析式．(2)定义在R上的函数(x)满足f(x＋1)＝2(x)，若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤0时求(x)解析式．(3)已知(x)＋2f()＝x(x≠0)求(x)．【解析】(1)令1＋＝t＝t－1＝－1(t)＝(x)＝(2)当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤00≤x＋1≤1(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)而(x)＝(x＋1)＝－－当－1≤x≤0时(x)＝－－(3)∵f(x)＋2f()＝x将原式中的x与互换得f()＋2(x)＝于是得关f(x)的方程组解得(x)＝－(x≠0)．【答案】(1)(x)＝(2)f(x)＝－－(3)f(x)＝(x≠0)题型三分段函数与复合函数(1)已知函数(x)＝(x)＝x＋1则：①g[(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．【解析】①x＜0时f(x)＝[f(x)]＝＋1；时(x)＝x[f(x)]＝x＋1.[f(x)]＝由x＋1＜0得x＜－1.由x＋1≥0得x≥－1.∴f[g(x)]＝【答案】①g[(x)]＝[g(x)]＝(2)(2018·南京金陵中学模拟)已知函数(x)＝则使得(x)≤3成立的x的取值范围是________【解析】当x≥0时－1≤3＝2当x<0时－2x≤3－2x－3≤0－1≤x<0.综上可得x∈[－1]．【答案】[－1]★状元笔记★分段函数、复合函思考题4(1)(2018·河北清苑一中模拟)设(x)＝则f(f(－1))＝________(x)的最小值是________【解析】∵f(－1)＝(－1)＋1＝2(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.当x≥1时(x)在[1]上单调递减在[＋∞)上单调递增(x)min＝f()＝2－3<0.当x<1时(x)min＝1，∴f(x)的最小值为2－3.【答案】02－3(2)(2017·课标全国Ⅲ)设函数(x)＝则满足(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是________【解析】当x>0时(x)＝2x恒成立当x－即x>时(x－)＝2－当x－即01恒成立．当x≤0时(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋所以－综上所述的取值范围是(－＋∞)．【答案】(－＋∞)常用结论记心中快速解题特轻松：映射问题允许多对一但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟但不允许一石三鸟！函数问题定义域优先！抽象函数不要怕赋值方法解决它！4．分段函数分段算本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素分段函数函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面也要教给学生把握复习的尺度教学大纲是高考命题的依据而教材是贯彻大纲的载体研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．从近几年的新课标高考试题可以看到高考试题严格遵循教学大纲及《高考大纲》有一定数量的试题直接源自教材这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学对各模块的内容要课外阅读抽象函数设函数(x)的定义域为R对于任意实数x都有f(x)＋f(x)＝2f()f()(π)＝－1则(0)＝________．【解析】令x＝x＝则f()＋f()＝2f()f(0)，∴f(0)＝1.【答案】1已知偶函数(x)，对任意的x恒有(x1＋x)＝f(x)＋f(x)＋2x＋1则函数(x)的解析式为________．【解析】取x＝x＝0所以f(0)＝2f(0)＋1.所以f(0)＝－1.因为f[x ＋(－x)]＝(x)＋f(－x)＋2x·(－x)＋1又f(－x)＝(x)，所以(x)＝x－1.【答案】(x)＝x－1【讲评】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具(2)利用特殊值代入寻求规律和解法。

第二篇 函数与基本初等函数I第1讲 函数及其表示基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．下列各组函数表示相同函数的是________．①f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2；②f (x )＝1，g (x )＝x 2；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1. 解析 ①中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； ②中的两个函数的对应法则不一致；④中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；③中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．答案 ③2．(2014·镇江一模)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为________． 解析 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x x －1＞0， 即⎩⎨⎧x ≥0，x (x －1)＞0，解得x ＞1. 答案 (1，＋∞)3．f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(1－x )＋1，x ＜1，x －2，x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________. 解析 令log 2(1－a )＋1＝3，得a ＝－3；令a －2＝3，得a ＝33(舍去)，所以a＝－3.答案 －34．(2013·江西师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x ，x ≤0，a x ，x ＞0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于______．解析 由f (1)＝f (－1)，得a ＝1－(－1)＝2.答案 25．(2014·保定模拟)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是________．解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1.答案 g (x )＝2x －16．(2014·徐州质检)函数f (x )＝lnx －2x ＋1的定义域是______． 解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1. 答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t， 所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1) 二、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．设函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (4x )ln x 的定义域是________．解析 由已知0≤4x ≤4，且ln x ≠0，x ＞0⇒0＜x ＜1.答案 (0,1)2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为________．解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)，∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 f (x )＝－1x ＋2 3．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x ＝14，即x ＝81 ＝3 ＝3.答案 3二、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.。

第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数与映射的概念提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系．(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( )(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( )(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 23．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－15．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．考点一 函数的表示方法1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值．提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．例1:(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝ .点拨:集合A中任意一个x都有唯一确定的值f(x)与之对应，是判断函数的关键．对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是( )A．y＝x－2x B．y＝－x－2x C．y＝－2x3 D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是 ( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝ .考点二求函数的定义域确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．(2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合．(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合．(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．提醒:确定函数的定义域是解决函数问题的关键．例2: (1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是 ．点拨:(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集；(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．[拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？ (2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三 分段函数对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．例3:(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是 ．点拨:解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决． 对点训练1．(2016·江西吉安一中上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．判断对应是否为A 到B 的映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”． 2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同． 3．在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． [易错点睛]1．判断A 到B 的函数时，A 中不同元素可有相同的象，即可以多对一，不可以一对多；B 中元素可以无原象，即B 中元素可以有剩余．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则．课时跟踪训练(四)一、选择题1．(2015·苏州模拟)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx1002．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9 5．(2015·湖南岳阳质检(二))设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 6．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，347.已知实数m ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )=f (2＋m ),则实数m 的值为( )A ．－83B ．8C ．－83或8D ．－83或8或08．(2016·潍坊质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x <5，f x －，x ≥5，则f (2 014)＝( )A ．26B ．17C ．10D ．59．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0), f (－1)＝－3，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3.定义{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫22 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫32 014＋…＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫2 0142 014＝( ) A ．2 013 B ．2 0132 C ．1 007 D ．2 014二、填空题11．(2015·合肥二次质检)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －1的定义域是 ． 12．(2015·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f x －＋2，x >0，则f (9)＝ .13．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝ . 三、解答题14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6， x ≥0，3x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1、x 2、x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第二节 函数的值域与解析式最新考纲：1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．知识梳理1．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R .问题探究：函数的值域由什么决定？ 提示：函数的值域由对应关系和定义域决定． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []gx的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫作换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．( ) (2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ) (3)函数y ＝1x 2＋1的值域为(－∞，1]．( ) (4)函数y ＝1－2xx ＋1的值域为{y |y ≠－2}．( )(5)若f (x )＝x ＋1，则f (x )＝x 2＋1，x ∈R .( ) 2．函数f (x )＝33x－3的值域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 4．(2016·西安质检(一))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1，的值域为( )A ．[－1,2]B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝ .考点一 求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2)换元法；(3)配方法；(4)单调性法；(5)基本不等式法；(6)分离常数法；(7)数形结合法．提醒:(1)求函数值域，一定要注意到定义域的范围；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．例1:求下列函数的值域： (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.点拨:(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．[拓展探究] (1)本例中(2)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？ (2)本例中(2)变为y ＝x 2＋3x ＋1(x >－1)时，其值域如何求？考点二 求函数的解析式函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．提醒:求函数解析式时要关注定义域．例2:(1)已知 f (x ＋1)＝x ＋2x ，求 f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知 f (x )满足2 f (x )＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．点拨:求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 对点训练1．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的部分，函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定，函数解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的具体条件转化为该种形式．对于求出的解析式，一定要注意定义域的变化．提醒:解决函数的综合问题时，一般采取“定义域优先”的原则．例3:(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ .(2)(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．点拨:(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域；(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论；(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域． 对点训练1．(2016·江西宜春期末统考)函数y ＝x 2－2x ＋3在定义域[m,3]上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是( )A ．(0,3]B ．[0,3)C ．[－1,1]D ．[0,1]2．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1] 3．若函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，要树立函数定义域优先意识．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域． [易错点睛]1．利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．利用换元法求函数解析式时，切记新元的范围即为函数的定义域．课时跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)等于( )A ．32B ．16 C.12 D ．1322．(2016·济南质检)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x4．(2016·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 5．(2015·河北唐山期中)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x6．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2015·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋18．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a 使f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 9．(2015·浙江十二校二联)函数f (x )＝sin x 2－cos x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－1,1] C ．[－2,2] D ．[－3，3] 10．(2015·浙江温州十校联考)设函数g (x )是二次函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，若函数f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11．(2015·合肥模拟)函数y ＝1－x2x ＋5的值域为 ．12．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为 ．13．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为 ． 三、解答题14．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y＝x＋4－x2.15．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1(a≠0), f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的解析式．16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．第三节函数的单调性与最值最新考纲：1.理解函数的单调性及其几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质；2.理解函数最大值、最小值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的最值．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作f(x)的单调区间．问题探究1：函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 5．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．考点一 函数单调性的判断与证明1．定义法用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．2．导数法f ′(x )≥0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为增函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)； f ′(x )≤0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为减函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)．提醒:应熟记常用函数的单调性，为函数的应用提供依据．例1:判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．点拨:判断函数单调性的方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之；(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数；若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]为减函数． 对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．考点二 求函数的单调区间1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象给出的，或者f (x )的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间． 2．求复合函数 y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则 y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．提醒:函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．例2: (1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是 ．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1]点拨:带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断．[拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？ (2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三 利用单调性求最值若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法成为首选方法．例3:已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．点拨:利用函数的性质求恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四 函数单调性的应用函数的单调性主要应用在以下几方面 (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．提醒:熟练掌握基本初等函数的单调性是解决这类问题的关键．例4:(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是 ．点拨:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．4．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，若在函数的值域中存在最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确定最值． [易错点睛]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的． 2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．课时跟踪训练(六)一、选择题1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x2．(2016·安徽宿州一检)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x3．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45 B ．54 C.34 D ．434．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2].5．(2016·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＝f (2) B ．f (a ＋1)>f (2) C ．f (a ＋1)<f (2) D ．不能确定7．(15郑州第二次质检)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2，5)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1.是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 9．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(1,4] D ．(－∞，0)∪(1,4]10．(2016·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23) 二、填空题11．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是 ．12．(2015·东北三校联考)若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ． 三、解答题14．(2016·重庆诊断测试)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．15．(2016·江苏徐州期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。

第二章函数与基本初等函数Ⅰ考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．一、本章知识网络结构：F:A B二次函数一．【课标要求】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质二．【命题走向】函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。

从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发人生为棋，我愿为卒，行动虽慢，可谁见我曾后退一步。

展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大预测2010年高考对本节的考察是：1．题型是1个选择和一个填空；2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。