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材料力学弯矩剪力图

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材料力学-第五章

材料力学-第五章

合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x

x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8

依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。

M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8

剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。

材料力学第5章-剪力图与弯矩图

材料力学第5章-剪力图与弯矩图

第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。

材料力学第五章

材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图

范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图

范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图

M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB

材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图

材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图

29

§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30

§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27

§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23

四点弯曲弹性模量及弯曲应变计算公式

四点弯曲弹性模量及弯曲应变计算公式

图1 四点弯曲的剪力图和弯矩图图1中l 为力臂，l s 为下跨距。

经过推导（具体推导过程详见材料力学教科书），跨距中点位置（l s /2）试样材料的位移y (l s /2)为：EIll l F l y ss 48)43()2(22-= （1）加载压头位置（l ）试样材料的位移y (l )为：EIl l l F l y s 12)43()(2-=（2）根据公式（1），如果是四点1/4弯曲（对应于上跨距为下跨距l s 的1/2），对于矩形横截面样品，跨距中点位置位移y (ls/2)为：3222641148)43()2(bd Fl EI l l l F l y s s s =-= （3）对应，四点1/4弯曲，杨氏模量E 的计算公式为：336411bdl y F E s •= （4）对应，四点1/4弯曲，试样弯曲应变计算公式为：21148s l dyE ==σε （5）公式（4）、（5）中y 为跨距中点位置位移。

同样，根据公式（1），如果是四点1/3弯曲（上跨距为下跨距的1/3），对于矩形横截面样品，跨距中点位置位移y (ls/2)为：32221082348)43()2(bd Fl EI l l l F l y s s s =-= （6）对应，四点1/3弯曲，杨氏模量E 的计算公式为：3310823bdl y F E s •= （7）对应，四点1/3弯曲，试样弯曲应变计算公式为：223108s l dyE ==σε （8）公式（7）、（8）中y 为跨距中点位置位移。

根据公式（2），如果是四点1/4弯曲，l /l s =1/4，对于矩形横截面样品，加载压头位置(l s /4)试样位移为：338bd E Fl y s •= （9）对应，四点1/4弯曲，杨氏模量E 的计算公式为：338bd l y FE s •= （10）对应，四点1/4弯曲，试样材料弯曲应变的计算公式为：26sl dyE ==σε （11）公式（10）、（11）中y 为样品加载支点位置位移。

第七讲材料力学

第七讲材料力学
dx
d
M
dx
x


FS

x

d
2M dx
x
2

q
x

其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS cx b (c 0)
(c 0)
FS c
M 1 cx2 bx d (c 0) (c 0) 2
q A
M(x)
FS x
FA
qx

ql 2
qx
FA
x
FS(x) M x

FA x

qx
x 2

qlx 2

qx 2 2
ql 2 ql2 8
3、作剪力图和弯矩图 q
A l
FS
M
l/2
B
FS
x

ql 2

qx
M x qlx qx2
22
FS,max
ql 2
M max

ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA

Fb l
FB

Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
AC段 A
M(x)
FS
x

材料力学-5-弯矩图与剪力图

材料力学-5-弯矩图与剪力图

从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。

材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)

材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
天津大学材料力学
平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN
A
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
天津大学材料力学
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素
与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。 在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
2F
F
C B
60 kN
60 kN
天津大学材料力学
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的应力
AD段：
AD
FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
4
4 120 103 π 402 106
95.5M Pa
BC段：
BC
FNBC A2
FNBC
π
d
2 2
4
4 60 103 π 202 106
0 .7 2 m m
LBC
FNBC LBC E A2
4 60 103 2 π 202 106 200 109
1.91m m
3．计算杆的总变形
LAC LAD LDB LBC 1.91 0.48 0.72 0.71m m

梁分析报告作业--剪力弯矩图--悬臂矩形梁(均布载荷)

梁分析报告作业--剪力弯矩图--悬臂矩形梁(均布载荷)

如图所示矩形截面悬臂梁，左端固定，梁的总长度l,矩形截面尺寸：H=80 mm，B=40 mm。

CB段受均布载荷作用q，材料为钢。

材料参数为：弹性模量E=200 GPa，泊松比u=0.28
步骤：
1、几何建模
2、选择单元类型
3、添加材料属性
4、选择截面属性
5、创建方向关键点
6、网格划分
Element attributes—set—pick 1,2—2,3lines--ok—pick 100--ok
选择使用关键点
Size controls—set—pick1,2—2,3
显示截面形状
Plotctrl--style--size and shape
7、施加约束和载荷施加约束
拾取点1
施加载荷
选择5,6,7,8段
8、后处理
显示变形
查找beam189属性
Help
输入beam189进行搜索
查找SFZ的I和J值I=5，J=18
输入剪力常数
apply
ok
查看剪力图
查找MY的I和J值I=2, J=15
输入弯矩常数
查看弯矩图
分析：
由材料力学知识可知，剪力图左端为常数，即ql/2,右端为斜率为-q的斜直线；弯矩图左端为向上的斜直线，且左端点处弯矩为-3ql2/8,右端为开口向下的抛物线，并在右端点处有最大值，故所绘剪力弯矩图符合理论规律。

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图

梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长也 不缩短者，称为中性层。早在1620年荷兰物理学家和力学家 比克门（Beeckman I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另一 侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国科学 家胡克（Hooke R）于1678年也阐述了同样的现象，但他们 都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法国科 学家马略特（Mariotte E, 1680年）。其后莱布尼兹 （Leibniz G W）、雅科布·伯努利（Jakob Bernoulli， 1694）、伐里农（Varignon D, 1702年）等人及其他学者 的研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。 18世纪初，法国学者帕伦（Parent A）对这一问题的研究取 得了突破性的进展。直到1826年纳维（Navier，C. －L. － M. －H）才在他的材料力学讲义中给出正确的结论：中性层 过横截面的形心。
2KN
A
12
3B4
12
3
4
2m
FA
2m
M4
2m
FB
4
2KN
FS4 4
F S 3 4 K( N ),M 3 4 K .m N ( )
求 4-4 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。
F S 4 2 KN ( ),M 4 4 K .m N ( )
12KN.m
2KN
剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁的 轴线重合, 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , 这种 关系称为剪力方程和弯矩方程。
即
Fs = Fs (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图
剪力 : 正值剪力画在 x 轴上侧，负值剪力画在 x 轴下侧。

剪力图和弯矩图(史上最全面)

剪力图和弯矩图(史上最全面)

极轴，q表示截面m–m的位置。
R
P
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
A
O
x
2PR
O
+ Q图
M图
B N图
–
+
O
P
O
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作
用下，Q图对称，M图反对称。
39
五、剪力、弯矩与外力间的关系
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。

材料力学图文 (4)

材料力学图文 (4)

a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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2kN CD
2kN
1kN/m B FBY
x 2kN
M(x) 2kN.m 2kN.m
x
3、根据方程画内力图
§5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 •一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q
FAy
L
x
1、支反力：
2、内力方程 FBy
3、讨论如 下
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
x dx
y
q(x)
载荷集度、剪力和弯矩关系：
1. q＝0，Fs=常数，
剪力图为直线,弯 矩图为斜直线。
Fs 图： M图：
2.q＝常数，剪力图
为斜直线，弯矩
Fs图：
图为抛物线。 M图：
下雨 池塘
3. 剪力FQ=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集
中力偶）一侧Q图面积的代数和计算。（左侧面积或
右侧面积的相反数）
目录
4、集中力 从左到右，向上集中力作用处，剪力图向
M(+)
M(+)
M(–)
左顺右逆为正；反之为负
M(–)
内力方向规定
FQ FN
FN
FQ
§5-2 剪力和弯矩及其方程 例题5-1
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
FAy
FBy
2. 用截面法研究内力
FSE ME
FAy
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE
O
ME
FAy
ME
O
FSE FBy
分析右段得到： FBy
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+)
Fs(–) Fs(+) 左上右下为正；反之为负
Fs(–)
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
材料力学弯矩剪力图
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
拉压杆：承受轴向拉、压力
扭 杆：承受扭矩 墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？
二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图 形的简单拼凑）。
[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。
FL 0.5FL 0.5FL
0.5FL
x x x
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
横截面的内力系的 FBy 合力偶矩
；
q > 0,
M
MC= MB+(-1/2qa a)=-qa2 –1/2 qa2
左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。
右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。
[例] 画组合梁的剪力与弯矩图
组合梁,需拆开,以分析梁的受力 1. 受力分析
2. 画 FS 图 －水平直线
3. 画 M 图 －直线
q B
L
(-)
FAY MA
A
F(x)
-FL
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
②写出内力方程
F
x ③根据方程画内力图
注意：弯矩图中正的弯矩值
x
绘在x轴的下方(即弯矩值绘
在弯曲时梁的受拉侧)。
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A
B
l
FA
x
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
3、作剪力图和弯矩图
q
A
B
l
FS
ql 2 ql2 8
M
l/2
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称 * 剪力为零的截面弯矩有极值。
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
常见弯曲构件截面
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
A
FA AC段
A
FA
aF
b
B
x
C
l
FB
M(x)
x
FS(x)
M(x) FS(x)
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
Fb
FS
l
Fb
x
l
Fab x
M
l
aF
b
A
x
C
l
Fb
FS
l
Fb l
M
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变 ，突变值为集中力 的大小；弯矩图有 转折
x
Fab x
a
b
A
C
l
Fs
Me l
M b>a时
Mea Meb ll
B
* 集中力偶作用
x 点处剪力图无影
响，弯矩图有突 变，突变值的大
x 小等于集中力偶
的大小。
发生在C截面右侧
2kN
A
CD
FAY x1 x2 1m 1m
1kN/m B
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力
x3 FBY 2m
2、写出内力方程
A
FAY Fs(x)
方向：左上右下为正， 反之为负
外力：载荷和约束反力
方向：左顺右逆为正，
分布力、集中力和集中力偶
反之为负
三、剪力方程、弯矩方程：
剪力方程
A
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。
-Fa/2
3Fa/2
M
Fa/2
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连
的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零
q
a
a
a
a
绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。
§5-5 按叠加原理作弯矩图
一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。
上突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该 处为尖点。反之亦然。
5、集中力偶
从左到右，顺时针集中力偶作用处， 弯矩图向M正向突变，突变幅度为集中力偶的 大小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。
剪力图按横向力走向可直接画
弯矩图的段端值可用剪力图面积计算
载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系
确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
qa a
q a
解：1、确定支反力（可省略）
m
2、画内力图
Fy AB：
；
( 积分关系FsB=FsA+0)
–
qa qa2
x
BC：
(Fs < 0,所以M图向负方向斜 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )
(q > 0, 所以Fs图向正方向斜)
,
从左向右 从右向左
利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 积分关系:
梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图 所包围的面积
梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所 包围的面积
三、简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值
基本步骤：
1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
F q
x
A
B
=
M F
x
A
B
=+
M1 q
+
A
B