中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷九)

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第九卷3月一模精选基础卷（第9卷）1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =I （ ） A ．{2,4}B ．{2}C ．{2,4,6}D ．{5,3,2,4}--2.4等于（ ）A ．1+B ．1-+C ．1D ．1--3.已知θ是第三象限角，且3sin()65πθ-=，则cos(2)6πθ+=( ) A ．2425-B ．2425C ．2425-或2425D ．725 4.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ） A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<5.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．12B ．18C ．24D ．306.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ）A ．-12B ．C ．12D 7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A ．22y x =- B ．1y x =- C ．22y x =-+D ．1y x =-+8.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()πcos 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数()()y f x g x =⋅的最小正周期为2π B ．函数()()y f x g x =⋅的最大值为2C ．将函数()y f x =的图象向左平移π2个单位后得()y g x =的图象 D ．将函数()y f x =的图象向右平移π2个单位后得()y g x =的图象9.62)x的展开式中的常数项是______.10.设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则满足()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是______.11．已知{}n a 是递增的等比数列，548a =，2344,3,2a a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b a =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .12.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X次，求随机变量X的分布列与期望.参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bdKa b c d a c b d-=++++13.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）．以坐标原点О为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4ρπθ=⎛⎫+⎪⎝⎭． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B两点，定点M ，求11||MA MB -的值．14.已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立.。

中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试卷（理科）中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题（理科）2012．5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}2|4A x x =∈<="">2|230B x x x =∈--<="">，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<< 2.已知复数z 满足()12z i ?-=，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b ，满足1a b a b ==+=，则向量a b ，夹角的余弦值为（） A ．12 B ．12-CD ．5.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（） ABCD．7.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ?-?+??-?≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥ 8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）命题():1p f x +是偶函数；命题():1q f x +在()01，上是增函数；命题():r f x 恒过定点()11，；命题11:22s f ??> ． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上．9. 51x 的二项展开式中x 项的系数为．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+??=?，则圆心C 的坐标是；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为．12.如图所示程序图运行的结果是．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30?角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45?方向，灯塔B 在北偏东15?方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ?≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x k x =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 444x x xf x =-．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π3f a ?+=()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=?=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ??，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分）已知集合{}12320112012S =，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；⑶ 设123mA A A A ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =?-∑≤中国人民大学附属中学高三模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ??=+∈Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为；（III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”；（II ）A 的最大值为671；（III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7, ,2011A =即可．（III ）12,,,m A A A 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。

北京海淀区中国人民大学附属中学2024学年高三数学试题下学期第二次质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．2D ．32．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2222i - D ．2222i + 3．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．1204．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A ．131+ B ．132+ C ．151+ D ．152+5．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．126．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -8．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -9．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤-10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π11．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

中国人民大学附属中学高考数学冲刺卷六 理数 学(理) 试卷（六）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于（A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5} 2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x =（D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则（A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c << 4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos2θ等于 （A ）31-（B ）32-（C ）32（D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A ）4（B ）5 （C ）6（D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（A ）312,,2x x x 成等差数列 （B ）312,,2xx x 成等比数列（C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④OABDC第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____.10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC，已知PA =4PC =，圆心O 到BC，则圆O 的半径为_____.11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .正(主)视图 俯视图侧(左)视图17.（本小题满分13分）如图,ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060. (Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）ABCDF E19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （Ⅱ）若1FA AP λ=,2BF FA λ=,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.20.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++-为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)nn a =-时，求12100(,,,)a a a τ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.中国人民大学附属中学高考冲刺卷 数学(理)试卷（六）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 210.211.415±12.1213.60，4814.62；1或5注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o 30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==，……………………7分所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分所以ABC ∆面积的最大值为3.……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. (3)分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分X 分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=，……5分所以3=DBED. 由3=AD可知DE =AF =………6分则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-， ………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z =则=n (4,2,. (8)分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-， 所以cos ,32CA CA CA⋅〈〉===n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-， 因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. (8)。

2020北京人大附中高三考前热身练习数 学 2020。

6本试卷共4页．满分150分,考试时长120分钟．考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效．一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}{}20,2,A x N x B x Z x A B =∈-≤=∈<⋃=则（ )A. {}1B 。

{}1,0,1,2- C. {}0,1 D. (2,2)- 2．复数11i z i+=-的模为( ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．223．若00a b >>，,则不等式1b a x -<<等价于（ ） A. 1100x x b a-<<<<或 B.11x a b -<< C.11x x a b <->或D 。

11x x b a <->或 4．某几何体的主视图和左视图如右上图所示，则它的俯视图不可能是( ）5．公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ）（参考数据： 1.120.05 1.30.1120.30lg lg lg ≈≈≈，，）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年6。

,a b 为非零向量，为“a b b a=”“,a b 为共线”的 A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 7．已知函数()211()2x x f x x x a e e -+=--++（其中0a >）的最小值为1，则a =（ ）A 。

1 B. 13 C. 12 D 。

12-8.已知函数21()cos (0,)22x f x x x R ωωω=->∈，若函数在区间2ππ（，）内没有零点,则ω的最大值为A 。

中国人民大学附属中学高考冲刺卷数 学(理) 试 卷（九）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于（A ）7 （B ）3.5 （C ）14 （D ）283．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 (A) 2 (B) 43(C) 312+ (D) 316+4. ,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的（A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 5．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()f x (A) 在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点 (B) 在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点 (C) 在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 (D) 在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点6．直线:(2)2l y k x =-+ 将圆22:220C x y x y +--=平分，则直线l 的方向向量是（A ）(2,2)- （B ）(2,2) （C ）(3,2)- （D ）(2,1)7．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上,数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为（A ）7575A A -（B ）2545A A （C ）115565A A A（D ）61156455A A A A +8．对于四面体ABCD ，有如下命题①棱AB 与CD 所在的直线异面；②过点A 作四面体ABCD 的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点； ③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点， 其中正确的是(A) ① (B) ②③ (C) ①④ (D) ①③2主视图 左视图俯视图111第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．极坐标方程2ρ=化为直角坐标方程是 ．10．把某校高三．5班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图（如下左图），由此判断甲的平均分 乙的平均分．（填：>，= 或<）11．如上右图：AB 是O 的直径，点P 在AB 的延长线上，且2PB OB ==，PC 切O 于点C ，CD AB ⊥于点D ，则PC = ；CD = ．12. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 ．13． 已知函数221,0()2,0xx f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ．14．设S 为非空数集，若,x y S ∀∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则一定有0S ∈；⑤若,S T 为封闭集，且满足S U T ⊆⊆，则集合U 也是封闭集，其中真命题是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为232a b c a b ==、、，，，1cos 2A =-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2()cos2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．A B D O C 甲 乙 7 8 9 10 1137248 4 0 9 50 941 2P16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O .（Ⅰ）求证：⊥PO 底面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若M 是PB 上的一点，且PB CM ⊥，求PM MB的值．17．（本小题满分14分）某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A 区域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元， (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率；(Ⅱ) 记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列； (Ⅲ) 求数学期望E ξ(精确到0.01)．18．(本小题满分13分）已知函数)0(121)1ln()(2>+-++=a ax x x a x f ． （Ⅰ）求函数)(x f y =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间和极值．ABCAPDCOB19．（本小题满分13分）如图：平行四边形AMBN 的周长为8，点,M N 的坐标分别为()()0,3,0,3-．（Ⅰ）求点,A B 所在的曲线方程；（Ⅱ）过点(2,0)C -的直线l 与(Ⅰ)中曲线交于点D ，与y 轴交于点E ， 且l //OA ，求证：2CD CE OA⋅为定值．20．（本小题满分13分）已知n n x x f )1()(+=， （Ⅰ）若20112011012011()f x a a x a x =+++，求2011200931a a a a ++++ 的值；（Ⅱ）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数； （Ⅲ）证明：1121(1)1232m mmm m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦O xyAMNB中国人民大学附属中学高考冲刺卷数学(理)试卷（九）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1 2 3 4 5 6 7 8 ACBCDBDC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，两个空的第一空2分，第二空3分，共30分．9 10 11 12 13 14224x y +=<23 3 512a -<< ①④三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3sin 2A =……………………………2分 由sin sin a b A B = 得1sin 2B = , 6B π= ……………………………5分 （Ⅱ） 2c = ……………………………6分2()cos 22sin ()6f x x x π=++=cos 2cos(2)13x x π-++13cos 2cos 2sin 2122x x x =-++sin(2)16x π=++ ……………………………10分所以，所求函数的最小正周期为π 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以所求函数的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈ ……………………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以O 为,AC BD 的中点……………………………1分APDCOB因为,PB PD PA PC ==,所以,PO BD PO AC ⊥⊥所以⊥PO 底面 ABCD …………3分 （Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥建立如图所示空间直角坐标系 又060,2ABC PB AB ∠===得1,3,1OA OB OP === ……………………………4分 所以(0,0,1),(0,3,0),(1,0,0),(0,3,0)P B C D -(0,3,1)PB =--,(1,0,1)PC =-,(0,3,1)PD =-………5分 设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =有00m PC m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以030x z y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得33x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以(3,3,3)m = ……………………………8分cos ,m PB m PB m PB =621cos ,7214m PB -==-⨯ ……………………………9分 PB 与平面PCD 所成角的正弦值为217…………………10分（Ⅲ）因为点M 在PB 上,所以(0,3,1)PM PB λλ==--所以(0,3,1)M λλ--+, (1,3,1)CM λλ=---+ 因为PB CM ⊥所以 0CM PB =, 得310λλ+-= 解得14λ= 所以13PMMB = ……………………………14分 17．（本小题满分14分）(Ⅰ) 设事件A 表示该顾客中一等奖1111123()212121212144P A =⨯+⨯⨯= 所以该顾客中一等奖的概率是23144…………4分（Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0 …………5分111(20)1212144P ξ==⨯=，121(15)2121236P ξ==⨯⨯=， 221911(10)21212121272P ξ==⨯+⨯⨯=291(5)212124P ξ==⨯⨯=，999(0)121216P ξ==⨯=（每个1分）………〦…………10分所以ξ的分布列为x zyξ20 15 10 5 0P1144 136 1172 14 916……………………10分（Ⅲ）数学期望111112015105 3.3314436724E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯≈ …………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）(0)1f =,/(1)()11a x x a f x x a x x -+=+-=++, ………………2分 /(0)0f =所以函数)(x f y =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为(1,)-+∞令()0f x '=,得(1)01x x a x -+=+ 解得：0,1x x a ==- …………………5分 当1a >时,列表：x(-1,0) 0 (0,1)a - 1a - (1,)a -+∞ )(/x f+ 0 - 0 + )(x f ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 可知)(x f 的单调减区间是(0,1)a -，增区间是(-1,0)和(1,)a -+∞；极大值为(0)1f =,极小值为213(1)ln 22f a a a a -=-+ …………………8分当01a <<时,列表：x (1,1)a -- 1a - (1,0)a - 0 (0,)+∞ )(/x f+ 0 - 0 + )(x f ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 可知)(x f 的单调减区间是(1,0)a -，增区间是(1,1)a --和(0,)+∞；极大值为213(1)ln 22f a a a a -=-+,极小值为(0)1f = …………………11分当1a =时, ()0f x '≥可知函数)(x f 在(1,)-+∞上单增, 无极值 …………………13分 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为四边形AMBN 是平行四边形,周长为8所以两点,A B 到,M N 的距离之和均为4,可知所求曲线为椭圆 …………………1分由椭圆定义可知，2,3a c ==，1b =所求曲线方程为1422=+y x …………………4分 （Ⅱ）由已知可知直线l 的斜率存在，又直线l 过点(2,0)C -设直线l 的方程为：(2)y k x =+ …………………5分 代入曲线方程221(0)4x y y +=≠，并整理得2222(14)161640k x k x k +++-= 点(2,0)C -在曲线上,所以D (228214k k -++,2414k k +) …………………8分(0,2)E k ,CD =2244(,)1414kk k ++,(2,2)CE k = …………………9分因为OA //l ,所以设OA 的方程为y kx = …………………10分 代入曲线方程，并整理得22(14)4k x += 所以2222(,)1414kA k k±±++ …………………11分22222228814142441414k CD CE k k k OA k k +⋅++==+++ 所以：2CD CEOA⋅为定值 …………………13分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+, 又20112011012011()f x a a x a x =+++,所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………2分（Ⅱ）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++)(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………4分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1)则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2)(1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+ (1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21m m m n m n C nC ++++-+ …………………11分()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!(1)(2)()!2(1)!(1)1m n n m n m n m n n n m m n m m n ++=-++-+---+++=⨯++-1(1)12m m n m n C m ++++=+所以112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………………13分。

中国人民大学附中高考数学冲刺试卷02（理科）详细信息1.难度：中等若集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（-∞，+∞）C．∅D．{（2，4），（-1，1）}详细信息2.难度：中等某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A．8，8B．10，6C．9，7D．12，4详细信息3.难度：中等极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是（）A．（x-2）2+y2=4B．x2+y2=4C．x2+（y-2）2=4D．（x-1）2+（y-1）2=4详细信息4.难度：中等已知an 是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和．若a1=3，a 2a4=144，则S10的值是（）A．511B．1023C．1533D．3069详细信息5.难度：中等函数的单调增区间是（）A．k∈ZB．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈ZD．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z详细信息6.难度：中等已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．详细信息7.难度：中等如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（）A．B．C．D．详细信息8.难度：中等定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d1，d2，d3分别表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤2011时，有（）A．d1=1，d2=2，d3=2008B．d1=1，d2=1，d3=2009C．d1=3，d2=5，d3=2003D．d1=2，d2=3，d3=2006二、填空题详细信息9.难度：中等复数z1=3+i，z2=1-i，则等于．详细信息10.难度：中等在二项式的展开式中，第四项的系数是．详细信息11.难度：中等如图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且．若，则实数x= ，实数y= ．详细信息12.难度：中等执行如图所示的程序框图，若输入x=5.2，则输出y的值为．详细信息13.难度：中等如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E．已知，AE=2EC，∠CBD=30°，则∠CAB=，AC的长是．详细信息14.难度：中等对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…in）（n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有ip ＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组（i1，i2，i 3，…，in）中的逆序数为n，则数组（in，in-1，…，i1）中的逆序数为．详细信息15.难度：中等在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）当c=2a，且时，求a．详细信息16.难度：中等如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD= 90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．详细信息17.难度：中等在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？详细信息18.难度：中等已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．详细信息19.难度：中等已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．详细信息20.难度：中等有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm ，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．（Ⅰ）证明dm =p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d 6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm ）4（cm＞0），求数列的前n项和Sn．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式成立的所有N的值．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，不是恒等式的是（）A. sin²x + cos²x = 1B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. log₂(2x + 1) = x + 1D. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)2. 已知函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 2，f(1) = 0，则a +b + c的值为（）A. 1B. 0C. -1D. -23. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA + sinB + sinC = 3，则△ABC为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 无法确定4. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x5. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为（）B. 57C. 62D. 676. 已知复数z = 1 + i，则|z - 2i|的值为（）A. √2B. 2C. √5D. 57. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. x² > xC. x³ > xD. x² < x8. 若a、b、c为等差数列，且a² + b² + c² = 3，则abc的最大值为（）A. 1B. √3C. 3D. √69. 已知函数f(x) = x² + ax + b（a ≠ 0），若f(1) = 0，f(2) = 3，则f(3)的值为（）A. 0B. 3C. 610. 下列命题中，正确的是（）A. 若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f(a) < f(b)B. 若函数f(x)在区间(a, b)内单调递减，则f(a) > f(b)C. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则f(a) = f(b)D. 若函数f(x)在区间(a, b)内可导，则f(a) = f(b)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等比数列{an}的首项为a₁，公比为q，则其第n项an = ________。