【20套试卷合集】中国人民大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案

人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分）9．{(3,−7)} 10．{−1,1} 11．30 12．(−3,0) 13．①②③④ 14．[−5,0] 三、解答题（每题10分，共30分）15．设全集是实数集R ，A ={x|2x 2−7x +3≤0}，B ={x|x 2+a <0}。

（1）当a =−4时，求A ∩B 和A ∪B ； （2）若(∁R A )∩B =B ，求实数a 的取值范围。

解：（1）因为A ={x|12≤x ≤3}，-------------------1‘当a =−4时，B ={x|−2<x <2}--------------------2‘ 所以A ∩B ={x|12≤x <2}-------------------------3‘ A ∪B ={x|−2<x ≤3}----------------------------4‘ （2）∁ℝA ={x|x <12或x >3}----------------------5‘因为(∁ℝA)∩B =B ，所以B ⊆∁ℝA ------------------6‘ 当B =∅即a ≥0时，满足B ⊆∁ℝA -----------------7‘ 当B ≠∅即a <0时，-----------------------------8‘ √−a ≤12，解得−14≤a <0-----------------------9‘ 综上，实数a 的取值范围为[−14,+∞)---------------10‘16．已知二次函数f (x )=x 2+2bx +c (b,c ∈R )。

（1）若f (x )≤0的解集为{x|−1≤x ≤1}，求实数b,c 的值；（2）若c =b 2+2b +3，设x 1、x 2是关于x 的方程f (x )=0的两根，且(x 1+1)(x 2+1)=8，求b 的值；（3）若f (x )满足f (1)=0，且关于x 的方程f (x )+x +b =0的两个实数根分别在区间(−3,−2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围。

【全国百强校】北京市中国人民大学附属中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题:p ：“2,0x R x ∀∈>”，则p ￢是（ ） A ．2,0x R x ∀∈≤B ．2,0x R x ∃∈>C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤2．已知集合A N =，集合{|||2}B x x =<，则A B =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1)C ．{}1,0,1-D ．{0,1}3．下列图形是函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，则函数(1)y f x =+定义域为（ ） A ．[0,)+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞5．“a b >”是“22a b >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞7．已知函数22()x f x x =-，函数在下列区间一定存在零点（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)8．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量x ，当年电影放映场次作为函数值y ，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（ ）A ．2()f x ax bx c =++B ．()f x ax b =+C ．()ax b f x e +=D ．()b f x ax=二、填空题9．比较大小：0.312⎛⎫ ⎪⎝⎭__________0.512⎛⎫ ⎪⎝⎭. 10．函数1()2x f x +=的值域为____________．11．函数()f x =的定义域为_______________． 12．对于函数21()21x x f x -=+，下列说法正确的是____________．①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 为奇函数； ③函数()f x 的值域为(1,0)-； ④函数在定义域上为增函数；⑤对于a R ∀∈，均有()()11f a f a +>-．三、双空题13．已知()()2201(0)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩， （1）()1f f ⎡⎤-=⎣⎦ ____________；（2）若函数()y f x c =-有两个零点，则实数m 的取值范围为____________． 14．已知()2x f e x =+，则(1)f =____________；()f x 的解析式为____________．四、解答题15．（1）已知2x x a a --=，求22x x a a -+的值．（2）求值：222322log log 2log 9-2log 332+．16．判别并证明函数()f x x=的奇偶性． 17．已知命题p ：方程221()10x m x +-+=有实根：命题q ：方程220mx x m ++=有两个不相等的实根，若“p 且q ”为真，求实数m 的取值范围．18．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且(2)0f =． （1）求(2)f -与(0)f 的值；（2）判别并证明函数()f x 在(,0)-∞上的单调性； （3）若0(2)1f m -≥，求实数m 的取值范围． 19．已知函数14()2x x f x m +=--． （1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．20．已知函数()y f x =，()n f x 表示函数()f x 的n 次迭代函数，1()[()]n n f x f f x -=，1()()f x f x =．（1）若1(1)f x x=-，求2()f x ，3()f x ，4()f x ，2018()f x ； （2）若存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，均有()()n k n f x f x +=成立，则称函数()f x 是k 次迭代周期函数，正整数k 为函数()f x 的选代周期．①若()g x =()g x 的选代周期；②若ln ()(1)x t x e =+，判别PCD S ∆=若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．参考答案1．D 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题p ⌝是2,0x R x ∃∈<，故选D. 考点：命题的否定. 2．D 【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}B x x =-<<，A N =；{}0,1A B ∴⋂=．故选：D ． 【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题 3．B 【分析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可． 【详解】A 当11x -<<时，y 的对应值有两个x ，不满足函数对应x 的唯一性，不是函数B ．满足函数的定义，则图象是函数图象C ．当0x =时，y 的对应值有两个x ，不满足函数对应x 的唯一性，不是函数D ．当0x >时，y 的对应值有两个x ，不满足函数对应x 的唯一性，不是函数 故满足条件的图象是B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．B 【解析】根据()f x 的定义域即可得出()1f x +需满足：10x +≥，从而得出()1y f x =+的定义域． 【详解】()y f x =的定义域为[)0,+∞； ()1y f x ∴=+满足10x +≥；1x ∴≥-；()1y f x ∴=+的定义域为[)1,-+∞．故选B ． 【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦定义域的方法，是基础题 5．C 【分析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可． 【详解】指数函数2xy =，是增函数，所以“a b >”⇒“22a b >”，“22a b >”⇒“a b >”，可得“a b >”是“22a b >”的充要条件． 故选C ． 【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题． 6．B 【解析】 【分析】集合A 代表不等式2|20x x --≤的解集，可求A ，再根据A B ⊆得到关于a 的不等式，即可得到a 的范围． 【详解】因为集合2{|20)A x x x =--≤，所以{|12}A x x =-≤≤，又因为A B ⊆，故2a >．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题． 7．A 【解析】 【分析】由已知函数解析式分别求得()1f -，()0f ，()1f ，()2f ，()3f 的值，再由函数零点的判定得答案． 【详解】()22x f x x =-，()1102f ∴-=>，()010f =-<，()110f =-<，()20f =，()310f =>， ()()100f f -⋅<，∴由函数零点判定定理可知，()f x 在()1,0-上一定存在零点．故选A ． 【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断． 【详解】由图象可知在第一象限内，y 是关于x 的增函数，A 、B 、C 均合题意当0b a >时，by ax =在第一象限内是减函数， 当0b a <时，b y ax=在第一象限内没有图象， 故b y ax=不适合．故选D ． 【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题． 9．> 【解析】 【分析】根据指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性即可比较出0.312⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.512⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小．【详解】12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数；0.30.51122⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：>． 【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题 10．(0,)+∞ 【解析】 【分析】利用指数函数的性质求解 【详解】由指数函数的性质可知，20x >，所以12220x x +=⋅>，故函数的值域为()0,+∞． 故答案为()0,+∞． 【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题． 11．{|2x x ≤-或0}x > 【解析】 【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足20x x+≥，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则：20x x+≥； 2x ∴≤-，或0x >；()f x ∴的定义域为{|2x x ≤-，或0}x >．故答案为{|2x x ≤-或0}x >． 【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题 12．①②④⑤ 【解析】 【分析】①函数()f x 的分母210x +>恒成立，定义域为R ；②根据奇偶性的定义判断()f x 为定义域R 上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数()f x 的值域即可；④根据指数函数的性质，判断()f x 在定义域R 上为增函数；⑤根据()f x 为R 上的增函数，判断()()11f a f a +>-．【详解】对于①，函数()2121x x f x -=+，分母210x +>，定义域为R ，①正确；对于②，任意x R ∈，有()2121x x f x ----==+ ()1212xxf x -=-+， ∴函数()f x 为定义域R 上的奇函数，②正确；对于③，函数()2121xf x =-+，211x +>， 20221x ∴<<+，20221x ∴>->-+，211121x ∴>->-+，()f x ∴的值域为()1,1-，③错误；对于④，2xy =是增函数，221x y =+是减函数，221x y =-+是增函数，∴函数()f x 在定义域R 上为增函数，④正确；对于⑤，对于a R ∀∈，都有11a a +>-，且()f x 为R 上的增函数， 所以()()11f a f a +>-，⑤正确． 综上所述，正确的命题序号是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题． 13．34(0,1) 【分析】（1）直接由分段函数解析式求解()1f f ⎡⎤-⎣⎦的值（2）画出函数()y f x =的图象，数形结合得答案． 【详解】（1）由已知可得()112f -=， ()112f f f ⎛⎫⎡⎤∴-== ⎪⎣⎦⎝⎭ 213124⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）作出函数()y f x =的图象如图，由图可知，要使函数()y f x c =-有两个零点， 则实数c 的取值范围为()0,1． 故答案为（1）34；（2）()0,1．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．2 l (2)n f x x =+【分析】()()01f f e =，由此利用()2x f e x =+，能求出()1f ；设x e t =，则ln x t =，从而()ln 2f t t =+，由此能求出()f x 的解析式．【详解】()2x f e x =+，()()01022f f e ∴==+=，设x e t =，则ln x t =， ()ln 2f t t ∴=+，()f x ∴的解析式为()ln 2f x x =+．故答案为2，()ln 2f x x =+．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（1）6（2）1【分析】（1）将2x x a a --=平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1）2x x a a --=，()22222226x x x x a a a a --∴+=-+=+=．（2）原式2232log 2log 2=⨯- 232339⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭3531=-+=． 【点睛】 本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．见解析【解析】【分析】由奇函数定义判断即可【详解】()f x 是奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{|22x x -≤≤，且0}x ≠；()()f x f x -==-； ()f x ∴是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．(1,0)-【解析】【分析】先求解p,q 命题为真命题时m 的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程()22110x m x +-+=有实根， 则判别式()24140m ∆=--≥，得2m ≥或0m ≤，方程220mx x m ++=有两个不相等的实根， 则满足20440m m ≠⎧⎨∆=->⎩，得011m m ≠⎧⎨-<<⎩，即10m -<<或01x <<， 若“p 且q ”为真，则p ，q 同时为真命题，则201001m m m x 或或≥≤⎧⎨-<<<<⎩得10m -<<， 即实数m 的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q 命题为真命题时m 的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．（1）0，0（2）()f x 在(,0)-∞上是减函数（3）13{|22m m ≤≤或1}2m ≤- 【解析】【分析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）()f x 是R 上的奇函数；()00f ∴=，且()20f =；()()220f f ∴-=-=；（2）()f x 在(),0-∞上是减函数，证明如下：设120x x <<，则：120x x ->->；()f x 在()0,+∞上是减函数；()()12f x f x ∴-<-；()()12f x f x ∴-<-；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在(),0-∞上是减函数；（3）①210m -=，即12m =时，满足()210f m -≥； ②210m ->，即12m >时，由()210f m -≥得：()()212f m f -≥； 212m ∴-≤；32m ∴≤； 1322m ∴<≤； ③210m -<，即12m <时，由()210f m -≥得：()()212f m f -≥-； 212m ∴-≤-；12m ∴≤-； ∴综上得，实数m 的取值范围为13{|22m m ≤≤或1}2m ≤-． 【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．（1）1（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）0m =时，()()21422x x xf x +=-=- ()22222x x x ⋅=-， 令()0f x =可得22x =，即1x =． ()f x ∴的零点是1．（2）令2x t =，显然0t >，则()22f x t t m =--． ()f x 有两个零点，且2x t =为单调函数，∴方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，0440120m m m ->⎧⎪∴+>⎨⎪--<⎩，解得：10m -<<．m ∴的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．（1）()211f x x =--，()3f x x =，()411f x x =-，()201811f x x =--（2）①3；②不是【解析】【分析】（1）利用()()1n n f x f f x -⎡⎤=⎣⎦先求()2f x ，()3f x ，()4f x ，即可得()2018f x ；（2）①由()()n k n f x f x +=成立，计算求解即可()g x 的选代周期②反正法证明即可【详解】（1）()11f x x =-，()()1f x f x =， 则()()()211f x f f x ==- ()11f x 111111x x =-=---，()()()321f x f f x ==- ()211111x f x x =-=--， ()()()431f x f f x ==-()3111f x x =-， ……于是()()2018211f x f x x ==--． （2）①()g x =()()1g x g x = ， 则()2g x === ()()()32g x g g x ===，()()()43g x g g x ==， 故()g x 的选代周期为3， ②()()ln 1x t x e =+，()()1ln 1x t x e =+， 则()()()()()ln 121ln x e t x t t x e+== ()()ln 11ln 2x x e e =++=+． ()()()ln 23ln 1x e t x e+=+ ()ln 3x e =+，……()()ln x n t x e n ∴=+，若()t x 为k 次迭代周期函数，则()()ln ln x x e n e k n +=++， 0k ∴=，与0k >矛盾．()t x ∴不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题。

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷2019年11月说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分；II 卷7道题，共50分；I 卷、II 卷共24题，合计150分，作为期中成绩。

考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上.I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.） 1．设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（ ）A. {}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A.xy x=与1y = B.()21y x =-与1y x =-C.2x y x =与y x =D.321x x y x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（ ）A.1y x =-+B.245y x x =-+C.y x =D.1y x= 4．命题“∀x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A. ∀x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，使得20x <C. ∃0x R ∈，使得200x ≥ D. ∃0x R ∈，使得200x < 5．己知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ）A.13-B.13C.23-D.236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图 象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合{}523M x R x =∈--为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B.31 C. 510 D. 511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值__________. 12．若函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________.13．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论： ①函数()f x 的值域为()1,1-； ②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠； ③()f x 在()0,+∞是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为_______________.14．函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是______________.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）15．设全集是实数集{}{}22,2730,0R A x x x B x x a =-+≤=+<.（1）当4a =-时，求A B ⋂和A B ⋃； （2）若()R C A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c R =++∈.（1）已知()0f x ≤的解集为{}11x x -≤≤，求实数,b c 的值；（2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）已知()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两实数根分别在区间()()3,2,0,1--内，求实数b 的取值范围.17．已知函数()4f x x x=+，（1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[5,)+∞，求实数t 取值范围.(只需写出答案)II 卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()1g f x x =+⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A.{}1B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,319．已知()f x 是定义在()4,4-上的偶函数，且在()4,0-上是增函数，()()3f a f <，则实a （ ）A.()3,3-B.()(),33,-∞-⋃+∞C.()4,3--D.()()4,33,4--⋃ 20．已知函数()225f x x ax =-+在[]1,3x ∈上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（ ）A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.)+∞C. ⎤⎦D.五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为_______,函数()f x 的最小值为________.22．关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记()f t . （1）若()1g x x =+，则()f t =____________；（2）若()()2,0,2,0,x x g x a R x ax a x ≤⎧=∈⎨-++>⎩，存在t 使得()()2f t f t +>成立，则a 的取值范围是_____.23．对于区间[](),a b a b <，若函数()y f x =同时满足： ①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()[],,y f x x a b =∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值，区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数()()20f x x m m =+≠存在“保值区间，则实数m 的取值范围为_____________.六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求f(1.2),f(-1.2)的值；（2）若函数()()122x x f x x R +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求()f x 的值域； （3）若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m fm =，则称函数()f x 是Ω函数，若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.参考答案与解析I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1．答案：B解析：因为X={-2，-1，0，1}，Y={-1，0，1，2，3}所以X ∩Y={-1，0，1}，即选B 。

2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−123．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（）A．m＝3，n＝15B．m＝﹣3，n＝15C．m＝3，n＝81D．m＝﹣3，n＝817．“函数f（x）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A．存在a∈（1，2）满足f（a）≤f（1）B．存在a∈（1，2）满足f（a）≥f（2）C．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）＝f（b）D．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）≥f（b）8．如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（）A．ab＞c B．abc＞12C．c+2b＜a D．a+c＞2b9．已知f（x）={1，x∈Q0，x∈∁R Q．若对任意x∈R，均有xf（x）≤g（x），则函数g（x）可以是（）A．g(x)=1B．g（x）＝x C．g（x）＝x2D．g（x）＝|x|x10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A﹣B﹣C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当AM＝x 时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2的定义域为．x+112．不等式|2x﹣3|＜3的解集是．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝，B＝．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+b的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，xf（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣3．（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}，求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，求x 1+x 2的取值范围； （Ⅲ）若当x ∈[3，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ） A ．（1，3） B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4）20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“yx +x y+2=1xy”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为（6分）23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝（6分）24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为（6分）25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增； ②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1； ④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是（6分）三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x，y∈T，当x+y≠x﹣y时，{x+y，x﹣y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x，y∈T，当x+y≠|x﹣y|时，{x+y，|x﹣y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}是弱和差集，求A；（Ⅲ）若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}解：A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−12解：命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是∀x＜0，x2+x＞−12．故选：C．3．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x解：根据一次函数的性质可知，y＝x﹣1在R上单调递增，不符合题意；y＝﹣|x|，y＝﹣x2﹣2x﹣1在R上不单调，不符合题意；因为y=√x+1+√x在（0，+∞）上单调递增，故y=1√1+x+√x在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝a，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9﹣4a＝1，∴a＝2．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝（x +1）2，下表列出了x ＝m 时各函数的取值，则（ ）A ．m ＝3，n ＝15B ．m ＝﹣3，n ＝15C ．m ＝3，n ＝81D ．m ＝﹣3，n ＝81解：由题得：f （m ）＝m 2﹣1＝8且g （m ）＝（m +1）2＝4， 可得m ＝﹣3，故f [g （m ）]＝f （4）＝42﹣1＝15＝n ． 故选：B ．7．“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≤f （1） B ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≥f （2） C ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）＝f （b ） D ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）解：“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）． 故选：D ．8．如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A ．ab ＞cB ．abc ＞12C ．c +2b ＜aD ．a +c ＞2b解：由图可知，﹣1＜a ＜−−12，−12＜b ＜0，12＜c ＜1，对于A ，由﹣1＜a ＜−12，−12＜b ＜0可得12＜−a ＜1，0＜−b ＜12，所以0＜ab ＜12，又12＜c ＜1，故ab ＜c ，故A 错误；对于B ，由0＜ab ＜12，12＜c ＜1，可得0＜abc ＜12，故B 错误；对于C ，由﹣1＜2b ＜0，12＜c ＜1，可得−12＜c +2b ＜1，又﹣1＜a ＜−12，所以c +2b ＞a ，故C 错误； 对于D ，由图可知，|a ﹣b |＜|b ﹣c |，即b ﹣a ＜c ﹣b ，整理得2b ＜a +c ，故D 正确． 故选：D ．9．已知f （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q．若对任意x ∈R ，均有xf （x ）≤g （x ），则函数g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=1xB ．g （x ）＝xC ．g （x ）＝x 2D ．g （x ）＝|x |解：当x 为有理数时，f （x ）＝1，xf （x ）≤g （x ）⇔x ≤g （x ），排除A ，C 选项； 当x 为无理数时，f （x ）＝0，xf （x ）≤g （x ）⇔0≤g （x ），排除B 选项；只有D 正确． 故选：D ．10．如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A ﹣B ﹣C 在菱形的边上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM ＝x 时，△PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为四边形ABCD 是菱形，且P 关于AC 的对称点为Q ，所以PQ ⊥AC ， 先研究P 从A 运动到B 的情况，设AC ＝a ，∠P AM ＝α，则PQ ＝2x •tan α，然后可得y =12PQ ⋅MC =x •（a ﹣x ）tan α，因为P 从A 运动到B 与P 从B 运动到C 时，对应的△PQR 面积最大值的变化规律是相反的， 所以设0＜x ≤a2，y ＝x •（a ﹣x ）tan α=[−(x −a 2)2+a 24]tanα，（0＜x ≤a2），显然tan α＞0，结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在（0，a2）上单调递增，C 选项正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．解：要使函数有意义，只需x−2x+1≥0，解得x≥2或x＜﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．12．不等式|2x﹣3|＜3的解集是（0，3）．解：|2x﹣3|＜3，则﹣3＜2x﹣3＜3，解得0＜x＜3，故所求的解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是{a|a≥0}．解：A={y|y=√x}={y|y≥0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＝0}，∵B⊆A，∴a≥0，∴实数a的取值集合是{a|a≥0}．故答案为：{a|a≥0}．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是{a|a≥6}．解：存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则存在x∈（0，+∞），ax＝x2+9，即a=x+9x，设g（x）=x+9 x ，x+9x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x＝3时，等号成立，故a≥6，所以实数a的取值集合是{a|a≥6}．故答案为：{a|a≥6}．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝{1，2}，B＝{3，4}．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是10．解：①当A＝{1，2}，B＝{3，4}时，由题意可知：A⊗B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，此时A⊗B的元素个数为4，满足题意．②设集合A中元素的个数为m，集合B中元素的个数为n，根据题意可知A⊗B的元素个数为mn，若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为A＝{1，2}，B＝{3，4}，若对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∉A⊗B，则A＝B，m＝n，又A⊗B的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10，因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10．故答案为：①A＝{1，2}，B＝{3，4}（答案不唯一）；②10．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．若B⊆A，则m≤﹣2，∴m的取值集合是{m|m≤﹣2}；（Ⅱ）若A∪B＝R，则m≥3，∴m的取值集合为{m|m≥3}．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+bx的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，f（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（Ⅰ）根据题意，可得f（1）＝﹣3+6＝3，f（2）＝﹣6+6＝0，故{a+b=32a+b2=0，解得{a=−1b=4，所以f（x）的解析式为f(x)=−x+4x；（Ⅱ）函数f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数，理由如下：证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)(1+4x1x2)，因为x1＜x2，且x1、x2都是正数，所以x2﹣x1＞0且1+4x1x2＞0，可得f（x1）＞f（x2）．因此f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，求x1+x2的取值范围；（Ⅲ）若当x∈[3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）依题意﹣1，3是方程ax2﹣2x﹣3＝0的两根，所以﹣1+3=2a，﹣1×3=−3a，解得a＝1，故a的值为1．（Ⅱ）关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，所以a≠0，所以x1+x2=2a，Δ＝4+12a＞0，解得a＞−1 3，当−13＜a＜0时，1a＜−3，所以2a＜−6，x1+x2∈（﹣∞，﹣6）；当a＞0时，2a∈(0，+∞)，即x1+x2∈（0，+∞）．综上所述：x1+x2的范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（Ⅲ）函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3对称轴是x=1 a ，当a＜0时，f（x）在[3，+∞）上f（x）≥0不恒成立，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在[3，+∞）上f（x）≥0不成立，当1a ≤3时，即a≥13时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，要使在[3，+∞）上f（x）≥0恒成立，则f（3）＝9a﹣6﹣3≥0，解得a≥1，即a≥1；当1a ＞3时，即0＜a＜13时，f(x)min=f(1a)=1a−2a−3=−1a−3，要使f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则−1a −3≥0，解得a ≤−13，矛盾．综上所述，f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，+∞）．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ）A ．（1，3）B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4） 解：集合A ＝{x ||x |＜4}＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜1}，A ∩B ＝{x |﹣4＜x ＜1或3＜x ＜4}，故{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．故选：B ．20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由y x +x y +2=x 2+y 2+2xy xy =(x+y)2xy ，可得“y x +x y +2=1xy ”等价于“(x+y)2xy =1xy ”，即x +y＝±1．因此，由x +y ＝1可以得到y x +x y +2=1xy 成立，由y x +x y +2=1xy 不能推出x +y ＝1． 故“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的充分而不必要条件．故选：A ．21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解解：对于A ：当a ＝0时，由x 3+y 3＝0，得（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝0，解得y ＝﹣x ，∀x ∈Z ，（x ，﹣x ） 是方程x 3+y 3＝0的整数解，所以，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解为真命题，故A 正确；对于B ：当a ＝1时，方程x 3+y 3＝1，因为x 0∈Z ，y 0∈Z ，所以有且仅有（0，1）和（1，0）时方程x 3+y 3＝1成立，因此，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解为真命题，故B 正确．对于C ：当a ＝3时，由3＝1×3，3＝3×1，3＝（﹣3）×（﹣1），3＝（﹣1）×（﹣3），仅有这4种整数分解的方法，又x 2﹣xy +y 2≥0，所以{x +y =−1x 2−xy +y 2=−3，无解； 或{x +y =−3x 2−xy +y 2=−1，无解； 或{x +y =1x 2−xy +y 2=3，消去y 得3x 2﹣3x ﹣2＝0，解得x =3±√336，无整数解； 或{x +y =3x 2−xy +y 2=1，消去y 得3x 2﹣9x +8＝0，无解； 综上所述，方程x 3+y 3＝3无整数解，所以，∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解为假命题，故C 错误．对于D ：若关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 存在整数解（x 0，y 0 ）．由x 0∈Z ，y 0∈Z ，则a ∈Z ，∀a ≠0，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为a ＝b i c i （i ＝1，2，3，⋯，n ；b i ，c i ∈Z ），由x 3+y 3＝（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝a ，得{x +y =b i x 2−xy +y 2=c i，i ＝1，2，3，⋯，n ， 消去y 得3x 2﹣3b i x +b i 2−c i ＝0，i ＝1，2，3，⋯，n ，对于b i （i ＝1，2，3，⋯，n ）的每一个确定的值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解．所以，∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有2n 组整数解，故D 正确．故选：C ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为 2 ．解：在数轴上，设﹣1、1、x 所对应的点分别是A 、B 、P ，则函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和，可以分析到当P 在A 和B 之间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小．即：y ＝|x ﹣1|+|x +1|＝|P A |+|PB |≥|AB |＝2．故答案为：2．23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝ 2 ．解：∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，即∀x ∈[a ，a +1]，∃1x ∈[13，12]， 所以{1a =121a+1=13，解得a ＝2． 故答案为：2．24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为 12 ．解：因为（x 0，y 0）是方程组：{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，可得3y 0＝x 0﹣3， 所以|3y 0﹣1|＝|x 0﹣1﹣3|＝|x 0﹣4|，且（x 0﹣1）2+y 02=x 02−2x 0+1+3（1−x 024）=x 024−2x 0+4=14（x 0﹣4）2， 所以√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|=12|x 0−4||x 0−4|=12． 故答案为：12．25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增；②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1；④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．解：依题意，a ＞0，当x ＜﹣a 时，f （x ）＝x +2，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当﹣a ≤x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+a 2，开口向下，对称轴为y 轴，与x 轴交点为（﹣a ，0），（a ，0）， 其图象为抛物线y ＝﹣x 2+a 2 位于x 轴上方（含x 轴交点）部分；当x ＞a 时，f （x ）=−√x −1，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若a ＝2，则f （x ）的图像如下：由图像可知：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故①正确；对于②：当a≥1时，则有：若x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；若﹣a≤x≤a时，f（x）＝﹣x2+a2，显然取得最大值a2＞1；若x＞a时，f(x)=−√x−1＜−√a−1≤﹣2．综上所述：f（x）取得最大值a2，故②正确；对于③：当﹣a≤x1≤a时，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x1＝a时，y1＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，y2＝f（x2）＜−√a−1，此时|MN|＞y1﹣y2＞√a+1＞1；当x1＜a时，若0＜a＜2时，部分射线在x轴上方，此时|MN|＞√a+1＞1；若a≥2时，此时|MN|＞2a≥4；综上所述：|MN|＞1，故③正确；对于④：当x＜﹣a时，令x+2＝﹣x，解得x＝﹣1，可知此时y＝f（x）与y＝﹣x至多有1个交点；当﹣a≤x≤a时，由图象f（x）的图像可知：此时y＝f（x）与y＝﹣x有且仅有一个交点；当x＞a时，令−√x−1=−x，整理得x−√x−1=0，解得√x =1+√52或√x =⋅1−√52（舍去），所以x =3+√52， 可知此时y ＝f （x ）与y ＝﹣x 至多有一个交点；综上所述：y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象有三个公共点，可知，y ＝f （x ）与y ＝﹣x 在x ＜﹣a 和x ＞a 内均有一个交点，则{a ＞0−a ＞−1a ＜3+√52，解得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是（0，1），故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T ，给出如下定义：定义1：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠x ﹣y 时，{x +y ，x ﹣y }∩T ≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠|x ﹣y |时，{x +y ，|x ﹣y |}∩T ≠∅，则称T 为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b }是弱和差集，求A ；（Ⅲ）若强和差集B 的元素个数为12，且1∈B ，求满足条件的集合B 的个数．解：（Ⅰ）由题∀x ，y ∈{0，1}，根据强和差集定义，当x +y ≠x ﹣y 时，x 与y 的所有取值可能为{x =0y =1,，{x =1y =1，都满足{x +y ，x ﹣y }∩{0，1}≠∅， 所以{0，1}是强和差集．∀x ，y ∈{1，2}，根据弱和差集定义，当x +y ≠|x ﹣y |时，x 与y 的所有取值可能为{x =1y =1,，{x =1y =2,，{x =2y =2,，{x =2y =1， 其中{x =2y =2时不满足{x +y ，|x ﹣y |}∩{1，2}≠∅． 所以{1，2}不是弱和差集．（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b } 是弱和差集，则当{x =1y =1时，{x +y ，|x ﹣y |}＝{2，0}，由题意有{2，0}∩{1，a ，b }≠∅，若0∉{1，a ，b }，则2∈{1，a ，b }，当{x =2y =2时，{4，0}∩{1，a ，b }≠∅⇒4∈{1，a ，b }继续重复以上步骤8∈{1，a ，b }，显然矛盾．所以必有0∈{1，a ，b }，不妨a ＝0，则A ＝{1，0，b }，b ≠0，b ≠1．当{x =1y =b，有{1+b ，|1﹣b |}∩{1，0，b }≠∅， 若1+b ＝0⇒b ＝﹣1，此时A ＝{1，0，﹣1}为弱和差集．若|1−b|=b ⇒b =12，此时A ={1，0，12}为弱和差集．若|1﹣b |＝1⇒b ＝2，此时，A ＝{1，0，2}为弱和差集．所以A ＝{1，0，﹣1}或A ={1，0，12}或A ＝{1，0，2}．（Ⅲ）因为B 为强和差集且1∈B ，如果B 中有其它正数，设其最大值为m （m ＞1），根据强和差集定义得m +1∉B ，m ﹣1∈B ，1﹣m ∈B ，即集合B 有一定的对称性，当{x =m y =m 时，{2m ，0}∩B ≠∅，所以0∈B ．所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}与{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1∈B ，故满足条件的集合B 只有2 个．。

2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学满分150分 时间:120分钟第Ⅰ卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.(★)集合X={x ∈Z|-3<x<2},Y={y ∈Z|-1≤y ≤3},则X ∩Y=( ) A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.1集合. 考向 集合间的运算.分析 根据题意先分别化简集合X,Y,再由交集的定义求出X ∩Y.解析 ∵X={x ∈Z|-3<x<2}={-2,-1,0,1},Y={y ∈Z|-1≤y ≤3}={-1,0,1,2,3},∴X ∩Y={-1,0,1},故选B. 答案 B点评 本题考查集合的表示方法及集合的交集运算. 2.(★★)下列各组函数是同一函数的是( ) A.y=|x|x 与y=1 B.y=√(x -1)2与y=x-1 C.y=x 2x 与y=x D.y=x 3+xx 2+1与y=x关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示. 考向 同一函数的判断.解析 A 中,y=|x|x ={1,x >0,-1,x <0与y=1的定义域和对应关系都不同,故A 不符合题意.B 中,y=√(x -1)2=|x-1|={x -1,x ≥1,1−x,x <1与y=x-1的对应关系不同,故B 不符合题意.C 中,y=x 2x 的定义域为{x|x ≠0},y=x 的定义域为R,两个函数的定义域不同,故C 不符合题意. D 中,y=x 3+xx 2+1的定义域为R,且y=x 3+x x 2+1=x(x 2+1)x 2+1=x,与y=x 的定义域和对应关系都相同,是同一函数,故D 符合题意.故选D. 答案 D点评判断两个函数是不是同一函数可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数,若定义域相同,再分析对应关系,若对应关系相同,则为同一函数,若对应关系不同,则不是同一函数.3.(★★)下列函数中,在区间(0,2)上是增函数的是( )A.y=-x+1B.y=x2-4x+5C.y=√xD.y=1x关键点必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向利用函数单调性的定义判断函数的单调性.解析A中,y=-x+1是一次函数,在(0,2)上为减函数;B中,y=x2-4x+5是二次函数,其图象的对称轴是x=2,所以在(0,2)上为减函数;C中,y=√x=x 12是幂函数,在(0,2)上是增函数;D中,y=1x是反比例函数,在(0,2)上为减函数.故选C.答案 C点评要熟练掌握基本初等函数的单调性,一次函数单调性的判断:y=kx+b(k≠0).当k>0时,函数在R上为增函数,当k<0时,函数在R上为减函数.二次函数单调性的判断:y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,函数在(-∞,-b2a )上递减,在(-b2a,+∞)上递增,当a<0时,函数在(-∞,-b2a)上递增,在(-b2a,+∞)上递减.幂函数y=x a,当a>0时,函数在(0,+∞)上是增函数,当a<0时,在(0,+∞)上为减函数.4.(★★)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )A.对任意x∈R,都有x2<0B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x∈R,使得x2≥0D.存在x∈R,使得x2<0关键点选修2-1,第一章常用逻辑用法1.4全称量词与存在量词.考向全称量词命题的否定.分析根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可.解析全称量词命题的否定是先改变量词,再对结论进行否定,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x∈R,使得x2<0”,故选D.答案 D5.(★★)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f[f(13)]=( )A.-13B.13C.-23D.23关键点 必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示. 考向 分段函数的有关计算.分析 先根据函数的图象写出函数的解析式,再根据解析式由内向外求出函数值. 解析 由函数图象可得f(x)={x +1,−1<x <0,x -1,0<x <1,∴f (13)=13-1=-23,则f (-23)=-23+1=13,∴f [f (13)]=f (-23)=13.故选B. 答案 B点评 本题考查分段函数求值,首先通过图象求出函数解析式,再计算函数值. 6.(★★)已知a,b 是实数,则“a>b>0且c>d>0”是“a d >bc ”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件关键点 必修5第3章3.1不等式关系与不等式,选修2-1第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件.考向 考查不等式的性质和充分、必要条件的判断.解析 根据不等式的性质可知,由“a>b>0且c>d>0”可推出“a d >bc ”,但“ad >bc ”不能推出“a>b>0且c>d>0”,例如a=1,d=2,c=-3,b=4,满足“ad >bc ”,推不出“a>b>0且c>d>0”,所以是充分不必要条件,故选A. 答案 A7.(★★)下图是吴老师散步时离家距离y 与行走时间x 之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是( )关键点 必修1第一章集合与函数概念1.2函数表示法. 考向 本题考查了函数的概念及读图识图能力.分析 由所给图象可知,吴老师刚开始一段时间离家越来越远,然后有一段时间离家的距离不变,然后离家越来越近,结合图象逐项排除.解析 根据函数图象可知,吴老师离家越来越远,有一段时间离家距离不变,说明他走的是一段弧线,然后离家越来越近直至回家,分析四个选项可知只有D 符合,故选D. 答案 D点评 本题考查实际问题中对应函数图象问题,体现直观想象的数学素养.8.(★★)已知集合M={x ∈R|5-|2x-3|为正整数},则M 的所有非空真子集的个数是( ) A.30B.31C.510D.511关键点 必修1第一章集合与函数概念1.1集合. 考向 集合的表示方法以及真子集的概念.分析 根据5-|2x-3|为正整数可计算出集合M 中的元素,然后根据非空真子集个数的计算公式2n -2(n 是元素个数)计算出结果.解析 由5-|2x-3|为正整数可得|2x-3|的值为0,1,2,3,4,所以2x-3的值为0,±1,±2,±3,±4,共9个值,对应的x 为32,2,1,52,12,3,0,72,-12,共9个值.∴M={-12,0,12,1,32,2,52,3,72},有9个元素,所以M 的非空真子集的个数为29-2=510,故选C. 答案 C点评 本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数.一个集合中含有n 个元素,则集合的子集的个数为2n ;集合的真子集的个数为2n -1;非空真子集的个数为2n -2. 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请把结果填在答题纸上的相应位置) 9.(★)方程组{3x +y =2,2x -3y =27的解用列举法表示为 .关键点 必修1第一章集合与函数的概念1.1集合. 考向 二元一次方程组的解法及用列举法表示集合. 答案 {(3,-7)}解析 ∵{3x +y =2,2x -3y =27,∴{x =3,y =−7.∴用列举法表示为{(3,-7)}.10.(★★)已知函数f(x)={x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则方程f(x)=x 2的解为 .关键点 必修1第三章函数的应用3.1函数与方程. 考向 分段函数以及函数与方程的简单应用.分析 考虑x ≤0和x>0时f(x)=x 2的解,求出解后注意判断是否满足定义域的要求. 解析 当x ≤0时,f(x)=x+2,代入f(x)=x 2得x+2=x 2,即x 2-x-2=0,解得x=-1或x=2, ∵x=2不满足x ≤0,故舍去,此时方程的解为x=-1.当x>0时,f(x)=-x+2,代入f(x)=x 2得-x+2=x 2,即x 2+x-2=0,解得x=1或x=-2(舍).综上,原方程的解为{-1,1}. 答案 {-1,1}点评 本题考查函数与方程的简单应用,已知f(x)是分段函数,求方程f(x)=x 2的解时,可分段考虑,求出每一段符合要求的解,最后得出结果.11.(★★)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/吨,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总费用之和最小,则x 的值是 .关键点 必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用,必修5第三章不等式3.4基本不等式:√ab ≤a+b 2.考向 利用函数模型以及基本不等式解决实际问题并求出实际问题的最优解. 分析 列出一年的总费用与总存储费用之和的表达式,利用基本不等式即可得出. 解析 由题意可得,一年的总费用包括一年的总运费与总存储费用之和. ∴总费用=600x×6+4x=4(x +900x)≥4×2√900=240(万元),当且仅当x=900x,即x=30时等号成立,故答案为30.答案 30点评 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正,二定,三相等,否则会出现错误.12.(★★)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数,那么实数a 的取值范围是 .关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 二次函数单调性的应用. 答案 (-3,0)解析 函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为x=1-a.∵函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数, ∴1<1-a<4,解得-3<a<0.故答案为(-3,0).点评 判断二次函数的单调性,可以通过二次函数图象的开口方向以及对称轴来进行分析:图象开口向上,在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增;图象开口向下,在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.13.(★★★)几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)时给出了下面几个结论: ①函数f(x)的值域为(-1,1); ②若x 1≠x 2,则一定有f(x 1)≠f(x 2); ③f(x)在(0,+∞)上是增函数;④若规定f 1(x)=f(x),且对任意正整数n 都有:f n+1(x)=f(f n (x)),则f n (x)=x1+n|x|对任意n ∈N *成立.上述结论中正确结论的序号为 . 关键点 必修1集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用.分析 函数f(x)=x1+|x|满足f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,求当x ≥0时的值域,单调性即可判断出①②③是否正确,再利用归纳推理判断④是否正确. 解析 ∵f(x)=x 1+|x|满足f(-x)=-x 1+|−x|=-x1+|x|=-f(x), ∴函数f(x)=x1+|x|为奇函数.又∵x ≥0时,f(x)=x 1+x =1-11+x ∈[0,1), ∴函数f(x)的值域为(-1,1),故①正确.∵x ≥0,f(x)=x 1+x =1-11+x 在[0,+∞)上是单调递增函数,∴由奇函数的性质知,函数f(x)=x1+|x|在R 上是单调增函数,∴若x 1≠x 2则一定有f(x 1)≠f(x 2). f 2(x)=f(f 1(x))=x 1+|x|1+|x|1+|x|=x 1+2|x|,同理,可求得f 3(x)=x 1+3|x|,由归纳推理可得f n (x)=x1+n|x|对任意n∈N *成立,所以④正确.故答案为①②③④. 答案 ①②③④点评本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合应用,可以先判断函数的奇偶性,利用函数的奇偶性来简化有关求函数值域、单调性等问题.本题还考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.14.(★★★)函数f(x)=2x2-4x+1,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈[12,2],使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是.关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程. 考向函数的值域、函数与方程的综合问题.答案[-5,0]解析因为f(x)=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,所以当x1∈[12,2]时,f(x1)∈[-1,1].因为g(x)=2x+a,所以当x2∈[12,2]时,g(x2)∈[a+1,a+4].当[-1,1]∩[a+1,a+4]=⌀时,有a+1>1或a+4<-1,得a>0或a<-5.故当[-1,2]∩[a+1,a+4]≠⌀时,-5≤a≤0,故答案为[-5,0].点评本题考查根据函数值域的关系求解参数的取值范围.当两个函数的值域的交集不为空集时,若从正面分析参数的取值范围较复杂,可考虑交集为空集时对应参数的取值范围,再求其补集,从而得到所求结果,体现了“正难则反”的数学思想方法的应用.三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置)15.(★★)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.关键点必修1第一章集合与函数概念1.1集合.考向集合的运算以及一元二次不等式的解法.分析(1)当a=-4时,求出集合B,然后根据交集、并集的定义即可求出.(2)由(∁R A)∩B=B,可得B⊆∁RA,即可求解.解析(1)由题意得A={x|12≤x≤3}.当a=-4时,B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|12≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}.(2)由(1)得∁R A=x|x<12或x>3,由(∁RA)∩B=B,得B⊆∁RA.①当B=⌀,即a≥0时,满足B⊆∁RA.②当B≠⌀,即a<0时,B={x|-√-a<x<√-a},要使B⊆∁R A,需√-a≤12,解得-14≤a,又a<0,所以-14≤a<0.综上可得,实数a的取值范围是a|a≥−14.点评本题重点考查集合的交集、并集、补集的运算.需要注意的是在求解第(2)问时需分集合B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.体现了分类讨论数学思想的应用.16.(★★)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).(1)已知f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;(2)已知c=b2+2b+3,设x1,x2是关于x的方程f(x)=0的两根,且(x1+1)(x2+1)=8,求实数b的值;(3)已知f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.考向一元二次方程根与系数关系的应用,三个“二次”关系在解题中的应用.解析(1)因为f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},所以-1和1是方程x2+2bx+c=0的两根,则{-2b=−1+1,c=(−1)×1,所以b=0,c=-1.(2)∵c=b2+2b+3,∴f(x)=x2+2bx+b2+2b+3.由题意得x2+2bx+b2+2b+3=0,∴x1+x2=-2b,x1x2=b2+2b+3.∵(x1+1)(x2+1)=8,∴x1x2+(x1+x2)+1=8,∴b2+2b+3-2b+1=8,∴b2=4,∴b=±2.当b=-2时,f(x)=x2-4x+3,符合题意.当b=2时,f(x)=x2+4x+11,此时f(x)=0无解,所以不符合题意. 综上,b=-2.(3)因为f(1)=0,所以1+2b+c=0,所以c=-1-2b.记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-(b+1).∵g(x)=0的两根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,∴{g(-3)=5-7b >0,g(-2)=1-5b <0,g(0)=-(1+b)<0,g(1)=b +1>0,解得b ∈(15,57),则b 的取值范围是(15,57).点评 本题考查由一元二次不等式的解集求参数以及二次函数的零点分布问题. (1)一元二次不等式的解集的端点值对应一元二次方程的根. (2)一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数零点分布问题.(3)利用根与系数关系解决与一元二次方程根有关问题时,要注意前提条件是一元二次方程必须有根,所以需要对结果进行检验. 17.(★★)已知函数f(x)=x+4x . (1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)指出该函数在区间(0,2]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;(3)已知函数g(x)={f(x),x >0,5,x =0,-f(x),x <0,当x ∈[-1,t]时,g(x)的取值范围是[5,+∞).求实数t 的取值范围.(只需写出答案)关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质. 考向 函数的奇偶性,函数的单调性,分段函数性质的应用.分析 (1)先求函数的定义域,然后根据奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性. (2)利用单调性的定义,证明f(x)在(0,2]上的单调性即可. (3)作出g(x)的图象,根据图象求t 的取值范围.解析 (1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∵f(-x)=(-x)+4(-x)=-x-4x =-f(x), ∴f(x)是奇函数.(2)f(x)在(0,2]上单调递减. 证明:任取x 1,x 2∈(0,2]且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1+4x 1-(x 2+4x 2)=(x 1-x 2)+(4x 1-4x 2)=(x 1-x 2)+4(x 2-x 1)x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2. ∵0<x 1<x 2≤2,∴0<x 1x 2<4,x 1-x 2<0,∴x 1x 2-4<0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,2]上单调递减.(3)t∈[0,1].提示:∵f(x)=x+4x是“对勾函数”,∴作出g(x)的图象,如图.从图中可以得出当值域为[5,+∞)时,t∈[0,1].点评(1)判断函数的奇偶性时,首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则是非奇非偶函数,若对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,由此得到函数的奇偶性,有时也会利用变式来判断:奇函数需满足f(-x)+f(x)=0,偶函数需满足f(-x)-f(x)=0.(2)用定义法证明函数单调性的一般步骤:取值,作差,变形,判断符号,得结论.(3)要掌握对勾函数f(x)=x+ax(a>0)的单调性,增区间为(-∞,-√a),(√a,+∞),减区间为(-√a,0),(0,√a).第Ⅱ卷(共7道题,满分50分)四、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)18.(★★)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:x 1 2 3f(x) 2 1 3x 1 2 3g(x) 3 2 1则方程g[f(x)]=x+1的解为( )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}关键点必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示.考向函数的定义,复合函数的概念.分析把x=1、2、3分别代入方程g[f(x)]=x+1进行检验,若满足,则是方程的解,若不满足,则不是方程的解.解析当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1,∴x=1是方程的解.当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1,∴x=2是方程的解.当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1,∴x=3不是方程的解,故选C.答案 C点评本题考查根据函数的自变量与函数值的对应关系求方程的解,求形如f[g(x)]的复合函数值时,可先计算出内层函数g(x)的值,然后根据g(x)的值,计算外层函数f[g(x)]的值. 19.(★★)已知f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,且在(-4,0]上是增函数,若f(a)<f(3),则实数a的取值范围是( )A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-4,-3)D.(-4,-3)∪(3,4)关键点必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向函数单调性,奇偶性的综合应用.分析由函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,可得f(-x)=f(x)=f(|x|),再结合f(x)的单调性,即可求得实数a的取值范围.解析∵f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),∴f(a)<f(3)可化为f(|a|)<f(3),又∵f(x)在(-4,0]上是增函数,∴{|a|>3,-4<a<4,解得-4<a<-3或3<a<4,∴a的取值范围是(-4,-3)∪(3,4).故选D.答案 D点评本题考查根据函数的单调性,奇偶性求解参数的范围,利用f(-x)=f(x)=f(|x|)的转化可避免对参数的讨论.20.(★★★)已知函数f(x)=x2-2ax+5在x∈[1,3]上有零点,则正数a的所有可能的值的集合为( )A.[73,3] B.[√5,+∞) D.[√5,3] D.(0,√5]关键点必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.考向与二次函数零点有关的分类讨论问题.分析考虑函数f(x)在区间[1,3]上有一个零点,有两个零点进行讨论.即可解出正数a的所有可能的值的集合.解析①当f(x)在R上仅有一个零点时,Δ=4a2-20=0(a>0),∴a=√5,此时零点x=√5∈[1,3],所以a=√5成立.②当f(x)在R上有两个零点时,其中有一个零点在[1,3]上,此时f(1)·f(3)≤0,即(6-2a)(14-6a)≤0,解得73≤a≤3.当f(x)在[1,3]上有两个零点时,需满足条件{Δ=4a2-20>0,1<a<3,f(1)=6-2a≥0,f(3)=14-6a≥0,解得√5<a≤73.综上所述,正数a的取值集合为[√5,3].故选C.答案 C点评二次函数零点分布的问题一般从判别式,图象的对称轴位置,区间端点函数值等方面来考虑.五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)21.(★★)已知函数f(x)=√1−x+√x+3,则函数f(x)的最大值为,函数f(x)的最小值为.关键点必修1第一章集合函数概念1.3函数的基本性质.考向求函数的最值.答案2√2;2解析[f(x)]2=(√1−x+√x+3)2=4+2√4−(x+1)2,x∈[-3,1].当x=-1时,[f(x)]2取得最大值8,所以f(x)max=2√2.当x=-3或1时,[f(x)]2取得最小值4,所以f(x)min=2.点评本题考查含根式函数的取值,一般有两种题型:若只有一个根式,则可考虑使用换元法求解函数的值域或最值;若是多个根式,则可考虑函数本身的特点,通过平方、配凑等方法处理、转化为易求出最值或值域的函数.22.(★★★)关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数为f(t).(1)若g(x)=x+1,则f(t)= ;(2)已知g(x)={x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R).若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是.关键点必修1第三章函数的应用,3.1函数与方程.考向函数的定义,函数与方程的综合应用.答案1;(1,+∞)解析(1)因为g(x)=x+1,所以函数g(x)的值域为R,且函数g(x)为单调函数,故方程g(x)=t 有且只有一个根,故f(t)=1.(2)g(x)={x,x≤0,-x2+2ax+a(a∈R),x>0.当t≤0时,利用图象分析可知,f(t)=1.当a≤0时,g(x)的图象如图:此时f(t+2)≤f(t),∴不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立. 当a>0时,g(x)的图象如图:此时存在t,使得f(t+2)>f(t)成立.则x>0时,函数的最大值大于2,即-4a-4a 2-4>2,解得a>1.当t>0时,若a≤0,则不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立. 若a>0,g(x)的图象如图.若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数的最大值大于2,即-4a -4a 2-4>2,解得a>1.综上,a ∈(1,+∞).23.(★★★)对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在区间[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x ∈[a,b]的值域是[a,b].则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间.(1)写出函数y=x 2的一个“保值”区间: ;(2)若函数y=x 2+m(m ≠0)存在“保值”区间,则实数m 的取值范围为 . 关键点 必修1集合与函数的概念1.3函数的基本性质子.考向 函数的值域,单调性及新定义问题.答案 [0,1];[-1,-34)∪(0,14)分析 (1)由条件可知f(x)在区间[a,b]上是单调函数,根据y=x 2的值域是[0,+∞),可得[a,b]⊆[0,+∞),从而y=x 2在区间[a,b]上单调递增,由此得{f(a)=a,f(b)=b,从而解出a,b 的值,得出结果. (2)根据已知中“保值”区间的定义,分函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递增和函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递减两种情况讨论,即可得出m 的取值范围.解析 (1)∵函数y=x 2的值域是[0,+∞)且y=x 2在[a,b]的值域是[a,b],∴[a,b]⊆[0,+∞),∴a ≥0,从而函数y=x 2在区间[a,b]上单调递增,∴{a 2=a,b 2=b,解得{a =0,b =1,∴函数y=x 2的一个“保值”区间为[0,1].(2)若a<b ≤0,则y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递减.∴{a 2+m =b,b 2+m =a,消去m 得a 2-b 2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0. ∵a<b,∴a+b+1=0,即a=-b-1,∴{b ≤0,-b -1<b,解得-12<b ≤0.∴m=-b 2+a=-b 2-b-1=-(b +12)2-34∈[-1,-34). 若b>a ≥0,则函数y=x 2+m 在区间[a,b]上单调递增,∴{a 2+m =a,b 2+m =b,消去m 得a 2-b 2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0. ∵a<b,∴a+b-1=0,即b=1-a,∴{a ≥0,1−a >a,解得0≤a<12, ∴m=-a 2+a=-(a -12)2+14∈[0,14).又∵m ≠0,∴m ∈(0,14). 综上,可知m 的取值范围是[-1,-34)∪(0,14).故答案为[0,1];[-1,-34)∪(0,14).点评 本题考查新定义背景下的二次函数的定义域,值域与单调性的综合问题.解决此题的关键是将新定义与已学知识产生联系,运用所学知识解决问题.本题中的“保值”区间实际就是定义域,值域以及函数单调性的结合.六、解答题(本大题共1小题,满分14分,解答应写出文字说明过程或演算步骤)24.(★★★)已知x 为实数,用[x]表示不超过x 的最大整数.(1)若函数f(x)=[x],求f(1.2),f(-1.2)的值;(2)若函数f(x)=[x+12]-[x 2](x ∈R),求f(x)的值域; (3)若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f(m)=f([m]),则称函数f(x)是Ω函数,若函数f(x)=x+a x 是Ω函数,求a 的取值范围.关键点 必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.考向 函数的值域,单调性等以及新定义的应用.解析 (1)∵[x]表示不超过x 的最大整数,f(x)=[x],∴f(1.2)=[1.2]=1,f(-1.2)=[-1.2]=-2.(2)∵[x+12]=[x 2]或[x+12]=x 2+1, ∴f(x)=[x+12]-[x2](x ∈R)的值域为{0,1}.(3)当a=0时,f(x)=x,显然f(x)不是Ω函数.当a<0时,f(x)=x+ax 是一个增函数,在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增.此时不存在m<0,使得f(m)=f([m]),同理不存在m>0,使得f(m)=f([m]).又∵m[m]≥0,即不会出现[m]<0<m 的情况,∴f(x)=x+ax不是Ω函数.当a>0时,假设f(m)=f([m]),∴m+am =[m]+a[m],∴a=m[m],其中[m]≠0.当m>0时,∵[m]<m<[m]+1,∴[m2]<m[m]<([m]+1)[m],∴[m]2<a<([m]+1)[m].当m<0时,[m]<0,∵[m]<m<[m]+1,∴[m2]>m[m]>([m]+1)[m],∴[m]2>a>([m]+1)[m].记k=[m].综上可以得到:a>0且对任意k∈N*,a≠k2且a≠k(k+1).点评本题考查新定义背景下的取整函数问题,主要考查学生的运算和推理能力,取整函数是一个比较常考的函数,实际上可以看作是一个分段函数,其图象的每一段都是平行于x轴的,本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.。

2019北京人大附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M＝{m∈Z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N＝（ ）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）A．与y＝1 B．与y＝x﹣1C．与y＝x D．与y＝x3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ）A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．D．4．（5分）命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为（ ）A．对任意a∈R，都有a2＜0 B．对任意a∈R，都有a2＜0C．存在a∈R，使得a2≥0 D．存在a∉R，使得a2＜05．（5分）已知函数f（x）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f（）]＝（ ）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）已知a，b是实数，则“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）．B．C．D．分）方程组的解集用列举法表示为　分）已知函数，则方程分）几位同学在研究函数（，则对任意，若存在，使得分）已知函数．）已知函数，当．．．．数，）若（）若函数，求函数，若函数是2019北京人大附中高一（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【分析】由题意知集合M＝{m∈z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．【分析】直接利用同一函数的定义的应用求出结果．【解答】解：针对选项A：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用，属于基础题．3．【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y＝在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．【分析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】解：由图象知f（x）＝∴f＝﹣1＝﹣，∴＝＝﹣+1＝．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及分段函数的解析式和函数单调性的判断，属于基础题．6．【分析】直接利用不等式的性质和简易逻辑中的四个条件的应用求出结果．【解答】解：当c＜d＜0，所以，故，由于a＞b＞0，所以，故．但是，整理得，整理不出a＞b＞0且c＜d＜0．故“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．8．【分析】直接利用集合的定义和真子集的关系式的关系式运算的应用求出结果．【解答】解：集合M＝{x∈R|5﹣|2x﹣3|为正整数}，故5﹣|2x﹣3|＞0，整理得|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，解得﹣1＜x＜4，由于集合M为正整数，所以M＝{﹣，0，，1，，2，，3，}，故集合M的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：集合元素在不等式的解法中的应用，主要考查学生对集合的定义的理解，属于基础题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．【分析】直接接二元一次方程组求出结果，再转换解集的形式．【解答】解：整理得，解得，转换为列举法为{（3，﹣7）}．故答案为：{（3，﹣7）}．【点评】本题考查的知识要点：二元一次方程组的解法和应用，针对性的考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题．10．【分析】直接利用分段函数的解析式，进一步解一元二次方程求出结果．【解答】解：根据函数的解析式，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．【点评】本题考查的知识要点：分段函数的解析式的应用，一元二次方程的解法的应用，针对性的考查学生对分类讨论思想问题的应用，属于基础题型．11．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x≥4×2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】首先求出函数的对称轴，进一步利用对称轴和区间的关系求出a的范围．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，函数的对称轴和区间的关系的应用，考查学生对函数的图象的理解问题和应用，属于基础题型．13．【分析】①因为|x|＜1+|x|，所以由绝对值不等式得，函数值域（﹣1，1）．②f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，进而可得出正确．③理由同上．④由数学归纳法得证．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）＝，f2（x）＝，当n＝k时，f k（x）＝成立，当n＝k+1时，f k+1（x）＝成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题，属于中档题．14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1；∴当≤x≤2时，当x＝1时，f（x）有最小值﹣1；当x＝2时，f（x）有最大值1；即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]；当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故答案为：[﹣5，0]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【分析】（1）推导出A＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B，A∪B．（2）先求出∁R A，由（∁R A）∩B＝B，得到B⊆∁R A，从而A∩B＝∅，由B＝∅，求出a≥0，由B≠∅，求出﹣≤a＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}．当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，即A∩B＝∅．①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，a的取值范围为a≥﹣．【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集定义的合理运用．16．【分析】（1）﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根，由韦达定理或直接代入可得解；（2）将（x1+1）（x2+1）＝8展开x1x2+x1+x2＝7，将方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的韦达定理代入，可得解；（3）利用二次方程的根的分布条件可得解；【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根；所以，解之得：b＝0，c＝﹣1；（2）因为c＝b2+2b+3，f（x）＝x2+2bx+c＝0，所以x2+2bx+b2+2b+3＝0因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的两根，所以△＝4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0即；所以，因为（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+x1+x2＝7，所以﹣2b+b2+2b+3＝7；所以b2＝4，所以b＝2或b＝﹣2，因为，所以b＝﹣2；（3）因为f（1）＝0，所以c＝﹣1﹣2b设g（x）＝f（x）+x+b＝x2+（2b+1）x﹣b﹣1，则有解得，故b的取值范围为；【点评】本题考查三个二次之间的关系，利用韦达定理整体代入的处理方法，考查了二次方程根的分布问题，属于中档题．17．【分析】（1）利用奇偶函数判断方法判断；（2）利用减函数的定义判断即可；（3）根据分段函数写出结论．【解答】解：（1）因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数的定义域关于原点对称，因为，所以f（x）是奇函数．（2）函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x1，x2∈（0，2]，且0＜x1＜x2≤2，，因为0＜x1＜x2≤2，所以2≥x2＞0，2＞x1＞0，所以4＞x1x2，所以x1x2﹣4＜0，又因x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．【点评】考查判断函数的奇偶性，函数单调性的证明，和分段函数的应用，中档题．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【分析】根据函数定义域和值域关系，分别进行讨论求解即可．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．【点评】本题主要考查方程的求解，结合函数的定义域和值域的关系，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，比较基础．19．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得f（a）＜f（3）⇒|a|＞3，解可得a的取值范围，结合函数的定义域即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数的定义域，属于基础题．20．【分析】利用参数分离法分离出2a，求出y＝x+的值域，即可得到解．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得，当且仅当x＝成立，又y＝x+，y（1）＝6，y（3）＝，所以y∈[，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[，6]，a∈[，3]，故选：C．【点评】考查函数的零点问题，用了参数分离法，对勾函数求值域，中档题．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【分析】先求出函数定义域，利用基本不等式求出最大值，因为f（x）≥0，f（x）＝0为最小，求出即可．【解答】解：的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式，得，当1﹣x＝x+3，即x＝﹣1时，成立，当x＝﹣3，1时f（x）＝0，故答案为：；﹣3，1．【点评】考查求函数的定义域，函数最值，利用了基本不等式，中档题．22．【分析】（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，直接求解可得；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多，对第二段函数的对称轴进行讨论，结合函数图象得到答案【解答】解：（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，则方程g（x）＝t只有一个解，所以f（t）＝1；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立；即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a≤0 时，作出函数g（x）的图象；显然不满足方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a＞0时，作出函数g（x）的图象；要存在t，使得方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即，解得a＞1；故答案为：1，（1，+∞）．【点评】本题考查对新定义的理解与等价转化，考查函数的单调性，方程的根的个数和数形结合的思想，属于中档题．23．【分析】（1）由“保值”区间的定义直接写出即可；（2）根据题意，按[a，b]⊆（0，+∞），[a，b]⊆（﹣∞，0），a＝0及b＝0四种情况讨论即可．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y＝x2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f（x）＝x2+m（m≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a，b]⊆（0，+∞）时，则，即方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的正根，则，解得；②当[a，b]⊆（﹣∞，0）时，则，则a+b＝﹣1，则，即方程x2+x+m+1＝0有两个不相等的负根，则，解得；③当a＝0时，此时f（0）＝0，则m＝0，与题设矛盾；④当b＝0时，则，即m2+m＝0，解得m＝﹣1或m＝0（舍去）；综上，实数m的取值范围为．故答案为：[0，1]；．【点评】本题考查函数中的新定义问题，解决本题的关键是把问题转化为一元二次方程中根与系数的关系问题，进而建立不等式组得解，本题属于中档题．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【分析】（1）直接考察数据的取整问题，直接求出结果．（2）利用函数的取整问题的应用，进一步求出函数的值域．（2）利用函数f（x）是Ω函数和函数的取整，进一步进行讨论，最后求出参数的范围．【解答】解：（1）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，所以f（1.2）＝1，f（﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为，所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t，使得，此时，f（x）＝0；（2）存在整数t，使得，此时，f（x）＝1．综上，f（x）的值域为{0，1}．（3）当函数是Ω函数时，若a＝0，则f（x）＝x显然不是Ω函数，矛盾．若a＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，同理可证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m∈（﹣∞，0），使得f（m）＝f（[m]），同理不存在m∈（0，∞），使得f（m）＝f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时不是Ω函数．当a＞0时，设f（m）＝f（[m]），所以，所以有a＝m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜[m]（[m]+1），所以[m]2＜a＜[m]（[m]+1）．。