极限与连续填空题

一、填空题1.212x y x x -=+-有个间断点 2.()y f x =在0x 点连续，则0lim ()x x f x →= 3．设2(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =5．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =6．2352limsin 53n n n n→∞++= 7．极限12sin lim 2+∞→x xx x = .8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x fx x =______9. =→xxx 5sin lim 0___________； 10. =-∞→nn n)21(lim _________________； 11. 若函数23122+--=x x x y ，有几个间断点_________12. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是13符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合14. 无穷小量是 15、21lim(1)xx x→∞-=16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =18、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+=19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。

20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是 。

21．若()xx f -=11，则()[]=x f f 22．函数1+=x ey 的反函数为 。

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

第二章 函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解 （1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().k n ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10k n ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就 恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解 因为0.999,lim 1, 0.0001,nn n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证 因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解 由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明 ：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有232εx x +-<故由极限定义知 23lim2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20xx ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2 →4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解 因为当x →-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式| x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解 因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可 即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故 不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解 因为--2020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证 因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim limx xx x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k k k ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2)lim 2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x nx x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim=.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=22200022200()2lim lim(2)2.(1 (7) lim1(1) lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h x x →→→→→→→→+-+==+==-+=-+=-=4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-=解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则11201122210109102910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim 11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++291011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线：3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21xx x y y x x x x x y y x --==+---==-解 332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为 所以是铅垂渐近线 因为 所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为 且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2(lim lim (2)(1)222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-+==∞-+----==∞----=-===∞因为 所以是水平渐近线 又因为 且所以是铅垂渐近线因为 且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为 所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且 所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠-求的值解 2200012000limx x x x b x a →+++-=-由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111(1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n nn n n n n ≤++++≤+++因为 222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin1,n n n nn n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤≤且 所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim.2tan 22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：2123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x xx x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim () lim (1) .x x x x x x x x x x x e x e x x ---→→→→∞→∞=-=-=+=+=2223113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解 （1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时,xy e -=是无穷大量. 又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,x y e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0limln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解 因为01lim2x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e xx x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解 （1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且 所以311()242f x x =-+. 4．证明： 当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解 （1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解 （1）因为当0x →时，sin 33,sin ,tan 5522x xx x x x所以 00sin 336limlim 5sin tan 5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时 所以sin 201sin 1limlim22xx x ex xx →→-==.（3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+--时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x →时所以x x →→=20021)1)lim lim 41x x x x x x →→===++.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x →时 所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x →时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==.（7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当3433,2n n n n n →∞--limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解 因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x xx +-+∞→解 0x →(1)x→=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x xx x x x →-+当时所以2201sin cos limlim ln(1tan )2x x x x xx x →→+-=+2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xx a a b bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x xx ++111sin ln(1)ln(1)x xx ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 xy +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解 因为()()y f x x fx ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆== 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆=-==+=且所以 在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在 时且所以 不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以 在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义() 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =.又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x xf x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且 所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点. 4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩（函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解 因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a bf x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解 因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上(),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0， 即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++<, 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证 因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C nξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证 设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0. 即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若31169x x→=--,则f (x) = ( ) .①x+1 ②x+5③(5) 方程x4–x– 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .①(0,1/2) ②(1/2, 1)③(2, 3) ④(1, 2)(6)函数10()lnxf xx-=+的连续区间是( ) .①(0, 5) ②(0, 1)③(1, 5) ④(0, 1)∪(1,5)解（1）①;（2）③;（3）④;（4）③; （5）②;（6）④.2.计算题：3sin()3(1) lim (2)lim12cos sin(3) 12(1)](4) lim0)x xxxnxaxe ex xn naαβππ+→→→∞→---++-+++->2300cot222tan sin(5)lim (6)limsin11(7)lim(cos) (8) lim(1)4(9)lim1x xx n x nxxx xxxn nxx→→→→∞→∞-++⎛⎫-⎪⎪-⎝⎭(10)lim[ln ln(2)]nn n n→∞-+解333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim112cos2(cos)2(cos cos)23x x xx x xx x xπππππππ→→→---=---33001112sin()cos()cos()1232323lim lim11124sin()sin()sin()232323(1)(1)(2) lim limsin sin0,1,1,sinx xx x x xx xx xx x xx x xe e e ex xx e x e x x xππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→--因为当时所00lim lim.sinx xx xe e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3) 12(1)]1lim2limnn nnn n→∞→∞++-+++-====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x axax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以 即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解 由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解 因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3tan 3lim 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证 由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-< 故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解 依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1） （1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2） （2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3） （3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4） 连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50nn n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证 设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。

极限练习(基础题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章 极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=，则 )(x f 必在 0x 点连续； （ ）2. 当0x →时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小； （ ）3. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= ；（ ）4. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； （ ） 5. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； （ ） 6.()sin f x x = 是一个无穷小量； （ ）7. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； （ ） 8. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义； （ ）9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（ ）10. 21sin lim0=+→x x x x ； （ ）11. 01lim sin 1x x x→= ； （ ）12. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；（ ）13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；（ ）14. 当0x +→x ；（ ）15. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；（ ）16. sin lim 1x xx→∞= ；（ ）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（ ）18. ln(1)x +~x ； （ ） 19. 1lim sin1x x x→∞= ；（ ） 20. 0tan lim1x xx→= . （ ）二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x （ ） A ．1 B ．0 C ．∞D ．312、 hx h x 220h )(lim -+→ =( )。

第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与x y =相同；（ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。

（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ；3.122+=x xy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(xx +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ；5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成；6.1)(2+=x x f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。

三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sinB 、13+xC 、x x +3D 、x x -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性(1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xxx f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程(1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y (3)212x y -= (4))3lg(x y -=6.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。

函数单元测试（A ）一、填充题:1、设的定义域为[]1,0,则)2(+x f 的定义域是_＿_______＿__＿___。

2、1sin )(,)(2+==x x q x x f ,则[]=)(x q f _＿＿＿____,()[]=x f q _＿__＿＿__＿_。

3、设()2212++=+x x x f ,则()=x f ________＿__＿_。

４、()_________)2(_________,)4(,1 ,01,sin =-=⎪⎩⎪⎨⎧≥=ππf f x x x x f 。

５、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数,则函数()x f 在()0,∞-上必是__＿＿____＿＿＿_函数。

6、设x v v u u y arccos , 1 ,3=+==，则复合函数()_____________==x f y 。

７、______________,cos sin )(22其周期为设函数x x x f -=。

二、选择题：1、函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则)4(πf 等于（ )（A ）)41ln(π+ (B)22 （C ）2π (Ｄ）4π2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f ( )(A)2x e （B ）x e 2 (C)2x x （Ｄ）x e3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2x f 的定义域是( ）（Ａ）[-1,1］ （B ）[0,1] (C)［-1，0] （D ）（- ∞，+∞）4、函数()x x x f -+=1010是( ）ﻩ(A)奇函数 (B ）偶函数(C)非奇非偶函 (D)既是奇函数又是偶函数５、函数()[]213arcsin +=x y 的复合过程是（ ）()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A6、34x y -=的反函数是（ )()()33334(D)4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-=7、下列函数中为基本初等函数的是( )123)()( )15arctan()()(0,10,0)()( 1)ln()()(-=+=⎩⎨⎧≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A三、判断题:1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。

第1章.函数.极限和连续（约20%）1.函数（1）．理解函数的概念,会求函数的定义域.表达式及函数值,会作出1些简单的分段函数图像。

定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述4项时,要求使各部分都成立的交集例1.　求的定义域：（1）（2）（3）【提升】例2. 当是函数的定义域,求的定义域。

例3.当是函数的定义域,求的定义域。

表达式.函数值例4.下列各对函数中,两个函数相等的是———————————（　） A．与B．与C．与D．与例5.（1）设,则=______________（2）设,则=______________奇偶性例1．讨论函数的奇偶性。

（1）（2）例2．设是定义在上的任意函数,试证（1）是偶函数。

（2）是奇函数。

【综合】.设函数的定义域是全体实数,则函数是———（　）　A．单调减函数　B．偶函数C．有界函数 D．周期函数求反函数例1.（1）（2）3角函数3角函数有正弦函数.余弦函数.正切函数.余切函数.正割函数和余割函数。

其中正弦.余弦.正切和余切函数的图形见图1-4。

2.极限（1）．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义),能依据极限概念描述函数的变化趋势。

理解函数在1点处极限存在的充分必要款件,会求函数在1点处的左极限与右极限。

性质3（数列极限几个常用的结论）：1.（）。

2.（）．例.计算极限（1）（2）（3）(4) (5) (6)(7) (8) (9)（3）．理解无穷小量.无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质,无穷小量与无穷大量的关系。

会比较无穷小量的阶(高阶.低阶.同阶和等价)。

会运用等价无穷小量替换求极限。

无穷小量的阶的比较（以下讨论的和都是自变量在同1变化过程中的无穷小,且,而也是在这个变化过程中的极限）：（1）若,则称是比高阶的无穷小量,记作（时）,也称是比低阶的无穷小量。

（2）若（）,则称与为同阶无穷小量。

（3）若,则称与是等价无穷小量,记作或．（4）．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则),掌握两个重要极限：,,并能用这两个重要极限求函数的极限。

2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。

（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。

专升本高等数学(二)-极限和连续(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：20.00)1.下列各组函数中，两个函数相同的是______A． B．f(x)=x，C．f(x)=ln｜x｜，g(x)=lnx D．f(x)=1nx3，g(x)=3lnx（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 选项A中，D(f)=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，D(g)=(-∞，+∞)，定义域不相同；选项B中，f(x)=x，g(x)=[*]=｜x｜，对应规律不相同；选项C中，D(f)=(-∞，0)∪(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，定义域不相同；选项D中，D(f)=(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，且lnx3=3lnx，即两个函数的定义域相同且对应规律相同，为相同函数.2.______∙ A.(0，5]∙ B.(1，5]∙ C.(1，5)∙ D.(1，+∞)（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 使函数解析式有意义，自变量x应满足 [*]解得1＜x≤5，即D(f)=(1，5].3.下列函数为奇函数的是______A．y=x4+x-2 B．y=tax+C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据函数的奇偶性的定义，应选D.4.已知f(x)是(-∞，+∞)上的单调增加函数，则F(x)=e-f(x)是______∙ A.单调增加∙ B.单调减少∙ C.不单调但有界∙ D.不单调但无界（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少，则F(x)=e-f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少.5.函数的反函数是______A．y=3log2x+1 B．y=3log2(x+1)C．y=log23x+1 D．y=log+1（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由[*]，得x=log23y+1，即y=log23x+1.6.函数y=cos3(5x+2)的复合过程是______∙ A.y=cos3u，u=5x+2∙ B.y=u3，u=cos(5x+2)∙ C.y=u3，u=cosv，v=5x+2∙ D.y=cosu3，u=5x+2（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y=u3，u=cosv，v=5x+2.7.当x→0时，sin(2x+x)与x比较是______∙ A.较高价的无穷小量∙ B.较低价的无穷小量∙ C.等价的无穷小量∙ D.同阶无穷小量（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为[*]所以当x→0时，sin(2x+x2)与x比较是同阶无穷小量．8.等于______ A．0 B．1 D．5（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限[*]．9.等于______ A．0 B．1 D．2（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 注意到当x→∞时，[*]不存在，但｜sin2x｜≤1，即sin2x是一个有界变量，而当x→∞时，[*]，根据无穷小量的性质：“有界变量乘无穷小量仍为无穷小量”，则有 [*]．10.下列极限中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项A，[*]；选项B，[*]；选项C,[*]；选项D，[*](有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量)．11.等于______ A．0 B． C．1（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 将分母分解因式后，再运用极限的四则运算法则及重要极限Ⅰ，求极限． [*] 另解：(等价无穷小量代换)当x→2时，sin(x-2)～x-2，则 [*]．______∙ A.e2∙ B.e∙ C.e-1∙ D.e-2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：有[*]13.下列各式中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：[*]．14.∙ A.-1∙ B.0∙ C.1∙ D.不存在（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.15.在x=0处连续，则a=______∙ A.-1∙ B.1∙ C.2∙ D.3（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]，因为[*]f(x)=f(0)，所以a=3．16.下列函数中在点x=0处不连续的是______ A． B． C． D （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A中，f(0)=0，[*]f(x)在点x=0处不连续；选项B中，f(0)=0，[*]，f(x)在点x=0处连续；选项C中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续；选项D中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续．17.______∙ A.1∙ B.0∙ C.3∙ D.2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f(x)的间断点为x=-1，x=1．18.函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是______∙ A.(-∞，-2)∙ B.(-2，2)∙ C.(2，+∞)∙ D.[-2，2]（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由4-x2＞0，解得-2＜x＜2，函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是(-2，2)．19.x=1处______∙ A.有定义∙ B.无定义且无极限∙ C.有极限但不连续∙ D.连续（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 函数f(x)点x=1处无定义． [*] 所以函数f(x)点x=1处有极限但不连续．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：18，分数：20.00)20.设f(x)=3x+5，则f[f(x)-2]= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：9x+14）解析：f[f(x)-2]=3[f(x)-2]+5=3[3x+5-2]+5=9x+14.21.设，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：由[*]，得[*] 所以[*]22.设f(x+1)=x2-3x+4，则f(x)=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2-5x+8）解析：令x+1=t，则x=t-1，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+4=t2-5t+8.即f(x)=x2-5x+8.23.f(0)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当x≤0时，f(x)=cosx，则f(0)=cos0=1.24.当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当｜x｜≤1时，f(x)=1，则f[f(x)]=f(1)=1；当｜x｜＞1时，f(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=1. 综上所述，当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=1．25.y=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln(x2+1)(x≥0)）解析：由[*]，解得x=ln(y2+1)(y≥0)，所以[*]的反函数为y=ln(x2+1)(x≥0)．26.设f(x)=e x，g(x)=cosx，则f[g(x)]= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：f[g(x)]=e cosx.）解析：27.设y=lnu，u=cosv，v=x2+x+1，则复合函数y=f(x)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln cosv=ln cos(x2+x+1)．）解析：（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-2）解析：[*]33.设，（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[*] 因为f(0-0)=f(0+0)=1，所以[*]34.x=1处连续，则常数a=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：f(1)=a，f(1-0)=[*] 因为函数f(x)在x=1处连续，所以f(1-0)=f(1+0)=f(0)，因此a=3．35.x=0处连续，则常数k=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：f(0)=2，f(0-0)=[*] f(0+0)=[*] 因为函数f(x)在x=0处连续，则有f(0-0)=f(0+0)=f(0)，所以k=2．36.x=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：已知函数为分式函数，当x=3时，函数无定义．所以函数[*]的间断点为x=3．37.x=0处______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：连续）解析：f(0)e0-1=0，f(0-0)=[*]f(0+0)=[*]，因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，所以函数[*]在点x=0处连续.三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：60.00)求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先对数列用拆项法求前n项之和，再求极限． [*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题为∞-∞型未定式的极限，要用有理化的方法进行恒等变形后再求极限． [*])解析：求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列极限．（分数：12.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4). 3.00）正确答案：(解法Ⅰ[*] 解法Ⅱ[*])解析：(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.)解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)=f(0+0)=2，所以[*])解析：求解下列极限的反问题．（分数：24.00）(1).k的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2-2x+k)=32-2×2+k=0，解得k=-3.)解析：(2).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2+ax+6)=1+a+6=0，解得a=-7)解析：(3).a，b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x2+ax+b=(x-2)(x+m)=x2+(m-2)x-2m，得a=m-2，b=-2m，又[*]解得m=6，于是有a=4，b=-12．)解析：(4).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(此极限为∞-∞型未定式应转化为[*]型未定式，再求解．[*][*](-x2-x+a)=-1-1+a=0，解得a=2.)解析：(5).b的值，使f(x)在点x=1处连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于f(1)=2，且有[*] 依题意f(x)在点x=1处连续，则必有[*] 于是1+b=2，解得b=1．即当b=1时，f(x)在点x=1处连续．)解析：(6).k的值，使f(x)在其定义域上连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)．因为当x＜0时，[*]连续，当x＞0时，f(x)=x2-2x+3k连续，为使f(x)在其定义域上连续，则必使f(x)在点x=0处连续．[*]因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)，于是3k=2，得[*]即当[*]时，f(x)在其定义域上连续．)解析：(7).证明方程x5+5x-1=0至少有一个正根．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=x5+5x-1，则f(x)=x5+5x-1在区间[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=15+5-1=5＞0．根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=ζ5+5ζ-1=0．即方程x5+5x-1=0在区间(0，1)内至少有一个实根．亦即方程x5+5x-1=0至少有一个正根．)解析：(8).证明方程1+x+sinx=0 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=1+x+sinx，则f(x)=1+x+sinx；在区间[*]上连续， [*] 根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈[*]，使得 f(ζ)=1+ζ+sinζ=0．即方程1+x+sinx=0在区间[*]内至少有一个根．)解析：。

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。