函数极限与连续习题及复习资料

第二章 函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解 （1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().k n ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10k n ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就 恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解 因为0.999,lim 1, 0.0001,nn n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证 因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解 由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明 ：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有232εx x +-<故由极限定义知 23lim2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20xx ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2 →4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解 因为当x →-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式| x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解 因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可 即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故 不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解 因为--2020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证 因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim limx xx x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k k k ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2)lim 2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x nx x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim=.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=22200022200()2lim lim(2)2.(1 (7) lim1(1) lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h x x →→→→→→→→+-+==+==-+=-+=-=4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-=解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则11201122210109102910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim 11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++291011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线：3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21xx x y y x x x x x y y x --==+---==-解 332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为 所以是铅垂渐近线 因为 所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为 且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2(lim lim (2)(1)222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-+==∞-+----==∞----=-===∞因为 所以是水平渐近线 又因为 且所以是铅垂渐近线因为 且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为 所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且 所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠-求的值解 2200012000limx x x x b x a →+++-=-由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111(1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n nn n n n n ≤++++≤+++因为 222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin1,n n n nn n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤≤且 所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim.2tan 22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：2123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x xx x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim () lim (1) .x x x x x x x x x x x e x e x x ---→→→→∞→∞=-=-=+=+=2223113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解 （1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时,xy e -=是无穷大量. 又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,x y e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0limln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解 因为01lim2x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e xx x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解 （1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且 所以311()242f x x =-+. 4．证明： 当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解 （1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解 （1）因为当0x →时，sin 33,sin ,tan 5522x xx x x x所以 00sin 336limlim 5sin tan 5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时 所以sin 201sin 1limlim22xx x ex xx →→-==.（3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+--时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x →时所以x x →→=20021)1)lim lim 41x x x x x x →→===++.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x →时 所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x →时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==.（7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当3433,2n n n n n →∞--limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解 因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x xx +-+∞→解 0x →(1)x→=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x xx x x x →-+当时所以2201sin cos limlim ln(1tan )2x x x x xx x →→+-=+2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xx a a b bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x xx ++111sin ln(1)ln(1)x xx ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 xy +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解 因为()()y f x x fx ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆== 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆=-==+=且所以 在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在 时且所以 不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以 在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义() 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =.又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x xf x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且 所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点. 4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩（函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解 因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a bf x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解 因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上(),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0， 即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++<, 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证 因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C nξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证 设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0. 即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若31169x x→=--,则f (x) = ( ) .①x+1 ②x+5③(5) 方程x4–x– 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .①(0,1/2) ②(1/2, 1)③(2, 3) ④(1, 2)(6)函数10()lnxf xx-=+的连续区间是( ) .①(0, 5) ②(0, 1)③(1, 5) ④(0, 1)∪(1,5)解（1）①;（2）③;（3）④;（4）③; （5）②;（6）④.2.计算题：3sin()3(1) lim (2)lim12cos sin(3) 12(1)](4) lim0)x xxxnxaxe ex xn naαβππ+→→→∞→---++-+++->2300cot222tan sin(5)lim (6)limsin11(7)lim(cos) (8) lim(1)4(9)lim1x xx n x nxxx xxxn nxx→→→→∞→∞-++⎛⎫-⎪⎪-⎝⎭(10)lim[ln ln(2)]nn n n→∞-+解333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim112cos2(cos)2(cos cos)23x x xx x xx x xπππππππ→→→---=---33001112sin()cos()cos()1232323lim lim11124sin()sin()sin()232323(1)(1)(2) lim limsin sin0,1,1,sinx xx x x xx xx xx x xx x xe e e ex xx e x e x x xππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→--因为当时所00lim lim.sinx xx xe e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3) 12(1)]1lim2limnn nnn n→∞→∞++-+++-====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x axax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以 即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解 由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解 因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3tan 3lim 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证 由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-< 故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解 依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1） （1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2） （2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3） （3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4） 连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50nn n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证 设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。

第1章 函数、极限与连续习题一 函数 一、 是非题1、2x y =与y=x 相同 ； （）2、y=ln(x+21x +)是奇数； （）3、凡是分段表示的函数都不是初等函数； （）4、y=x 2 (x>0)是偶函数； （）5、两个单调增函数之和仍为单调增函数； （）6、实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （）7、复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域; （）8、y=f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界 （） 二、填空题1、 函数y=f(X)与反函数y=ϕ(x)的图形关于______对称；2、 若f(x)的定义域是[0,1]，则f(x 2+1)的定义域是______；3、y=122+x x的反函数为_____；4、 若f(x)是以2为周期的周期函数，且在闭区间[0，2]上f(x)=2*x-x 2则在闭区间[2，4]上，f(x)=____;5、f(x)x+1,ϕ(x)=211x+,则f(ϕ(x)+1)= ___,ϕ[f(x)+1]=_____; 6、f(x)=log 2(sinx+2)是由简单函数 和 复合而成； 7 、y=x x 是有简单函数 和 复合而成。

三、选择题1、下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）； A sin 3x B x 3+1 C x 3+x D x 3-12、 设f(x)=4x 2+bx+5,若f(x+1)-f(x)=8x+3，则b 应为（） A 1 B-1 C 2 D -23、f(x)=sin(x2-x)是（）A 有界函数B 周期函数C 奇函数D 偶函数 四、计算下列各题：1、求y=x -3+arcsin523x-的定义域; 2、已知f[)(x ϕ]=1+cosx, )(x ϕ=sin 2x,求f(x);3、设f(x)=x 2,g(x)=x e ,求[g(x)],g[f(x)],f[f(x)],g[g(x)];4、设)(x ϕ=⎩⎨⎧≥<.1||,0,1|||,|x x x 求),2(),21(),51(--ϕϕϕ并作出函数y=)(x ϕ的图形。

极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。

这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。

在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。

题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。

首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。

由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。

接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。

根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

极限与连续复习题答案1. 极限的定义是什么？答：极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个函数在某一点附近的行为。

如果函数f(x)在点x=a的极限存在，那么当x趋近于a 时，f(x)的值会无限接近某个确定的数值L。

用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L。

2. 连续函数的定义是什么？答：连续函数是指在定义域内，函数值与自变量之间没有跳跃的函数。

如果函数f(x)在点x=a处连续，那么当x趋近于a时，f(x)的极限值等于函数在该点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。

3. 极限存在的必要条件是什么？答：极限存在的必要条件是函数在该点的左极限和右极限都存在且相等。

即lim(x→a-) f(x) = lim(x→a+) f(x)。

4. 连续函数与极限的关系是什么？答：连续函数与极限的关系是，如果函数在某点连续，那么该点的函数极限值等于函数值。

反之，如果函数在某点的极限存在且等于函数值，那么该函数在该点连续。

5. 极限的运算法则有哪些？答：极限的运算法则包括：- 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ±li m(x→a) g(x)；- 乘法法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) *lim(x→a) g(x)；- 商法则：如果lim(x→a) g(x) ≠ 0，则lim(x→a) [f(x) / g(x)]= lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)；- 幂法则：lim(x→a) [f(x)]^n = [lim(x→a) f(x)]^n；- 指数法则：lim(x→a) e^[f(x)] = e^lim(x→a) f(x)；- 对数法则：如果f(x) > 0，则lim(x→a) log[f(x)] = loglim(x→a) f(x)。

6. 无穷小量和无穷大量在极限中的作用是什么？答：无穷小量是指当x趋近于某个值时，函数值趋近于0的量。

函数极限连续复习题答案一、选择题1. 函数极限的定义是什么？A. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的值B. 当自变量趋近于无穷大时，函数值趋近于一个确定的值C. 当自变量趋近于无穷小时，函数值趋近于一个确定的值D. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大答案：A2. 函数在某点连续的定义是什么？A. 函数在该点的极限值等于函数值B. 函数在该点的极限值等于无穷大C. 函数在该点的极限值等于无穷小D. 函数在该点的极限值不存在答案：A3. 函数在某点不连续的类型有哪些？A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 以上都是答案：D二、填空题1. 函数极限的符号表示为：\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，其中\(L\)表示函数值趋近于的确定值。

2. 函数在某点连续的充要条件是：\(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)。

3. 函数在某点不连续时，若左极限和右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，则该点为可去间断点。

三、解答题1. 求函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处的极限值。

解：首先对函数进行化简，得到\(f(x) = x + 1\)（当\(x \neq1\)）。

因此，\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\)。

2. 判断函数\(g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\)在\(x = 0\)处是否连续，并说明理由。

解：计算左极限和右极限，得到\(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 0\)和\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)。

由于\(g(0) = 0\)，且左极限等于右极限等于函数值，所以函数在\(x = 0\)处连续。

第一章 函数连续与极限一 选择1．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以nn 2-为极限 D ．不存在极限 2．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的ε领域之外，数列中的点( ) A ．必不存在 B ．至多只有限多个C ．必定有无穷多个D ．可以有有限个，也可以有无限多个。

3．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ．()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值 4．如果()x f x x +→0lim 与()x f x x -→0lim 存在，则( )A ．()x f x x 0lim →存在且()()00lim x f x f x x =→B ．()x f x x 0lim →存在，但不一定有()()00lim x f x f x x =→C ．()x f x x 0lim →不一定存在D ．()x f x x 0lim →一定不存在5、设()⎩⎨⎧=≠=1,01,1x x x f ，则()=→x f x 0lim （ ）A ．不存在；B ．∞C ．0D ．1 6、设()x x f =，则()=→x f x 1lim （ ）A ．1；B ．1-C ．0D ．不存在7、设()11--=x x x f ，则()=→x f x 1lim （ ）A ．0；B ．1-C ．1D ．不存在 8．无穷小量是 ( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零 9．若()0lim 0=→x f x ，则 ( )A ．当()x g 为任意函数时，有()()0lim 0=→x g x f x x 成立B ．仅当()0lim 0=→x g x x 时，才有()()0lim 0=→x g x f x x 成立C ．当()x g 为有界时，能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立D ．仅当()x g 为常数时，才能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立10．按给定的x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是 ( )A ．x--21 (0→x ) B ．111-⎪⎭⎫⎝⎛+xx (∞→x )C ．142+-x x x (+∞→x ) D ．xxsin (0→x ) 11．无穷多个无穷小量之和，则 ( ) A ．必是无穷小量 B ．必是无穷大量C ．必是有界量D ．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 12. 指出下列函数中当+→0x 时，( )为无穷大 A ．12--x B ．xe 1 C ．x e - D ．xxsec 1sin +13. “当0x x →时，A x f -)(是一个无穷小量”是“函数)(x f 在点0x x =处以A 为极限的”( )。

第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。