25第二章 向量在几何中的应用

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量是一种抽象的概念，它可以用来描述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小。

因此，向量在平面几何中有着广泛的应用。

首先，向量可以用来描述平面上的点。

例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。

其次，向量可以用来描述平面上的线段。

例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的线段可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。

此外，向量还可以用来描述平面上的多边形。

例如，若给定一个多边形ABCD，则它的面积可以用向量表示，即
S=1/2|AB×AC|，其中AB和AC分别表示多边形ABCD的两
条边。

最后，向量还可以用来描述平面上的角度。

例如，若给定两个向量a=<x1,y1>和b=<x2,y2>，则它们之间的夹角可以用向量
表示，即θ=arccos(a·b/|a||b|)，其中a·b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。

综上所述，向量在平面几何中有着广泛的应用，它可以用来描
述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小，从而为平面几何的研究提供了有力的工具。

向量在几何中的应用向量是数学研究的一种重要工具，向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题的一种便捷的方法，立体几何中的证明问题，空间距离问题、空间角问题，常遇到添辅助线困难，计算量大的问题，若能合理灵活应用向量法，则在很大程度上避免高强度的思维、高难度的推理，使立体几何问题变得思路顺畅，问题迎刃而解。

下面我们来看向量在几何中的应用。

一、证明平行、垂直问题⑴⑵⑶平面的法向量，若，则平面以此作为理论依据，来证明平行、垂直问题。

例：在单位立方体ABCD桝1B1C1D1中，点E是BC的中点，点F是A1B1的中点，点G是CD上的动点。

⑴求证：D1E⊥C1F。

⑵试确定点G的位置，使得D1E⊥平面AB1G。

⑶试确定点G的位置，使得C1F//平面AB1G。

解：以D为坐标系的原点，建立如图1所示的坐标系。

设DG=y则：A（1，0，0）B1（1，1，1）C1=（0，1，1）E（，1，0）F（1，，1）D1（0，0，1）G（0，y，0）∴⑴由∴（也可选择基向量来证明）⑵由∴D1E⊥AB1要使D1E⊥平面AB1G,只须D1E⊥AG，由∴故，当G为CD的中点时，D1E⊥平面AB1G。

⑶由⑴、⑵可知，D1E⊥C1F，D1E⊥平面AB1G,且C1F平面AB1G，∴C1F//面AB1G故：G为CD的中点，C1F//平面AB1G。

二、求空间角的问题⑴异面直线所成的角：异面直线所成的角可转化对应的向量所成角问题，但要注意角的范围，异面直线所成的角的范围：O＜≤，而向量的夹角的范围：O≤≤由，求异面直线所成的角。

⑵直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角[图2]（或夹角的补角的余角[图3]）。

⑶二面角：转化两平面的法向量的夹角[图4]或夹角的补角[图5]注：有时可判断是锐二面角还是钝二面角。

例：如图ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。

⑴求异面直线SB与CD所成的角。

向量在立体几何中的应用
嘿呀，向量在立体几何中的应用那可真是太有趣啦！比如说，它可以用来求异面直线的夹角呀！就好像在一个复杂的三维世界里，向量就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角的秘密之门。

你想想，两条异面直线好比两个调皮的小精灵在空间里乱跑，而向量就能把它们抓住，告诉我们它们之间的角度呢！
还可以用向量来证明直线和平面平行呢！这就如同给直线找到了一个安稳的家——平面，向量能帮我们确认它们之间是不是和谐相处。

“哇，原来这条直线真的和这个平面平行啊！”
向量也能计算二面角的大小哦！二面角就像是空间里的一个神秘口袋，向量就能精准地告诉我们这个口袋的大小。

“嘿，有了向量，这个二面角的大小可就藏不住啦！”
甚至可以用向量来解决距离问题呢！空间中两点的距离，就像是一段未知的旅程，而向量能带着我们快速精准地找到那段距离。

“哎呀，向量真的太厉害啦，一下子就找到两点间的距离啦！”总之啊，向量在立体几何中真的是神通广大，让我们能轻松应对各种复杂的几何问题，你难道不觉得这超酷的吗？。

《向量在几何证明中的应用》讲义一、向量的基本概念在数学的广袤领域中，向量是一个极为重要的概念。

简单来说，向量是既有大小又有方向的量。

它可以用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用字母加上箭头来表示，比如\（＼vec{a}＼）。

向量的大小称为模，记作\（＼vert\vec{a}＼vert\）。

零向量是长度为0 的向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

单位向量则是模为1 的向量。

向量具有平行和相等的关系。

两个非零向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

而两个向量相等，不仅要求大小相等，方向也必须相同。

二、向量的运算1、加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则是将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点得到的向量就是它们的和。

平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线所表示的向量就是它们的和。

2、减法向量的减法可以看作是加上一个相反向量。

即\（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘一个实数与向量相乘，得到的是一个与原向量平行的向量。

当实数大于 0 时，方向与原向量相同；小于 0 时，方向相反。

4、数量积向量的数量积\（＼vec{a}＼cdot\vec{b} ＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos\theta\），其中\（＼theta\）是\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角。

数量积的结果是一个实数，其几何意义是\（＼vec{a}＼）的模与\（＼vec{b}＼）在\（＼vec{a}＼）方向上的投影的乘积。

三、向量在几何证明中的应用1、证明线段平行若存在向量\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼），且\（＼vec{a} ＝k\vec{b}＼）（＼（k\）为非零实数），则说明向量\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）平行。

向量在几何中的应用
向量在几何中有着广泛的应用。

下面列举一些主要的应用：
向量的长度和方向可以表示物体的位置和运动状态。

例如，一个位于平面上的物体的位置可以用二维向量表示，其长度表示距离，方向表示位置。

向量可以用于计算和描述几何图形的属性，如面积、周长、法向量等。

例如，通过向量积可以计算平面上任意三角形的面积，通过向量差可以计算直线的法向量。

向量可以用于描述线性变换。

例如，矩阵乘法可以表示几何变换，将向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。

向量可以用于描述曲线的切线和曲率。

例如，在曲线上某一点的切线可以表示为曲线的一阶导数，曲率可以表示为曲线的二阶导数。

向量可以用于计算几何体的体积和表面积。

例如，通过向量积可以计算平行六面体的体积，通过向量差可以计算球体的表面积。

总之，向量在几何中有着广泛的应用，可以用于描述物体的位置和运动状态，计算和描述几何图形的属性，描述线性变换，计算曲线的切线和曲率，以及计算几何体的体积和表面积。

向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中起着重要的作用，它可以帮助我们理解和求解许多诸如线段、面积和体积等问题。

首先，直角坐标系是利用向量知识解决平面问题的有力工具，它可以表示一个点的位置，它的轴也提供了方向信息，其中每个点可以看做一个有向向量，有向向量的定义是指具有指定方向的有序对。

另外，它还可以用来求解线段的长度，点到直线的距离，求解平面图形的面积和体积，甚至在数学基础上设计新的图形。

此外，向量可以作为方程解决联立方程组。

解析几何提出了一些特殊的向量解法，其中最突出的是利用它求解点到线段距离以及点到直线距离的问题。

还有，向量的性质也可以利用来判断两个直线是否平行，或者计算两个三角形的外接圆。

此外，向量在椭圆上的具体应用也十分重要，我们可以利用它来求解二次曲线上的面积、周长或求椭圆心与离心率之间的联系等问题。

通过对平面解析几何中向量知识的应用，我们可以看出，这些知识不仅有助于我们理解几何形状，而且它们也成为一些有趣问题的求解工具，为我们研究解析几何提供了便利，也使我们完美的理解和描述几何图形的形状和位置变化。

梅涅劳斯定理、赛瓦定理的平面向量应用梅赛快车，梅赛德斯？奔驰呀？前面不是露过脸了吗，怎么还没过瘾，想来个连续剧呀？非也，本文所谓梅塞快车，指的是梅涅劳斯（古希腊数学家）定理和赛瓦（意大利数学家）定理，它们是平面几何学和射影几何学的两颗璀璨的明珠，擅长解答平面向量线性相关系数问题，搭上它们，就上了快车了．等急了吧？快上车！哦，不，应该是上快车．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：如图，若一条直线顺次与ABC ∆的三边CA BC AB ,,或其延长线交于点F E D ,,，则1=∙∙FACFEC BE DB AD ． 子曰：证明的过程也是熟悉的过程．下面给大家提供两个证法一：如图，过点A 作DF AG //交BC 的延长线于点G ，EG CE FA CF EB GE DB AD ==,，所以FA CF EC BE DB AD ∙∙1=∙∙=EGCEEC BE EB GE 证法二：如图，过点C 作DF CH //交AB 于点H ，则 DA HD FA CF DH BD EC BE ==,，所以FACF EC BE DB AD ∙∙1=∙∙=DA HDDH BD DB AD ． 定理的特征：三个比例式的乘积为1，每个比例式的三个字母（两个顶点一个分点，注：分点在边的延长线上叫外分点）是共线的，结构形式为：顶点分点分点顶点→→，首尾相接，直至绕回起点．赛瓦（Ceva ）定理：如图，在ABC ∆内任取一点O ，延长CO BO AO ,,分别交对边于D F E ,,，则相交，可得1=∙∙FA CFBC EB OE AO ①；由直线COD 与ABE ∆三边（延长线） 相交，可得1=∙∙DA BDBC EC OE AO ②．①÷②得1=∙∙FACFEC BE DB AD ．或许有同学用梅氏定理时纠结于从哪个顶点开始，从那条边开始．其实你若知道梅氏定理的绰号，纠结的症状不治而愈．哈，它的绰号叫做“没事”定理，亦即从哪儿开始，走哪条路都没事，反正得转一圈，都得轮一遍．赛瓦定理亦然．上述证明过程体现了两个定理的相似性．其实两个定理互为“对偶定理”，即只要证明了其中一个，另一个自然成立（糗大了，竟然都证了！）．这是因为在射影平面中，确定一条直线和确定一个点，都需要三个坐标（齐次坐标），于是面空间与点空间形成自然的同构，而这样的同构映射保持结合性（就是指EB点在线上、线过某点这样的结合关系）不变．对偶图形包括两个方面：①图元素互换：点与线互换；②结合性互换：共点与共线互换．这两个定理都有逆定理，这一点可依据三角形唯一性获知．特别地，运用赛瓦定理逆定理，我们可以证明三角形的三条中线、角平分线，锐角三角形的三条高交于一点．两辆车介绍完毕，下面该让平面向量线性相关系数问题上车体验速度了． 例1 （2013年全国联赛山东赛区预赛3）如图，在ABC ∆中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若AN n AC AM m AB ==,，则n m +的值为 ．分析：其中直线MON 与ABC ∆的三边都相交，妥妥的梅氏定理．解：由梅氏定理可得1=∙∙NA CN OC BO MB AM ，所以111=--mn ，整理得2=+n m ．例2 如图，在AOB ∆中，,41OA OC =OB OD 21=，AD 与BC 交于点M ．设=OA a ，=OB b ．（1）用b a ,表示OM ；（2）延长OM 与AB 交于点E ，用b a ,表示ME ． 分析：（1）若能求出MB CM 或MDAM ，即可用b a ,表示OM ．而求上述 两个比例，可分别运用梅氏定理的组合：直线AMD 与BOC ∆、直线BMC 与AOD ∆，任选一组即可；对于第（2）问，为了乘车更过瘾，我们把这一问当做独立的一问来做，即不用第（1）问的结论，那就需分别求出E 分AB 之比和M 分OE 之比，前者可用赛瓦定理，后者可用梅氏定理．解：（1）解法一：用直线AMD 与BOC ∆，由1=∙∙DB OD AO CA MC BM ，可得1143=∙∙MC BM ，所以34=MC BM ，所以MC BM 43=，所以)(4)(3OM OC OB OM -=-，整理得=+=OC OB OM 7473=+OA OB 7173b a 7371+． 解法二：用直线BMC 与AOD ∆，由1=∙∙CA OC BO DB MD AM ，可得13121=∙∙MD AM ，所以6=MDAM，所以MD AM 6=，所以)(6OM OD OA OM -=-，整理得=+=OD OA OM 7671=+OB OA 7371b a 7371+．（2）由1=∙∙DO BD EB AE CA OC ，可得1131=∙∙EB AE ，可得3=EBAE，所以EB AE 3=，所以)(3OE OB OA OE -=-，整理得OB OA OE 4341+=．N ABCOM OAB用直线AMD 与BOE ∆，由1=∙∙AB EA ME OM DO BD ，可得1431=∙∙ME OM ，所以34=ME OM ，所以=+==OB OA OE ME 28928373b a 289283+．．分析：梅赛定理的本质，就是充分运用已有的线段比例关系，求出未知的线段比例关系．本例是前文《向量运算，莫失良“技”（１）》中的例３的改编题．在（2）中求EBAE时，也可运用梅氏定理：用直线OME 与ABC ∆，由1=∙∙OA COMC BM EB AE ，可得14134=∙∙EB AE ，所以3=EB AE ．这样做不甚好，原因一是要运用（1）中结论：34=MC BM ，二是梅氏定理要涉及与一条边的延长线相交，总不如赛瓦定理用起来顺手，围着三角形转圈就行，解决的是三角形内部矛盾．但愿今天梅赛定理的惊鸿一瞥，会使大家对向量线性相关问题兴趣更加盎然！。