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第6章 假设检验与方差分析

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统计分析中的假设检验与方差分析

统计分析中的假设检验与方差分析

统计分析中的假设检验与方差分析统计分析是一种科学的方法，通过对数据进行收集、整理、分析和解释，帮助我们了解现象背后的规律和关系。

在统计分析中，假设检验和方差分析是两个重要的概念和工具。

本文将介绍这两个概念的基本原理和应用。

一、假设检验假设检验是统计学中的一种常用方法，用于判断样本数据是否能够反映总体的特征。

在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过对样本数据的分析，判断是否拒绝原假设。

在假设检验中，我们需要进行以下几个步骤：1. 确定原假设和备择假设：原假设通常是我们要证伪的观点，备择假设则是我们要支持的观点。

例如，我们想要检验某个新药物是否有效，原假设可以是“该药物无效”，备择假设可以是“该药物有效”。

2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是我们在进行假设检验时所允许的错误概率。

通常情况下，我们选择的显著性水平为0.05或0.01。

如果计算得到的p值小于显著性水平，则我们拒绝原假设。

3. 计算检验统计量：检验统计量是根据样本数据计算得到的一个数值，用于判断样本数据是否支持备择假设。

常见的检验统计量包括t值、F值等。

4. 判断拒绝或接受原假设：根据计算得到的检验统计量和显著性水平，我们可以判断是否拒绝原假设。

如果p值小于显著性水平，则我们拒绝原假设，否则我们接受原假设。

假设检验在实际应用中具有广泛的应用，例如医学研究、市场调查、工程设计等。

通过假设检验，我们可以对研究结果进行客观的评估和判断，从而做出更准确的决策。

二、方差分析方差分析是一种用于比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法。

在方差分析中，我们将总体分为若干个独立的组，然后通过计算组间方差和组内方差的比值，来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。

方差分析的基本原理是利用方差的性质来比较样本均值之间的差异。

具体步骤如下：1. 确定独立变量和因变量：独立变量是我们要比较的不同组别，而因变量是我们要研究的特征或指标。

计量经济学第6章假设检验

计量经济学第6章假设检验
E S S 6 0 2 7 0 8 . 6 / 1 1 1 F 3 9 9 . 0 9 9 9 9 R S S 4 0 1 5 8 . 0 7 1 / 1 0 ( n 2 )
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy

n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取

概率与统计中的假设检验和方差分析

概率与统计中的假设检验和方差分析

概率与统计中的假设检验和方差分析统计学是研究数据收集、分析和解释的科学。

在统计学的研究中，假设检验和方差分析是两个重要的工具。

本文将对这两个概念进行详细介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、假设检验假设检验是指根据样本数据对总体参数提出的关于总体的假设进行检验的过程。

假设检验主要包括以下几个步骤：1. 提出原假设（H0）和备选假设（H1）：原假设是对总体参数的某种陈述，备选假设是对原假设的否定。

例如，假设检验中常见的原假设是总体参数等于某个特定值，备选假设是总体参数不等于该特定值。

2. 选择检验统计量：检验统计量是根据样本数据计算的统计量，用于衡量观察到的样本结果与原假设之间的差异。

3. 确定显著性水平（α）：显著性水平是在假设检验中指定的判断标准，通常取0.05或0.01。

当P值（观察到的统计量发生的概率）小于显著性水平时，拒绝原假设，否则接受原假设。

4. 进行假设检验：根据选择的检验统计量，计算其观察值，并与理论上的检验统计量分布进行比较，得出拒绝或接受原假设的结论。

假设检验在实际中的应用非常广泛，比如医学研究中对新药物疗效的检验、市场调研中对产品平均销量的检验等。

二、方差分析方差分析是一种用于比较多个总体均值差异是否显著的统计方法。

方差分析的基本思想是将总体的差异分解成不同成分，通过比较成分之间的差异来判断总体均值是否存在差异。

方差分析主要包括以下几个步骤：1. 提出假设：假设要比较的多个总体没有显著差异（H0），备选假设为多个总体之间存在显著差异（H1）。

2. 计算变异程度：将总体的差异分解成组间变异和组内变异两部分。

组间变异是指各个样本均值与总体均值之间的差异，组内变异是指同一样本内各个观测值与样本均值之间的差异。

3. 计算F值：根据组间变异和组内变异的比值计算F值。

F值越大，说明组间差异相对于组内差异的贡献越大。

4. 判断显著性：将计算得到的F值与理论上的F分布进行比较，得出拒绝或接受原假设的结论。

假设检验-方差分析

假设检验-方差分析
n 6
置信上限： x + uα / 2 σ = 1.96 + 1.96 × 0.028 = 1.98
n 6
置信区间：（1.94，1.98） (3)作出判断结论：因为在H0成立的条件下 作出判断结论：因为在 成立的条件下95%的置信区间 作出判断结论 的置信区间 不包含µ ，故在显著水平α 下拒绝H 不包含µ0=2，故在显著水平α=0.05下拒绝 0。 下拒绝
u=
x − µ0 σ/ n
=
1 . 96 − 2 0 . 028 / 6
= − 3 . 4993
(3)给定α求临界值：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， 由于|u|>1.96，故在显著性水平α=0.05下拒绝H0。
2、置信区间法 (1)提出原假设H0：µ=2，备择假设H1： µ≠2 (2)给定α求置信区间：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， σ=0.028， =1.96，则: x 置信下限： x − uα / 2 σ = 1.96 − 1.96 × 0.028 = 1.94
t =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x − µ0 s/ n
=
0 . 47 − 0 . 5 0 . 05 / 25
= −3
(3) 由α=0.01及df=25-1=24，查表得 及 ，查表得P(|t|>3)=p<0.01, 拒绝 H0(0.001<p<0.01)。即该厂生产的这批药片不符合规定。 。即该厂生产的这批药片不符合规定。
（二）两个正态总体的检验 1、配对比较与成组比较
小概率事件在一次试验中不会发生。 二、假设检验步骤 １、提出原假设Ｈ0和备择假设H1 ２、在原假设成立的条件下，构造一个分布已知的 统计量 用于检验原假设的合理性的统计量称为检验统 计量，简称检验。如S=f(X1,X2,…,Xn)使得 P(S∈S0)=α,即S∈S0是一个小概率事件。称S0为拒 绝域或临界域。

大学统计学 第6章 假设检验与方差分析

大学统计学 第6章 假设检验与方差分析
18
35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
统计学导论
第六章 假设检验与方差分析
第一节 假设检验的基本原理 第二节 总体均值的假设检验 第三节 总体比例的假设检验 第四节 单因子方差分析 第五节 双因子方差分析 第六节 Excel在假设检验与方差分析
记为 H1:。150
整理课件
6-7
三、检验统计量
所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。
检验统计量中应当含有所要检验的总体参数， 以便在“总体参数等于某数值”的假定下研 究样本统计量的观测结果。
检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有 已知的分布，从而便于计算出现某种特定的 观测结果的概率。
为 =x 149.8克，样本标准差s=0.872克。问该
生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即 问生产线是否处于控制状态）?
整理课件
6-4
所谓假设检验，就是事先对总体的参数 或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽 取的样本信息来判断这个假设（原假设）是 否合理，即判断总体的真实情况与原假设是 否存在显著的系统性差异，所以假设检验又 被称为显著性检验。
量所得结果落入接受域的概率。
问题，对于 和 大小的选择有
不同的考虑。例如，在例 6-1 中，如果检验者站在卖方 的立场上，他较为关心的是不要犯第一类错误，即不 要发生产品本来合格却被错误地拒收这样的事情，这
时， 要较小。反之，如果检验者站在买者的立场上，

第六章方差分析

第六章方差分析

2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。

第6章 方差分析


２.Dunnett-t检验
它适用于k－１个试验组与一个对照组均数差 别的多重比较。 公式为：
t
Xi X0
1 1 MS 误差 （ ) ni n0
照组的均数，MS误差为方差分析中所计算的误差均 方，ni和n0分别为第i个试验组和对照组的例数。 v＝v误差
X 为第i个（i=1,2,…k-1)试验组的均数， 0 为对 X i
两两比较计算表
对比组 两均数 之差
XA XB
A与B (1) （2）
q值
(3) (2) 0.3899
组 数
a (4)
q界值
P
（3）
α=0.05 (5)
α=0.01 (6)
(7)
1与2 1与3 2与3
1.0323 2.7543 1.7220
2.65 7.06 4.42
2 3 2
2.83 3.40 2.83
方差分析
Analysis of Variance
本章内容
方差分析的基本思想 完全随机设计的单因素方差分析 随机区组设计的两因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 变量变换
例1.某研究者为研究核黄素缺乏对尿中氨基氮的 影响，将60只Wistar大白鼠随机分为核黄素缺乏、 限食量、不限食量三组不同饲料组。每组20只 大白鼠。一周后测尿中氨基氮的三天排出量， 结果如表1。
一、方差分析的基本思想
4. 方差分析的基本思想： 根据变异的不同来源将全部观察值总的 离均差平方和与自由度分解为两个或多 个部分，除随机误差外，其余每个部分 的变异可由某个因素的作用（或某几个 因素的交互作用）加以解释，通过比较 不同变异来源的均方，借助F分布作出 统计推断，从而了解该因素对观测指标 有无影响。

生物统计学 第六章 方差分析

（1）LSD法
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。

1第6章方差分析

1第6章⽅差分析1第6章⽅差分析⽅差分析是R. A. Fister 发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验. 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素. ⽅差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩.6.1 单因素⽅差分析我们把在实验中或在抽样时发⽣变化的“量”称为因素或因⼦. ⽅差分析的⽬的就是分析因⼦对实验或抽样的结果有⽆显著影响. 如果在实验中变化的因素只有⼀个，这时的⽅差分析称为单因素⽅差分析；在实验中变化的因素不只⼀个时，就称多因素⽅差分析. 双因素⽅差分析是多因素⽅差分析的最简单情形.因⼦在实验中的不同状态称作⽔平. 如果因⼦A 有r 个不同状态，就称它有r 个⽔平. 我们针对因素的不同⽔平或⽔平的组合，进⾏实验或抽取样本，以便了解因⼦的影响. 当⽅差分析的影响因⼦不唯⼀时，必要注意这些因⼦间的相互影响. 如果因⼦间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因⼦间是相互独⽴的，则称为⽆交互影响. 互影响有时也称为交互作⽤，是对实验结果产⽣作⽤的⼀个新因素，分析过程中有必要将它的影响作⽤也单独分离开来.6.1.1 单因素⽅差分析的模型假设设某单因素A 有r 种⽔平：1A ，2A ，…，r A ，在每种⽔平下的试验结果服从正态分布2(,)i N µσ（1,2,,i r = ）. 在各⽔平下分别独⽴做了i n （1,2,,i r = ）次试验，所得数据见表，其中ij x 表⽰表⽰第i 种⽔平下第j 个试验数据. 判断因素A 对试验结果是否有显著影响. 这⾥我们假定各种⽔平下的试验结果有相同的标准差σ. 单因素⽅差分析问题可以归结为以下的假设检验: 012:r H µµµ=== 1:H 12,,,r µµµ 不全相等表6-1 单因⼦试验表6.1.2 单因素⽅差分析的原理如何检验统计假设0H ?⼀般情况下，1µ，2µ，，r µ不全相同将反映在ij x (1,2,,;i r = 1,2,,)i j n = 取值的⼤⼩不同上，这时离差211()in r ij i j S x x ===?∑∑也⽐较⼤. 其中111in r ij i j x x n ===∑∑，1ri i n n ==∑. 但是我们还不能只从S ⽐较⼤就断定1µ，2µ，，r µ不全相同，因为在1µ，2µ，，r µ全相同时，由于试验中的随机误差影响，S 也可能取⽐较⼤的值. 为了区别这两种情况，先把离差S 作⼀个分解. 令 11in i ijj ix xn ==∑2112112211111122111()()()()2()()()()ii ii iin rT ij i j n rij i i i j n n n rr r ij i i ij i i i j i j i j n rrij i i i i j i S x x x x x x x x x x x x x x x x n x x ==============?=?+?=?+?+??=?+?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (5. 1)记上式分解的第⼀项为e S ，第⼆项为A S . 211()i n r e ij i i j S x x ===?∑∑ ， 1(rA i i i S n x x ==?∑有T A e S S S =+即总离差T S 等于组内误差e S 与组间离差A S 之和.下⾯分析e S : 对任⼀指定的1i r ≤≤，21()in ij i j x x =?∑是⽔平i A 下试验数据的离差，是由随机因素造成的. e S 是所有⽔平下离差的和，因⽽也是由随机因素造成的.形成A S 除了随机因素外，如果1µ，2µ，，r µ不全相同，这个差异也要从A S 反映出来，⼀般A S 取⽐较⼤的值. 因此，将A S 和e S ⽐较，如果A S 不太⼤，我们只能认为A S 是由试验的随机误差形成的，从⽽接受0H ；如果A S 太⼤，我们便有理由怀疑A S 完全是由试验的随机误差形成的，认为1µ，2µ，，r µ不全相同，从⽽拒绝0H . 我们将⽤形如A e S c S ??>的判别区域，c 由预先给定的信度α确定. 给定α后，需要计算统计量AeS S 在0H 为真时的分布. 可以证明，在0H 为真时，(1,)1A e S n p F p n p p S ～. 即1AeS n p p S ??服从参数为1p ?和n p ?的F 分布. 只需从F 分布表，查(1,)F p n p α??，使((1,))P F p n p αηα>??=. 其中(1,)F p n p η??～.最后得到的检验⽅法是: 若(1,)1AeS n p F p n p p S α??>，就拒绝0H ，否则接受0H图6-1. (4,10)F 时的F 曲线和0.05α=时的临界值6.1.3 单因素⽅差分析表对上⼀⼩节的分析进⾏总结，得到单因素⽅差分析表6-2. 表6-2 单因素⽅差分析表3若0.01(1,)F F r n r α>??，称因素A 对试验结果有⾮常显著的影响，⽤“* *”号表⽰；若0.050.01(1,)(1,)F r n r F F r n r α??<6.2 利⽤SPSS 进⾏单因素⽅差分析6.2.1 SPSS ⽅差分析对数据的要求应⽤⽅差分析对数据进⾏统计推断之前应注意样本分布的正态性，即偏态分布样本不宜⽤⽅差分析. 对偏态分布的样本应考虑⽤对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等变量变换⽅法变为正态或接近正态分布的数据后再进⾏⽅差分析.在⽅差分析的F 检验中，是以各个实验组内总体⽅差齐性（⽅差相等）为前提的，因此，按理应该在⽅差分析之前，要对各个实验组内的总体⽅差先进⾏齐性检验. 如果各个实验组内总体⽅差为齐性，⽽且经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体⽅差不齐，那么经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有⼀部分归因于各个实验组内总体⽅差不同所致.但是，⽅差齐性检验也可以在F 检验结果为多个样本所属总体平均数差异显著的情况下进⾏，因为F 检验之后，如果多个样本所属总体平均数差异不显著，就不必再进⾏⽅差齐性检验.在使⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，要求因⼦变量值为整数，⽽因变量应为定量变量（区间测量级别）. SPSS 对于偏离正态的样本数据也是稳健的. 各组数据应来⾃⽅差相等的总体.6.2.2 SPSS ⽅差分析过程⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，选项如图 .图 6-2 SPSS ⽅差分析的选项这些选项的含义如下:描述性：计算每组中每个因变量的个案数、均值、标准差、均值的标准误、最⼩值、最⼤值和95%的置信区间.固定和随机效果：显⽰固定效应模型的标准差、标准误和95%置信区间，以及随机效应模型的标准误差、95%置信区间和成分间⽅差估计.⽅差同质性检验：计算Levene 统计量以检验组间⽅差是否相等. 该检验独⽴于正态分布的假设.Brown-Forsythe ：指采⽤Brown-Forsythe 分布的统计量进⾏的各组均值是否相等的检验.Brown-Forsythe分布也近似于F分布，但采⽤Brown-Forsythe检验对⽅差齐性没有要求，所以当因变量的分布不满⾜⽅差齐性的要求时，采⽤Brown-Forsythe检验⽐F检验更稳妥。

假设检验与方差分析

基于总体参数的假设进行检验，例如均值、方差等。
参数检验
不依赖于总体参数的假设，而是直接对样本数据进行统计分析，例如中位数、众数等。
非参数检验
假设检验的类型
做出推断
根据样本数据和临界值的比较结果，做出关于总体参数的推断。
计算临界值
根据选择的统计量和显著性水平，计算临界值。
确定显著性水平
选择一个合适的显著性水平，用于判断样本数据是否具有统计学上的意义。
03
2. 收集数据
收集不同肥料处理下的农作物产量数据。
04
3. 数据整理
对数据进行整理，分组并计算各组的均值和总体均值。
05
4. 计算方差分析表
包括组间方差、组内方差和总方差。
06
5. 做出决策
根据组间方差和组内方差的比较，判断是否拒绝原假设。
方差分析案例
06
总结与展望
总结
01
假设检验与方差分析是统计学中常用的方法，用于研究不同组别之间的差异和比较不同数据集之间的关系。
假设检验与方差分析
目录
contents
引言 假设检验的基本概念 方差分析的基本概念 假设检验与方差分析的关联 案例分析 总结与展望
01
引言
是一种统计推断方法，通过检验样本数据是否符合某一假设，从而对总体做出推断。
是一种统计方法，用于比较不同组数据的均值是否存在显著差异。
主题介绍
方差分析
假设检验
对未来研究的展望
随着大数据时代的到来，数据量越来越大，对于高维数据的处理和分析成为未来研究的热点。如何利用假设检验与方差分析等方法处理高维数据，揭示其内在结构和规律，是未来研究的重要方向。
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t
X 0
S
2
~ t ( n 1)
n
若自由度(n-1)≥30，该t统计量近似服从标准正态分
布。
（四）总体分布未知，总体方差未知，大样本 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果总体偏斜适度， 且样本足够大，近似地有检验统计量
Z
X - m0
S
2
~ N (0,1)
n
例6-4
某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重
量服从正态分布，每包标准重量为1000克，某日随 机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准 差是24克。试问在α=0.05的显著性水平上，能否认 为这天自动包装机工作正常？ 解：
第一步：确定原假设与备择假设。
（二）临界值规则 假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：根据 所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾 部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作 临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比 较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝 域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定 的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认 为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的方 法，我们称之为临界值规则。
五 双侧检验和单侧检验 六 假设检验的两类错误 七 关于假设检验结论的理解
引例
袋装咖啡的平均重量是否符合要求 某品牌的咖啡厂商声称其生产的袋装咖啡每袋的平 均重量是150克。现从市场上抽取简单随机样本 n=100袋，测得其平均重量为 149.8克，样本标准差 s=0.872克。试问该厂商的装袋咖啡重量的期望值是 真如厂商所宣称的是150克。 要解决这一问题，就 要用到本章所介绍的假设检验的思想与方法。
第六章 假设检验与方差分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 假设检验的基本原理 总体均值的假设检验 总体比例的假设检验 单因子方差分析 双因子方差分析 Excel在假设检验与方差 分析中的应用
第一节 假设检验的基本原理
一 什么是假设检验
二 原假设与备择假设
三 检验统计量 四 显著性水平、P-值与临界值
/2

H 0 : θ＝ θ0
H 0 : θ≥θ 0 H 0 : θ≤θ 0
H 1 : θ≠θ 0
H 1 : θ <θ 0 H 1 : θ >θ 0
六、假设检验的两类错误
显著性检验中的第一类错误是指：原假设事实上正
确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域，因而 否定了本来正确的假设。这是弃真的错误。发生第 一类错误的概率在双侧检验时是两个尾部的拒绝 域面积之和；在单侧检验时是单侧拒绝域的面积。 显著性检验中的第二类错误是指：原假设事实上不 正确，而检验统计量的观测值却落入了不能拒绝域， 因而没有否定本来不正确的原假设，这是取伪的错 误。发生第二类错误的概率是把来自θ=θ1(θ1≠θ0)的 总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受域 的概率。
三、检验统计量
所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用
于检验原假设是否成立的随机变量。 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数，以便 在“总体参数等于某数值”的假定下研究样本统计 量的观测结果。 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知的 分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概 率。
一、什么是假设检验
所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布
形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判 断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真 实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以 假设检验又被称为显著性检验。 一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤：
（1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计 算统计量的 具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。
四、显著性水平、P-值与临界值
小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生，
可以不予考虑。 在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是： 如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观 测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设 不可信，从而否定它，转而接受备择假设。 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问题而定。 假设检验中，称这一标准为显著性水平，用来表示 ，在应用中，通常取 =0.01， =0.05。一般来说， 犯第一类错误可能造成的损失越大， 的取值应当 越小。 对假设检验问题做出判断可依据两种规则：一是P值规则；二是临界值规则。
H0: = 1000， H1: 1000 第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值。 由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统 计量是t-统计量。 X 986 1000 0 t 1.75 s n 24 9
第三步：确定显著性水平，确定拒绝域
=0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是
在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的概率常
常呈现反向的变化，要使和都同时减小，除非增 加样本的容量。为此，统计学家奈曼与皮尔逊提出 了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率情况 下，尽量使犯第二类错误的概率小。在实际问题 中，我们往往把要否定的陈述作为原假设，而把拟 采纳的陈述本身作为备择假设，只对犯第一类错误 的概率加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率 。
由第五章可知， E ( X ) 。由于原假设是 =150， 在原假设为真时，上式可以写作
Z X 150 V (X ) ~ N (0 , 1)
仍然由第五章可知， V ( X )
2
/ n ，以及
t
X 150 S2 n
~ t (n 1)
是式中的 t 就是本例所要构造的检验统计量。 由于 t 分布在自由度 30情形下可用标准正态分布 来近似，而本例中 n=100，自由度 n-1 远大于 30， 故上近似服从标准正态分布。根据样本数据计算 149.8 150 z 2.29 0.8722 100
1
2
并且，两样本独立。
为检验两个总体均值是否相等，我们提出原假设
H0:1 = 2 。可以证明，在原假设成立的条件下， 以下检验统计量服从自由度为n1+n2-2的t-分布。即
t
n1 1 S
n2 1 S n1 n2 2
2 1
X1 X 2
2 2
1 1 n1 n2
五、双侧检验和单侧检验
/2
–Z /2
1–
(a)双侧检验 Z / 2
/2


– Z
0 (b)左侧检验
0 Z (c)右侧检验
图6-1 双侧、单侧检验的拒绝域分配
表6-1 拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系
拒绝域 位置 双侧
左单侧 右单侧
P-值检验的显著 性水平判断标准
原假设
备择假设
例6-1
构： H 0 : 150， H 1 : 150 。
由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分 布，所以其简单随机样本的均值 X 也服从正态分布。 我们把 X 标准化成为标准正态变量
Z X E( X ) V (X ) ~ N (0 , 1)
二、原假设与备择假设
原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某
值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设 互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成 立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正 确，若拒绝原假设H0 ，则意味着接受备择假设H1 。 如在引例中，我们可以提出两个假设：假设平均袋 装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为 H0: = 150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的 标准有显著差异，记为H1: 150。
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
（二）总体分布未知，总体方差已知，大样本 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果样本足够大 （n≥30），近似地有检验统计量
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
（三）总体为正态分布，总体方差未知 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统计量
（一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于) 具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显 著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值 大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原 假设。
例6-2
假定 =0.05，根据例6-1的结果，计算该问题的P-
值，并做出判断。 解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为 0.9890，尾部面积为1–0.9890=0.011，由对称性可知， 当z= –2.29时，左侧面积为0.011。 0.011≤/2=0.025 0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取n=100的 样本，在100个样本中仅有可能出现一个使检验统 计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的概率小 于给定的显著性水平，所以，可以判断μ=150的假 定是错误的，也就是说，根据观测的样本，有理由 表明总体的与150克的差异是显著存在的。
判断。 解：查表得到，临界值z0.025= –1.96。由于 z= –2.29< –1.96，即，检验统计量的观测值落在临 界值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝 μ=150克的原假设。上面的检验结果意味着，由样 本数据得到的观测值的差异提醒我们：装袋生产线 的生产过程已经偏离了控制状态，正在向装袋重量 低于技术标准的状态倾斜。
七、关于假设检验结论的理解
这就是说，在假设检验中，相对而言，当原假设被
拒绝时，我们能够以较大的把握肯定备择假设的成 立。而当原假设未被拒绝时，我们并不能认为原假 设确实成立。