人教B版选修1-1高中数学2.3.1《抛物线及其标准方程》word课后知能检测

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。

§2.3.1 抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。

经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。

（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122F F a<）的点的轨迹. 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122F F a>）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。

通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KF p p=>,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px=-．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2px=-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。

2.3 抛物线2．3.1抛物线及其标准方程1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)2．了解抛物线的实际应用．(难点))3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P57～P58例1以上部分，完成下列问题．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )(4)抛物线可看作双曲线的一支．( )【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52. 【导学号：25650075】【精彩点拨】本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p的值．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)． 将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92.∴当焦点在x 轴上时，所求抛物线方程是y 2＝－43x ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，0，准线方程为x ＝13；当焦点在y 轴上时，所求抛物线方程为x 2＝92y ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，98，准线方程为y ＝－98.(2)令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由p2＝2，得2p ＝8，∴所求抛物线方程为x 2＝－8y .令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则由p 2＝4，得2p ＝16，∴所求抛物线方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 其准线方程为y ＝2或x ＝－4， 焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[再练一题]1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？ 【导学号：25650076】【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题． 【自主解答】 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[再练一题]2．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货的木船露在水面上的部分为0.75m ，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 【导学号：25650077】【解】 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p ＞0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航． 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．[探究共研型]探究1 【提示】 抛物线标准方程中的p 的几何意义是焦点到准线的距离． 探究2 抛物线定义的功能是什么？【提示】 根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．(1)若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则动点M 的轨迹方程是________．(2)如图2-3-1，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．图2-3-1【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点M 的轨迹，再写方程．(2)由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为|P A |＋d 的问题．【自主解答】 (1)如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p＝8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2＝16x.【答案】y2＝16x(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|P A|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|P A|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|P A|＋|PF|＝|P A|＋d.由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2 .即|P A|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．1．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．2．抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．[再练一题]3．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．2 C.5D.92 (2)(2015·上海高考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 (1)如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF |＝错误!＝错误!.故选A. (2)依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，则p ＝2.【答案】 (1)A (2)2[构建·体系]1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，18【解析】 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以p ＝14，故焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，18.【答案】 D2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 抛物线焦点到准线的距离是p ＝4. 【答案】 C3．若双曲线x2m －y23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________. 【导学号：25650078】【解析】 双曲线x2m －y23＝1的右焦点为(m ＋3，0)，抛物线y 2＝12x 的焦点F (3,0)，∴m ＋3＝3，∴m ＝6.【答案】 64．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是________．【解析】 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x ＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0)．【答案】 (2,0)5．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．【解】 法一 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m2＝6p ，m2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ， m 的值为±26.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±26.。

2019-2020年人教B 版选修1-1高中数学2.3.1《抛物线及其标准方程》word 基础过关一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0) 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________． 6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 9．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.11．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax (a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．13.喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．答案1．B 2．D 3．C 4．B5．y 2＝16x6．y ＝37．解 由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2px (p >0)．把A (－2，－4)，代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4. 故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x .当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14；当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.8．B 9．C10.811．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2， 所以△OAF 的面积为12·⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4， 解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .13．解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165， 所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)． 所以管柱OA 的长为1.8 m.13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x .。

2．3.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型类型一抛物线标准方程及求解命题角度1由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)．反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练1 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________， 准线方程为____________．命题角度2 求解抛物线标准方程例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．类型二 抛物线定义的应用例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B ．3C.5D.921．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．84．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C.115D.37165．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．答案精析问题导学 知识点一思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线． 梳理 直线 知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左， 2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 24.跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5； 令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2， 即M (2,2)．跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离等于点P 到焦点F 的距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.]当堂训练 1．A 2.D3．C [如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.] 5．解 由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0. 则该抛物线准线方程为x ＝p2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

住院医师影像诊断学习题及答案（90）1.下列哪一项不是正常肝脏的声像图表现 DA.上腹部纵切是三角形B.分布均匀一致的细小点状中等回声C.左叶厚度<6cm，右叶厚度<14cmD.比肾实质稍低的均匀回声E.肝静脉与门静脉管状无回声多呈垂直交叉分布2.下列哪一项不属于弥漫性肝病的范畴 EA.病毒性肝炎B.肝硬化C.肝豆状核变性D.肝糖元累积症E.肝多发性脓肿3.除哪一项外均为肝硬化晚期的的超声表现 CA.肝脏缩小，形态失常B.实质弥漫性增强，光点增粗，可有结节样回声C.肝静脉走行及管腔无异常改变D.胆囊壁呈双边影样增厚E.门静脉扩张，脾大，腹水4.肝脏最常见的良性肿瘤是 DA.肝腺瘤B.脂肪肝C.错构瘤D.血管瘤E.炎性假瘤5.哪一项不是肝海绵状血管瘤的声像图表现 CA.多表现为边界清晰的强回声肿块B.边缘可见裂开征或血管贯通征C.后方回声衰减明显D.少数为低回声或不均匀回声E.巨大团块用探头加压时，可见肿瘤受压变形6.以下哪项是肝细胞肝癌的特异性表现 CA.类圆形的实性团块B.局部轮廓隆起C.外周绕有声晕，内有“块中块”或“镶嵌征”D.绕有强回声边缘的结节E.外周血管受压7.肝囊肿的超声表现中不正确的是 EA.病灶为圆形、类圆形无回声暗区B.囊壁薄，光滑C.囊肿后壁见回声增强D.囊肿侧壁见回声失落E.囊肿后壁见声影8.肝脓肿的超声表现中不正确的是 CA.病灶为单发或多发的低回声或无回声区B.脓肿壁薄厚不等，内壁不光滑C.脓肿后壁见回声明显衰减D.脓肿侧壁见回声失落E.脓肿周围见环状水肿带9.下列对正常胆道的描述哪一项不正确 CA.胆囊长<9cm，前后径<3cmB.胆总管内径<6mmC.肝内胆管一般显示清晰D.胆总管上段与门脉伴行E.胆囊壁厚<3mm10.胆囊炎穿孔的典型征象是 EA.胆囊大，轮廓模糊B.胆囊壁增厚，呈双边征C.胆囊颈结石嵌顿D.超声莫非氏征阳性E.胆囊壁局部膨出缺损相应部位有积液11.以下哪一项是典型胆囊结石声像图类型 AA.随体位改变的块状结石B.胆囊憩室小结石C.充满型结石D.泥沙样结石E.胆囊壁内结石12.患者胆囊颈部有一直径1.7cm不规则实性结节，基底较宽，可能是 EA.胆囊腺瘤B.胆囊息肉C.胆囊内沉积物D.局限性腺肌增生症E.胆囊癌13.对胆囊结石描述错误的是 BA.强回声光团伴有声影B.强光团后方一般不伴有声影C.后方伴随声影的光斑D.胆囊窝处弧形强回声E.随体位移动的光团后方伴声影14.胰腺实质正常的回声是 BA.略低于肝脏回声B.略强于肝脏回声C.低于肾皮质回声D.稍低于脾脏回声E.与肾脏集合系统回声相等15.对急性胰腺炎描述不正确的是 BA.胰腺弥漫性或局限性增大B.胰腺正常或略小C.胰腺轮廓不清D.胰内部回声强度减低E.常出现邻近肠曲充气扩张，胰腺显示不清晰16.下列哪一项不是慢性胰腺炎的表现 EA.胰腺轻度增大或萎缩变小B.不规则扩张的主胰管C.实质回声多增强而不均匀D.胰管可见结石，实质可见假囊肿形成E.胰腺增大，轮廓清晰，内回声减低17.下列对胰腺癌的描述哪项不正确 AA.约30%～40%发生在胰头部B.胰腺局部增大，内见分叶状肿块C.可推压周围脏器和血管D.主胰管和胆管可扩张E.肝内及淋巴转移F.黄疸出现早，肿块小，常伴胆胰管扩张，扩张胆管可视长度>8cm18.下列哪些疾病常引起脾大 EA.白血病B.感染性心内膜炎C.肝硬化D.门静脉阻塞E.以上都是19.正常成人(男性)脾脏厚径超声测值 BA.<3.5cmB.<4.0cmC.<4.5cmD.<5cmE.<6cm20.肝脏转移癌的最常见表现为 AA.牛眼征B.低回声病灶C.囊性病灶D.强回声病灶E.以上均不是。