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专题22高中数学概率的问题【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15B ．13C ．25D ．23 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【题型分类】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．452．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3113．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5214．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．345．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个 五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1206．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11168．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．459．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．1910．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2915．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2317．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7819．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．325题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3422．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2323．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3524．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2925．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09626．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13027．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1228．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1229．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27。
理科独⽴重复试验、条件概率24条件概率、独⽴事件、独⽴重复试验【知识要点】1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发⽣的条件下，事件B 发⽣的概率叫做条件概率，⽤符号P (B |A )来表⽰，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2.条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．3.计算条件概率有两种⽅法．(1)利⽤定义P (B |A )＝P (AB )P (A )；(2)若n (C )表⽰试验中事件C 包含的基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A )4.相互独⽴事件:对于事件A 、B ，若A 的发⽣与B 的发⽣互不影响，则称A 、B 是相互独⽴事件．5. 相互独⽴事件同时发⽣概率(1)P (AB )＝P (A )·P (B )．(2)若A 与B 相互独⽴，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独⽴．6.独⽴重复试验独⽴重复试验是指在相同条件下可重复进⾏的，各次之间相互独⽴的⼀种试验，在这种试验中每⼀次试验只有两种结果，即要么发⽣，要么不发⽣，且任何⼀次试验中发⽣的概率都是⼀样的．7.⼆项分布在n 次独⽴重复试验中，设事件A 发⽣的次数为k ，在每次试验中事件A 发⽣的概率为p ，那么在n 次独⽴重复试验中，事件A 恰好发⽣k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从⼆项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．题型⼀：条件概率1.把⼀枚硬币连续抛两次，记“第⼀次出现正⾯”为事件A ，“第⼆次出现正⾯”为事件B ，则P (B |A )等于( )．A.12B.14C.16D.182.(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )．A.18B.14C.25D.123.某地区空⽓质量监测资料表明，⼀天的空⽓质量为优良学科⽹的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空⽓质量为优良，则随后⼀天的空⽓质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.454.袋中有6个黄⾊、4个⽩⾊的乒乓球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求（1在第⼀次取到⽩球的条件下，第⼆次取到黄⾊球的概率；（2第⼆次才取到黄⾊球的概率。
独立重复试验概率公式的全面阐述
季 强
(常州高级中学数学组,江苏 213003)
中图分类号:G 633.6 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2003)13-0013-02
收稿日期:2003-04-14
作者简介:季强(1965—
),男,江苏徐州人,江苏常州高级中学高级教师,学士. 高中数学教科书第二册(下B )P132“独立重复试验”一节的概率公式,要作深入理解和全面阐述,否则学生处理这类问题时容易程式化,硬套公式,条件稍作变化便不知所措.
1 独立重复试验的概率公式有一定的局
限性1.1 概念的理解
一般地讲,独立重复试验应符合三个条件:①任两次试验之间是相互独立的;②每一次试验都有两个事件,且这两个事件是相互对立的;③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的.
这是判定是否为独立重复试验的三个条件.在判定一个概率问题是独立重复试验问题后,我们再用其公式求概率.
1.2 公式P n (k )=C k n P k (1-P )
n -k
的理解
独立重复试验概率公式P n (k )=C k n P k
(1
-P )
n -k
,用于计算一次试验中事件发生的
概率是P 时,n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率,这k 次是哪k 次呢?它
有C k n 种可能的情况,从而这个问题转化为C k
n
个互斥事件的和,每一个互斥事件又是n 个相互独立的事件的积,其中该事件发生k
次,其对立事件发生n -k 次,概率都为P k
(1-P )
n -k
,这样,n 次独立重复试验中这个
事件恰发生k 次的概率为P n (k )=C k
n P k
(1-P )
n -k
.
必须特别明确的是:C k
n 有特定的意义,
是具有相同概率P k (1-P )n -k
的互斥事件
发生k 次的所有可能数目.
例1 某人射击一次命中目标的概率是1
2
,求此人射击6次恰好3次命中目标的概率.
分析 这是独立重复试验问题,分为C 36
个互斥事件的和,每一事件的概率都是
(
12)3(1-12
)6-3
.
解 依题意,此人射击6次恰3次命中目标的概率为
P 6(3)=C 3
6(
12)3(1-12)6-3=5
16
.
1.3 公式P n (k )=C k n P k
(1-P )
n -k
的局限性
例2 某人射击一次命中目标的概率为1
2
,求此人射击6次3次命中且恰有两次连续命中的概率.
分析 这是独立重复试验问题,但是6次射击命中三次时又有了限制条件“恰有两
3
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数学通讯
次连续命中”,这样,这个问题就不是C36个互斥事件的和了,当然就不能用该公式计算概率了.
从该题可以看到,公式P n(k)=C k n P k(1 -P)n-k的应用有一定的局限性,C k n是这“k 次”不附带其他限制条件的互斥事件的个数,当这“k次”有附带的限制条件时,互斥事件的个数就不是C k n了,当然这个公式就不能用了,但每一个互斥事件的概率还是P k(1-P)n-k.
例2如何解决呢?我们要对这个问题进行一定的探讨.
2 附带限制条件的独立重复试验问题解决例2的概率问题,就必须求问题可以转化为多少个互斥事件的和,这两次连续命中与另一次命中是间隔排列问题,共有A24种可能情况,从而该问题可以转化为A24个互斥事件的和,故“6次射击三次命中且恰有两次连续命中”的概率为
A24(1
2
)3(1-
1
2
)3=
3
16.
由上可知,公式P n(k)=C k n P k(1-P)n-k只能用于计算不附带限制条件的独立重复试验问题,附带限制条件的独立重复试验问题关键是求出可以转化为互斥事件的个数,而每一个互斥事件的概率都还是P k(1-P)n-k.
3 独立重复试验问题概率的一般公式不论是无限制条件的概率问题,还是有限制条件的概率问题,都必须求出问题转化出来的互斥事件的个数,前者为C k n,后者不妨记为n(k),这样我们就有如下结论:一次试验中,某事件的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为P n(k)=n(k)P k(1-P)n-k.当这“k次”不附带限制条件时,n(k)=C k n否则n(k)≠C k n.
例3 某人射击一次命中目标的概率是1
2,
求此人射击6次三次命中目标且不连续命中的概率.
分析 这是独立重复试验问题,可转化
为C34个概率为(1
2
)3(1-
1
2
)3的互斥事件的和,此时n(k)=C34.
解 此人射击6次三次命中且不连续命中的概率为:
P6(3)=C34(
1
2
)3(1-
1
2
)3=
1
16.
例4 某产品的出厂要经过五个指标的抽检,有两项或两项以上指标的抽检不合格时,该产品不能出厂,每项指标不合格的概率
都为1
3,
试求该项产品经过五项指标的抽检,恰有连续三项不合格而不能出厂的概率.
分析 是独立重复试验问题,共有三种
可能的情况.
解 相邻三项为:1,2,3;2,3,4;3,4,5;
此时n(k)=3.故所求概率为:
P5(3)=3(
1
3
)3(1-
1
3
)2=
4
81.
综上所述,我们在解决n次独立重复试
验中某事件恰发生k次的概率问题,就要注
意“k次”有无限制条件,再求出这个问题转
化出来的互斥事件的个数n(k),切忌不理
解C k
n
或n(k)的意义而硬套公式,把问题程
式化.
41数学通讯 2003年第13期。
