作业六：基本不等式 凑项数 凑系数 分离

基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。

2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。

3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。

2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。

3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。

5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。

x y ，且满足 ＝１，则 ３ ４
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6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３ 二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６ ２３ ２ ３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2


ห้องสมุดไป่ตู้


即ymin ６ ２３
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
1 1 １ １ 正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代 换法

1 / 31 / 31 / 3运用基本不等式必备的变形技巧 基本不等式,0,0(2>>≥+b a ab b a 当且仅当a=b 时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值．分析 由0＜x ＜4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可． 解∵0<x<4,∴ 8-2x>0,∴y=x(8-2x)=2)2282(21)]28(2[21x x x x -+≤-=8， 当且仅当2x=8-2x 即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2. 凑项例2己知x<45，求函数f(x) =4x-2+541-x 的最大值． 分析 由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·541-x 不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值. 解 ∵x<45，∴5-4x>0， ∴f(x)=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)＋3≤-2x x 451)45(-⋅-+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时等号成立. 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域. 分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．解 .514)1(14)1(5)1(110722++++=+++++=+++=x x x x x x x x y 当x+1＞0, 即x>-1时，514)1(2++⋅+≥x x y =9(当且仅当x=1时取“=”号)； 当x+1<0,即x<-1时, 14)1(25+⋅+-≤x x y =1(当且仅当x=-3时取“=”号)；2 / 32 / 32 /3 ∴)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). 点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+)(x g A +B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．二、整体代换 例4 已知a>0,b>0，111=+ba ,求t=a+2b 的最小值. 分析 不妨将a+ 2b 乘以1，将1用b a 11+代换. 解 (a ＋2b)·=(a+2b)(b a 11+)=3＋2232232+=⋅+≥+b a a b b a a b ,当且仅当ba ab =2时取“=”号. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,111,2ba b a a b 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 时，t=a+2b 的最小值为223+. 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=b a a b ++23,而a b 2与b a 的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b 的最小值．三、换元例5求函数522++=x x y 的最大值． 分析 变量代换，令t=2+x ，则x=t 2-2(t ≥0)则，t t t ty 121122+=+=，再利用均值不等式即可．解 令t=2+x , x=t 2-2(t ≥0) ,则122+=t ty ．当t=0时，y=0；当t ＞0时，421221121=⋅≤+=t t t t y ，当且仅当2t=t1,即t=22时取“=”号， ∴x=-23时,y max =42. 点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从3 / 33 / 33 / 3 而为构造积为定值创设了有利条件．四、取平方例6求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值． 分析 注意到2x-1与5-2x 的和为定值．r解 8)25()12(4)25)(12(24)2512(22=-+-+≤--+=-+-=x x x x x x y ,又y>0，∴0<y ≤22，当且仅当2x-1=5-2x.即x=23时取“=”号， ∴y max =22.点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件．总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．。