基本不等式及其应用
1．基本不等式
若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．
注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：
(1)各项或各因式均正；（一正）
(2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）
2．常用不等式
(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．
2
a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
2
b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）b
a a
b b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)ab
c ≤。(),,0a b c >
(8)≥；()
,,0
a b c>
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()
A.6
B.42
C.22
D.26
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，
当且仅当a＝b＝3
2时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()
A.1
2B.1 C.2 D.4
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1
2.当且仅当a
＝1，b＝1
2时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()
A.a＜v＜ab
B.v＝ab
C.ab＜v＜a＋b
2 D.v＝
a＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝
2s
s
a＋
s
b
＝
2ab
a＋b＜
2ab
2ab
＝ab.
又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b
＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.
解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，
所以mn ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.
类型一 利用基本不等式求最值
(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.
解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.
又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
(2)下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x (x >0)
B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )
D.1x 2＋1
>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.
B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；
sin x＋
1
sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).
C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).
D中，
1
x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.
点拨：
这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋c
x＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将
f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
x＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性
等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1
t的最小值为.
解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1
t＝t＋
1
t－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
