第五讲--分数应用题之工程问题

工程问题（分数）计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫“工程问题”。

工程问题是分数应用题的特例。

但它同整数应用题中的工程问题一样，同样是研究工作效率、工作时间、工作总量三者之间的关系。

所不同的是在整数应用题中的工程问题，工作总量、工作效率都告诉我们具体的数量，而分数应用题中的工程问题，一般不告诉具体的工作总量，也不告诉具体的工作效率。

解题的关键是根据分数的意义，把工作总量看作“1”，用完成工作总量所需时间的倒数表示工作效率。

工程问题的特点：（学会区分工作效率和工作总量）一般工程问题都是，已知独做的工作时间（或合作的工作时间），求合作的时间（或独做的工作时间）。

分析方法：从问题入手，确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间，就用要完成的那部分工作量除以谁的工作效率。

工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间甲工作效率+乙工作效率=工作效率之和总工程量—已经完成工作=剩下工作量例题1:一项工程，甲单独做需2天完成，乙单独做需3天完成。

由此填空：（1）甲的工作效率是（）（2）乙的工作效率是（）（3）甲乙合作的工作效率是（）(4)?甲、乙队合作需要几天完成（）例题2：一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完这批零件的？1.一项工作，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成。

甲、乙合做几天可以完成这项工作的4/5？2.一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做多少天可以完成这件工程的2/3？例题3：一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？1.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？2.一项工程，甲单独做16天可以完成，乙单独做12天可以完成。

分数应用题（工程问题）教学内容：本内容是人教版六年级（上）第三单元分数应用题教材分析工程问题是用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

它的解题思路与整数应用题基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题中没有给出具体的工作总量，解答时要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。

这样，由于计算的不是具体的数量，有的学生往往感到抽象、不易理解。

为此，教材先通过复习题，让学生熟悉怎样用单位“1”来表示工作总量，以及用完成工作总量的几分之一来表示工作效率等条件。

然后，通过例9先以整数应用题引入，给出一段公路的具体长度（即工作总量），和两队单独修的工作时间，求合修要用多少天。

再把这段公路的具体长度去掉，启发学生想，还能不能解答。

由此引导学生用分数来解答。

教学设计教学内容：教材79页例9及做一做练习二十第1、2、3、4题教学目标：（一）知识目标：认识工程问题的结构特点，理解并掌握工程问题的解题方法。

（二）能力目标：1、会正确解答一般的工程问题。

2、培养学生、解答应用题的能力。

（三）情感价值观目标：培养学生具体问题具体分析的良好习惯。

教学过程：一、铺垫孕伏1、说出下面每道题里的数量关系（1）一台织布机每小时织布20米，3小时织布多少米？（2）一台织布机3小时织布60米，每小时织布多少米？（3）一台织布机每小时织布20米，织布60米要几小时？教师按顺序出示各题，学生回答后教师板书数量关系式，并读一读。

板书：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间2、投影出示79页复习题（1）指名读题后教师问：这道题工作总量是多少？“1/5”是把谁看作单位“1”？表示什么？3、投影出示79页复习题（2）指名读题后教师问：这道题求的是什么？怎样列式？你能说一说是怎样想的吗？二、探究新知1、投影出示例9例9 一条公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。

【知识点】：1、分数工程问题与一般的工程问题的共同点工程问题三要素及其关系工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率2、分数工程问题与一般的工程问题的区别把工作总量看做“1”，用分数表示工作效率，只有时间是具体的量。

（1）学校准备做3000套校服，甲工厂单独完成需10天，乙工厂单独完成需15天。

如果甲、乙合作，需多少天完成？（2）学校准备做一批校服，甲工厂单独完成需10天，乙工厂单独完成需15天，如果甲、乙合作，需要多少天才能完成？一项工作，甲独做12天完成，乙独做20天完成，？①甲乙合做1天完成全工程的几分之几？②甲乙合做3天完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？③ 甲乙合做几天可完成全工程？、④ 甲乙合做几天完成全工程的一半？⑤ 甲乙合做5天后，余下的再由乙单独完成，还需几天？⑥ 甲先做2天后，余下的乙也参加同做，还需几天完成？【典型题型】：两个人的问题说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体。

60千米的路，甲队单独修20天可完工，乙队单独修15天可完工，两队共同修几天完工？【练习】甲乙两根进水管，单开甲管10小时注满水池，单开乙管15小时注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。

乙需要做几天可以完成全部工作？4小时后，乙又接着做了5小时共同完成了工程的5/6，甲独做全工程12小时可完工，乙独做要几小时可完工？甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。

如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？20天完成，乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？1、加工一批零件，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，丙单独做需要12天，他们合作几天便可完成这批零件的3/4?2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做15天完成，两队合作5天后还余下几分之几没有修？3、某工程，甲单独做64天可完成，乙单独做48天可完成，如果由甲先做了48天，剩下的由乙来做，乙还需要多少天完成？4、一个水池，装有甲、乙两个管子。

第五讲分数应用题之工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系,即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”,甚至会表现为“行程问题"、“经济价格问题"等等.我们可以这样认为，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

教学目标1．回顾工程问题的基本数量关系与一般解法；2．精讲工程问题的常见解题方法：一、解题关键是把“一项工程"看成一个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，来解答.二、要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。

工作的先后顺序可以改变（假设）；要善于抓住工作效率之间的关系,并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这样的转化和代换，往往能化难为易。

三、一些稍复杂的分数应用题、流水行程问题，其实质也是工程问题，要善于抓住问题的本质特征，把它看作工程问题来解决。

专题回顾【例1】★★(小学数学冬令营竞赛试题)一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做,从开工到完成任务共用了16天.乙请假多少天?【例2】★★★搬运一个仓库的货物，甲需10小时,乙需12小时,丙需15小时。

有同样的仓库A和B ，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运,中途又转向帮乙搬运,最后同时搬完两个仓库的货物。

丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【例3】★★★（北京市第六届“迎春杯”决赛试题)一项工程，甲单独做要12小时完成,乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问:完成任务时，共用了多少小时?专题精讲一、代换法关键是将单干与合作的实际情况，根据需要等量代换成新的条件。

【例4】★★★一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。

工程问题【基础知识】工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题，“工程问题”一般是把工作总量作为单位“1”。

因此工作效率就是工作时间的倒数，它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率=工作时间工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。

下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并给出详细的解答过程，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

工程问题公式1.一般公式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间2.用假设工作总量为“1”的方法解工程问题公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几。

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

注意：用假设解工程时，可任意假定工作量为2，3，4，5……，特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。

【经典例题】例题1.加工一批零件,甲单独做要12小时,乙单独做有10小时,丙单独做要15小时.如果要求这批零件在8小时以内做完,应该怎么办?请你设计一个方案,并计算出需要几小时?【思路导航】这是一道开放题，方法有多种，如（1）若由甲、乙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 )=6011(时) （2）若由甲、乙、丙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 + 115)= 4(时) （3）若由甲先做2小时，再由乙、丙合作，完成时间是：（1- 112 ×2）÷（110 + 115）+2=7(时) 练习11. 修一条水渠,甲工程队单独修20天完成,乙工程队单独修15天完成,丙工程队单独修30天完成。

第五讲工程问题(1)一、训练目标知识传递：明确单位“1”，及工作时间、工作效率、工作总量的关系。

能力强化：分析能力、综合能力。

思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。

二、知识与方法归纳解答工程问题，首先要明确把什么看作单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。

把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等等这些没有告诉具体数量的工作量看作单位“1”，几天完成，也就是把这个单位“1”平均分成几份，每天完成几分之几，也就是工作效率。

在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。

运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转换法、代换法、列举法等来解答工程问题，只要恰当地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。

三、经典例题例1：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。

①甲队每天完成这项工程的( )( )，乙队每天完成这项工程的( )( )。

②甲、乙两队合做，每天完成这项工程( ) ( )。

③甲、乙合做，（）天可以完成这项工程。

④甲、乙合做4天后，还剩下全工程的( ) ( )。

例2：打扫多功能教室，甲组同学13小时可以打扫完，乙组同学14小时可以打扫完，如果甲、乙合做，多少小时能打扫完整个教室？解：答：甲、乙合做，小时能打扫完整个教室。

例3：一批布料，做上衣可以做20件，如果做裤子可以做30条，这批布料可以做多少套衣服？解：答：这批布料可以做套衣服。

例4：打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2小时，又打了这份稿件的14，剩余的甲乙共同打，还需几小时？解：答：剩余的甲乙共同打，还需小时。

例5：一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。

这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲乙两人各做了多少天？解：答：甲做了天，乙做了天。

例6：修一段公路，甲队单独做要用40天，乙队单独做要用24天。

分数除法应用题----工程问题适用学科小学数学适用年级小学六年级适用区域全国通用课时时长（分钟）120分钟知识点工程问题基本关系式教学目标理解工程问题三个基本关系式教学重点应用工程问题基本关系式解决工程问题教学难点应用工程问题基本关系式解决工程问题教学过程课堂导入同学们，我们无论做什么都要讲究效率，高效率可以使我们出色节省时间的去完成一项任务，那么生活中，各种各样的因为工作效率而导致工作结果的事情特别多，今天我们就来一起研究一下这个问题------工程问题。

知识讲解工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间例题精析一本书，湉湉利用8天时间看完，她每天看这本书的几分之几？小明单独打印一份文件需要5小时，要打印这份文件的2/3需要多少小时？修一条水渠，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修15天完成，两队合修，多少天完成？课堂运用4.方芳12天看完3本书，她每天看这些书的几分之几？5.一条路9天可以修完，这个工程队多少天可以修这条路的2/3？【巩固】1.修一条水渠，甲工程队单独修12天完成，乙工程队单独修20天完成，两队合修，多少天完成？2.一批零件，师傅单独做需要4小时完成，徒弟单独做需要8小时完成，师徒两人合作，需要几小时完成？【拔高】1.一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管两小时可以把水注满，单开乙管3小时可以把满池水放完。

如果同时打开甲、乙两管，几小时后水池可以注满？课堂小结工程问题，把握住几个关键公式，所有问题只要分析清楚，都是不难的。

课后作业【基础】1.正方形边长90米，周长多少米？【巩固】.长方形周长980米，宽比长短50米，长和宽各是多少？【拔高】下图是由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，已知它的面积是400cm2，求它的周长。

五年级奥数..工程问题-有答案工程问题（二）工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1）工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3）工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．一、周期性工程问题【例 1】一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的110，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155?=，还剩下15，甲再干1小时完成整个工程的16，还剩下130，乙花13小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程．【答案】7小时20分钟【巩固】一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。

工程问题分数计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫“工程问题”..工程问题是分数应用题的特例..但它同整数应用题中的工程问题一样;同样是研究工作效率、工作时间、工作总量三者之间的关系..所不同的是在整数应用题中的工程问题;工作总量、工作效率都告诉我们具体的数量;而分数应用题中的工程问题;一般不告诉具体的工作总量;也不告诉具体的工作效率..解题的关键是根据分数的意义;把工作总量看作“1”;用完成工作总量所需时间的倒数表示工作效率..工程问题的特点：学会区分工作效率和工作总量一般工程问题都是;已知独做的工作时间或合作的工作时间;求合作的时间或独做的工作时间..分析方法：从问题入手;确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间;就用要完成的那部分工作量除以谁的工作效率..工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间甲工作效率+乙工作效率=工作效率之和总工程量—已经完成工作=剩下工作量例题1:一项工程;甲单独做需2天完成;乙单独做需3天完成..由此填空：1甲的工作效率是2乙的工作效率是3甲乙合作的工作效率是4 甲、乙队合作需要几天完成例题2：一批零件;王师傅单独做要15小时完成;李师傅单独做要20小时完成;两人合做;几小时能加工完这批零件的错误!1.一项工作;甲单独做要10天完成;乙单独做要15天完成..甲、乙合做几天可以完成这项工作的4/52.一项工程;甲独做要12天完成;乙独做要18天完成;二人合做多少天可以完成这件工程的2/3例题3：一项工程;甲独做要18天;乙独做要15天;二人合做6天后;其余的由乙独做;还要几天做完1.修一条路;甲单独修需16天;乙单独修需24天;如果乙先修了9天;然后甲、乙二人合修;还要几天2.一项工程;甲单独做16天可以完成;乙单独做12天可以完成..现在由乙先做3天;剩下的由甲来做;还需要多少天能完成这项工程3.一项工程;甲独做要12天;乙独做要16天;丙独做要20天;如果甲先做了3天;丙又做了5天;其余的由乙去做;还要几天4.一批货物;由大、小卡车同时运送;6小时可运完;如果用大卡车单独运;10小时可运完..用小卡车单独运;要几小时运完5.一项工程;甲队独做15天完成;乙队独做12天完成..现在甲、乙合作4天后;剩下的工程由丙队8天完成..如果这项工程由丙队独做;需几天完成例题：小王和小张同时打一份稿件;5小时打了这份这稿件的65..如果由小王单独打;10小时可以打完..求如果由小张单独打;几小时可以打完..1.一项工程;甲队独做要20天完成;乙队独做要5天能完成全工程的61..现由两队合做;多少天可以完成2.修一条水渠;甲队3天可以修全长的101;乙队单独修20天可以修完;如果两队合修;多少天可以修完3.有一件工程;甲独做20天可以完成这件工程的91;乙独做9天可以完成这件工程的101;甲、乙两人合做;需要几天可以完成这件工程的一半 注水问题：1.一个水池上有两个进水管;单开甲管;10小时可把空池注满;单开乙管;15小时可把空池注满..现先开甲管;2小时后把乙管也打开;再过几小时池内蓄有3/4的水 原是空池2.一个蓄水池上有甲、乙两进水管;独开甲管51小时注满水池的121;独开乙管41小时注满水池的81;若两管齐开几小时小时;可注满水池 3.蓄水池有甲、乙两个进水管;单放甲管需12小时注满;单放乙管需15小时..现在要求10小时注满;甲乙至少合作多长时间4.水池上装有甲、乙两个水管;齐开两水管12小时注满水池;若甲管开6小时;乙管开5小时;只注了水池的209..那么;单开甲或乙各需几小时才能注满水池5.有一水池上有进水管和放水管..单开进水管12小时能把水池注满;如果同时开放两管;8小时只能注满水池的31..单开放水管几小时可以把半池水放完综合分析解决：1.甲和乙两队合修一条公路;完成任务时;甲队修了这条公路的158..如果乙队单独完成要24天;甲队单独做几天完成2.一项工程;甲独做要10天;乙独做要15天;丙独做要20天..三人合做期间;甲因病请假;工程6天完工;问甲请了几天病假3.一份稿件;甲、乙、丙三人独打需要的时间分别是20小时、24小时、30小时;现在三人合打;但甲因中途另有任务提前撤出;结果用12小时完成;甲只打了多少小时4.一件工程;甲独做12天完成;乙独做4天完成..若甲先做若干天后;有乙接着单独做余下的工程;直至完成全部工程;这样前后一共用了6天..甲先做了多少天5.两队开挖运河;甲队单独挖要8天完成;乙队单独挖要12天完成..现在两队同时挖了几天后;乙队调走;余下的由甲队在3天内完成;问乙队挖了几天6.一项工程;甲独做40天完成;乙独做60天完成..现在两人合做;中间甲因病休息了若干天;所以经过27天才完成..问甲休息了几天7.完成某一项工程;甲单独干需要20天;乙单独干需要30天..现在由他们两人合干;又知甲在工作中请了3天事假;后因公事出差2天..求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天。