一笔画问题及解决策略

第十二讲一笔画问题那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做圈（如圈3 ）S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两段呱•从图Q、0>）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其中一点出发，沿着图的边走到另一点左WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求醉抉这个问题的方法。

为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊把与偶数条边相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇為G为偶点。

容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G> E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也最后到达奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出•这是为什么呢？G事实上，这并不杲偶然现象•假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终点•由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。

在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀，也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理；①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

一笔画完的规律在我们的日常生活中，一笔画问题常常出现在各种场景中，如绘画、设计等领域。

所谓一笔画，就是指在不离开纸面、不重复线段的情况下，用一笔将图形勾勒出来。

本文将探讨一笔画完的规律，帮助大家更好地理解和应用这一概念。

一、一笔画的基本概念一笔画问题可以分为两类：一类是一笔画不完的图形，另一类是一笔画完的图形。

一笔画不完的图形通常具有以下特征：1.奇数个顶点的图形：例如三角形、五边形等。

2.存在奇数条边的图形：例如正方形、六边形等。

而一笔画完的图形则具有以下特征：1.偶数个顶点的图形：例如四边形、八边形等。

2.存在偶数条边的图形：例如正五边形、正六边形等。

二、一笔画完的规律应用在了解了一笔画的基本概念和图形特征后，我们可以总结出一笔画完的规律：1.当图形的顶点数为偶数且边数也为偶数时，图形可以一笔画完。

2.当图形的顶点数为奇数且边数为奇数时，图形可以一笔画完。

这一规律可以帮助我们在实际问题中快速判断一笔画是否可以完成。

三、实例分析与解答下面我们通过实例来进一步说明一笔画完的规律。

实例1：一个四边形是否可以一笔画完？解答：可以。

因为四边形的顶点数为4，边数为4，均为偶数，所以四边形可以一笔画完。

实例2：一个五边形是否可以一笔画完？解答：不可以。

因为五边形的顶点数为5，边数为5，均为奇数，所以五边形不能一笔画完。

通过以上分析，我们可以得出结论：一笔画完的规律在于图形的顶点数和边数是否为偶数。

在实际应用中，这一规律可以为我们提供快速判断的依据，帮助我们更好地解决一笔画问题。

总之，一笔画问题具有一定的规律可循。

了解这些规律，能够使我们更好地解决与此相关的问题，提高工作和生活中的效率。

专题7 一笔画问题[读一读]不走“冤枉”路出门旅游，面对众多的，分散的景点时，总想尽量走最少的路看最多的景，为了不让重复的冤枉路弄得疲惫不堪，就必须找到一条联接各景点而又不重复的路径，一次走下去，不再回来。

数学中，一笔画的游戏能让他你得心应手地解决这个问题，一笔画，就是从图形上某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不重复。

任何图形都是由点和线组成的，图形中的点分为两大类：（1）从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点。

（2）从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点。

一个图形能否一笔画成，关键在于图中的单数点的多少。

图形中没有单数点的，一定可以一笔画成；图形中只有两个单数点的，也一定可以一笔画成；其他情况的图形，都不能一笔画成。

单数点在一笔画中只能作为起点或终点。

这可看成“一笔画”规则。

[想一想][例1]从图中给出的小黑点出发，不重复不遗漏，一笔描出这些图形，你能做到么？为什么？[剖析]先找到图中的黑点，再数清从这点出发的线有几条，再依据“一笔画规则”确定能不能一笔描出这些图形。

[解]观察图1中有3个双数点，图2中有5个双数点，图3中有2个单数点，其余是双数点，所以3幅图都可以一笔画成。

关键在于找准每个图形单数点的个数。

1、从图中小黑点出发，看能否一笔画成下列图形。

2、只用一笔描出下面的图，用箭头表示画的方向。

[解]1、可以一笔画成。

2、可以一笔画成。

[例2]看看下列图形能否一笔画成？并说说原因。

[剖析]观察图1中有2个双数点，图2中有6个双数点，都可以一笔画成。

图3中有5个双数点和4个单数点，所以不能一笔画成。

[解][练一练]1、下面的图形能一笔画出吗？为什么？①③2、下面的图形能一笔画出吗？说明理由。

[解] 1、①②因为图①和图②只有两个单数点，图③没有单数点，所以它们都可以一笔画。

2、因为图①有16个双数点，图②有8个双数点，所以这两个图形都能一笔画。

点拨：由多个图形重叠组成的新图形，数点时注意要别忘了数重叠产生的交点。

奥数问题：一笔画
一笔画问题是研究平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，且使得在每条线段上都不重复。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。

（有偶数个奇点除以二可以算出此图至少需几笔画成。

）
备注：
顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指
数。

奇顶点：指数为奇数的顶点。

可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为奇数。

偶顶点：指数为偶数的顶点。

可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为偶数。

在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范，开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。

能一笔画出并回到起点的图为欧拉图。

他发表了“一笔画定理”：
一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:图形是联通的；图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。

七桥问题一笔画解题技巧
以下是 6 条关于“七桥问题一笔画解题技巧”的内容：
1. 嘿，你知道吗？七桥问题没那么难！比如说像走迷宫一样，你得找对路径。

咱先看看那些桥的连接情况，就像你找回家的路一样，得心里有数啊！观察好每个点连接的桥数，要是奇数个，那可就得特别注意了，这不就是解题的关键吗？就像你在路上看到特殊标志一样重要！
2. 哇哦，面对七桥问题可别慌！想象一下，这就像是在编织一张网，你得理清楚那些线。

好比有条线连着三个地方，它就是重要节点呀！你得从这儿突破。

比如从这个节点开始画起，一步步试探，不就能找到答案了吗？难道不是吗？
3. 嘿呀，解决七桥问题，就如同解开一个神秘的谜题！举个例子，你看到那几座桥的分布，得像观察星座一样仔细。

找到关键的桥，然后顺着去尝试，总有办法能成功一笔画完的呀！难道你不想试试这种探索的乐趣？
4. 哎呀，七桥问题其实真的有趣极了！就仿佛在玩一个策略游戏。

比如你一开始就瞎画，那肯定不行啦！要先分析那些桥的位置关系，找对入口。

这不跟打游戏找通关技巧一样嘛！赶紧来试试吧！
5. 哈哈，面对七桥问题不用怕！可以把它想成是走一条特别的路。

比如有个地方有四座桥连着，那就是关键呀！从这儿走可能就柳暗花明了呢。

是不是觉得很有意思呀？
6. 哟呵，搞懂七桥问题的一笔画可太有意思啦！这就好似在拼图。

找对每一块的位置，像解决一个小挑战。

比如某座桥是连接两个区域的关键，抓住这点，解题就容易多啦！快自己去试试呀！
我觉得七桥问题虽然有点复杂，但只要掌握了这些技巧，真的能轻松很多，特别有意思呢！。

第五讲一笔画问题 一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图） 这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图） 经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？ 能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？ 先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连. （2）六个点，七条线.（“日”字图） A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连. 第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）. 第三组（见下图） （1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连. （3）五个点，八条线. 点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 第三组的三个图形都不能一笔画出来. 第四组（见下图） （1）这个图通常叫五角星. 五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连. （2）由一个圆及一个内接三角形构成. 三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）. （3）一个正方形和一个内切圆构成. 正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连. （四条线是两条线段和两条弧线）. 第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图） （1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连. （2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连. 第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来. 进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名： 把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点. 提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查： 从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论： ①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形. ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）. ③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； ④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则： 有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成. 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”. 用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去. 看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见： ①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。

一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

一笔画问题程序解法新探1736年瑞士数学家列昂哈德·欧拉发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”这个问题是这样的：哥尼斯城市有一条横贯全城的普雷格尔河，城的各部分用七座桥联接，每逢假日，城市的居民进行环城逛游，这样就产生了一个问题，能不能设计一个次“遍游”，使得从某地出发，对每一座跨河桥只走一次，而在遍历了七桥之后却又能回到原地．由哥尼斯堡七桥问题又引出了一个类似的一笔画问题：一个图能否从一个顶点出发不间断地画出，使得该图的每条边经过并且只经过一次，该问题经过欧拉证明得到如下定理：一个图能够一笔画出，并且每遍经过一次且只经过一次，当且仅当该图是连通的，并且有零个或两个奇数度结点．所谓奇数度结点，指的是经过一个结点的边有奇数条，否则为偶数度结点．我们以图为例来说明一笔画问题算法：第一步：将图转化成矩阵，然后再转化成计算机所能识别的表示方式，即用二数组来表示．该图用矩阵表示是：010111101010010111A =101011111100101100这是一个关于主对角线对的矩阵，矩阵中行数与列数均表示顶点的编号，如果i个顶点与第j个顶点之间有一条边，则分别将A（i，j）与A（j，i）均置为1，否则置为0，如：第一个顶点与第二个顶点之间有一条边，则将A（1，2）与A（2，1）均置为1，第五个顶点与第六个顶点之间没有边，则将A（5，6）与A（6，5）均置为0，其余以此类推．第二步：求出每个顶点的度，从中找出奇数度结点的个数，所谓顶点的度指的是与某个顶点有一条边的顶点个数；用B（I）表示第I个结点的度数，则B（I）=A（I，1）+ A（I，2）+ …+ A（I，N），Num表示奇数度结点的个数，Num的值为B（1）、B（2）…B（n）中奇数的个数之和．第三步：若B（I）=0，则从任一结点开始遍历，若B（I）=2，则从其中一个奇数度结点开始遍历，将遍历的第一个顶点编号送往t，打印t，否则该图无法一笔画，并结束．第四步：以T号顶点为起点，从A（T，1），A（T，2），…A（T，n）中找到一个值为1的数组元素A（T，J），将A（T，J）均置为1，B（J）与B（T）均自减1，将J=>T，打印T．第五步：判断B（T）是否为0，则结束。

一笔画游戏攻略（规律篇二）1. 基本定义 (2)2. 不可打破的原则 (3)2.1. 点的原则 (3)2.2. 线的原则 (3)2.3. 广义点 (3)3. 判断进线与出线 (4)3.1. 普通图案 (4)3.2. 二次线 (4)3.3. 箭头线 (5)3.4. 跳跃点 (5)3.5. 变向线 (6)3.6. 变线点 (7)3.7. 无限线 (8)3.8. 次数点 (8)4. 画图时的策略 (9)前言其实在这攻略之前，本人写过另外一篇类似的攻略。

只不过写的比较仓促，感觉写的很乱，并且没有写完，所以这次就重新再写一遍。

文中关于游戏元素的名称都是本人命名的，有一些名称可能不是很好。

一笔画游戏有很多版本，这个攻略涉及的只是其中一种，但本人相信这攻略也会适用于其他的版本。

如果读者有自己的理解也欢迎与本人交流，联系方式QQ894937015。

文中出现的错误也请多多谅解与包涵。

1.基本定义奇数点某点相连的线的数目为奇数，该点为奇数点，简称奇点。

如图1.1中的红圈点。

偶数点某点相连的线的数目为奇数，该点为偶数点，简称偶点。

如图1.1中的黑圈点。

图1.1进线进入某点的线为该点的进线。

出线从某点出发的线为该点的出线。

图1.2在图1.2中，根据提示，可知1线是A点的出线，是B点的进线。

2.不可打破的原则2.1.点的原则⒈凡是由偶点组成的图，可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后以这个点为终点完成图案。

⒉凡是有且只有两个奇点的图（其余都为偶点），可以一笔画成。

其中一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。

2.2.线的原则1，偶点的进线与出线数目相等。

2，奇点作为起点时，出线比进线多一条。

3，奇点作为终点时，出线比进线少一条。

通过生活中的例子去理解这两个原则会更加生动易理解。

打个比方，从广东到北京，每个省份就可以看做一个点，无论怎么绕，每个省份的入境次数和出境是相等的。

旅客进入湖南省后无论下个省份是哪，就必须从湖南省出去才能完成。