2.2.2 等差数列的前n项和

§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。

2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。

第一课时 等差数列的前n项和
[思路点拨] 运用方程的思想，根据已知条件建立 方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．
法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8. 所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19. 得d＝3. 所以a10＝a3＋7d＝8＋7×3＝29.
答案：A
5．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的 和为165，所有偶数项的和为150，则n＝ ( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案：B
6．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝ 10， a11＋a12＋…＋a20＝20，求a41＋a42＋…＋a50.
法二：设b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋a20
(2)“知三求二”型： 在a1，an，Sn，n，d五个量中，已知其中的三个量 ，可以由通项公式和前n项和公式建立方程组，即可以 求出另外的两个． 这两种类型是解决等差数列运算的基本方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
2．等差数列前n项和的最值问题： (1)类型．①若d>0，a1<0，则Sn有最小值；②若 d<0，a1>0，则Sn有最大值． (2)主要方法： ①二次函数法．用求二次函数的最值方法(配方法) 来求其前n项和的最值，但要注意的是n∈N＋.
，b3＝a21＋a22＋…＋a30，b4＝a31＋a32＋…＋a40，
b5＝a41＋a42＋…＋a50. ∵数列{an}是等差数列， ∴数列{bn}也成等差数列， 其中b1＝10，公差D＝b2－b1＝20－10＝10. ∴a41＋a42＋…＋a50＝b5＝10＋4×10＝50.
[例3] (12分)等差数列{an}中，Sn为前n项和，且 a1＝25，S17＝S9，请问数列前多少项和最大？

2.2.2等差数列的前n 项和1、掌握等差数列前项和公式及其推到方法；2、能够利用等差数列前n 项和公式解决一些简单的等差数列问题；3、熟练掌握等差数列中的五个基本量n n a S n d a ,,,,1之间的关系并能够做到知三求二。

一、复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式3.等差数列的性质二、新课导学※ 探索新知探究1：1.如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共7层，这堆钢管共有多少根？这个问题可以看成是求等差数列4，5，6，7，8，9，10的和。

2.1+2+3+…+100=？如何计算更简便？这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n ，…的前100项的和。

问题：我们如何求一个以a 1为首项，d 为公差的等差数列的前n 项和呢？ 设等差数列{a n }前n 项的和为S n ,即S n =a 1+a 2+…+ a n所以Sn=_______ ______(公式1，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习1：等差数列｛a n ｝中a 1=-4,a 8=-18,n=8，求S n ?当求一个等差数列前n 项和时，若知a 1，d ，但未知a n ，那又该如何求Sn 呢？刚刚学习了2)(1n n a a n S +=，an 如何用a 1，d 来表示呢？自己尝试把a n 的表达式代入？ S n =_____________(公式2，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习2：等差数列{a n }中，已知a 1=5,d=3, 求这个数列的前10项的和。

等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：两个公式的共同点是需知 a 1和 n ，不同点是前者还需知 a n ，后者还需知 d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.（知三求二） 记忆公式：用梯形面积公式记忆等差数列前n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n 项和的两个公式.例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。