2020-2021学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(A卷)

2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 322.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √53.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 149.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y =sin π2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ． 则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=1−cos 2xsinx． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）若 f (θ)=2√55，且 θ∈(π2，π) ，求tan （π-θ）的值．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ3 5π6 11π6 7π3 x −π3π 3π2 2π f （x ）2（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π3 ，求g （x ）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 32【正确答案】：C【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3−2 =- 32 ， 故选：C ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5【正确答案】：D【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ， 即| a ⃗ |= √5 ， 故选：D ．【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：A【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 【正确答案】：B【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角， 所以cosA ＜0，tanB ＞0，所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x 【正确答案】：A【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π2，π）单调递增函数，所以正确；对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π2，π）不是单调函数，所以不正确；对于C，y=cos 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；对于D，y=sin 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；故选：A．【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π4)→ y=sin(3x+π4)；② y=sinx→ y=sin(x+π12)→ y=sin(3x+π12)；③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π4)；④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4)．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．故选：D．【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 14【正确答案】：C【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √22，结合范围|φ|＜π2，可得φ= π4，又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，从而解得ω的值．【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √22，∵|φ|＜π2，∴可得：φ= π4，又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π4）=- √2，∴sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，∴解得ω=k- 14，或ω=k- 12，k∈Z，则当k=1时，ω的值为12．故选：C．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π2-α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π2-α）=cosβ，∴β=2kπ±（π2-α），k∈Z．化为：α+β= π2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π2+2kπ，k∈Z，∴“sinα=cosβ“是“α+β= π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个 【正确答案】：A【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点， 因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 只有一个， 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（7，0）【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0）， 故答案为：（7，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα4sinα−2cosα=16 ，则tanα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．【解答】：解：∵ cosα4sinα−2cosα=16 ， ∴ 14tanα−2=16 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 【正确答案】：[1]- 35【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x= 15 ，y= 45 ， 则x-y=- 35 ． 故答案为：- 35 ．【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，∴ 1 2• 2πω= 4π3- π3，∴ω=1．且π3是f（x）的最大值点，4π3是函数f（x）的最小值点，由五点法作图可得1× π3+φ= π2，∴φ= π6，故答案为：π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y=sinπ2t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．【解答】：解：（1）由题意可知sin200πt=-sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）=-sinα，∴φmin=π，（2）当t=1时，y=sinπ2=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，由图象可知H（1）=0，∴排出① ，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，若② ④ 组合，当t= 16时，H（16）=sin（2π× 16）+2sin（3π× 16）= √32+2＞3，与图象不符，∴排除④ ，∴只能是② ③ ．故答案为：π，② ③ ．【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2xsinx．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f(θ)=2√55，且θ∈(π2，π)，求tan（π-θ）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√55，得到sinθ= 2√55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）f(x)=1−cos 2xsinx = sin2xsinx=sinx，∵ f(θ)=2√55，∴sinθ= 2√55，又∵ θ∈(π2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √55，∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθcosθ=2．【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （5−12 ， −2+42）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ35π611π6 7π3x−π3π3π22πf（x） 2（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π3，求g（x）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g（x）在[0，π3]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π3），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：x π35π611π67π3x−π3π2π3π22πf（x） 2 -2 图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π3 ），∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2πω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3），令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ3，k∈Z ， 可得g （x ）的单调递增区间为[- π18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ3]，k∈Z ； （ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ， 对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1， 所以2T=1，T= 12，所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 12 ）．函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）． （Ⅱ）存在，理由如下： 由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*）， 即f （x+2n ）-f （x ）=n ， 令n=2021，得a=2n=4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0， 因为函数f （x ）满足性质P （4），由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0， 又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ）， 所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ， 函数g （t ）=tf (t )(f(4t)+1)，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1， 所以当t=2时，g （2）= 21×(1+1) =1， 当|t|＞2时， 4t ∈（-2，2），所以f （ 4t ）=0， 即|t|＞2时，g （t ）= tf (t ) ，所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= tk ， 当k≥1时，g （t ）∈[4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2k）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），此时 2k 随k 的增大而减小，所以[4- 2k+1 ，4+ 2k+1 ）⫋[4- 2k ，4+ 2k ）， 所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 21 ，4+ 21 ）=[2，6）， 当k ＜0时，g （t ）∈（4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k]， 此时 2k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2k−1 ，4- 2k−1 ]⫋（4+ 2k ，4- 2k ]， 只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2−1 ，4- 2−1 ]=（2，6]．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A∉ D.A∅∈2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B .“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D .“224x x ∃≥<,”3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C. D.46.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.2|4y x x =-B.24y x =-C.22||y x x =-+D.22y x x=-+10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A .10B.11C.12D.13第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()31f x x x =+-的定义域为__________.12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17.已知函数1,0()2,0xx x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A ∉D.A∅∈【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可求解.【详解】因为{}Z 3A x x =∈<，所以3,0A A ∉∈，而∅是集合，与A 的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.故选:A2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D.“224x x ∃≥<,”【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.【详解】命题“22,4x x ∀≥≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“22,4x x ∀≥≥”的否定是：224x x ∃≥<,.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x =C.3y x =D.1y x=-【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A ，B ，C ；举反例可判断D.【详解】对于A ，当0c =时，则a b >时，22ac bc =，A 错误；对于B ，若a b >，则112a b b ->->-，B 错误；对于C ，若22a bc c>，则0c ≠，即20c >，故a b >，C 正确；对于D ，若a b >，不妨取若12a b =->=-，则22a b <，D 错误，故选：C5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C.D.4【答案】A 【解析】【分析】由幂函数所过的点求得()f x =，进而求(4)f .【详解】令()a f x x =，则1(2)22af a ===，则()f x =所以(4)2f ==.故选：A6.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤，又[]2,0-(],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立，由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立，所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件.故选：B7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．【详解】对于①，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性，故①错误；对于②，同时满足任意性与唯一性，故②正确；对于③，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性，故③错误；对于④，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题．8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分1a >和01a <<两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可【详解】当=1x -时，代入射线得2y =，若01a <<，指数函数()x f x a =的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当=1x -时，12y a -=≥，所以102a <≤，若1a >，则可知两图象在第一象限一定有交点，综上，102a <≤或1a >，故选：D9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.|y x =B.y =C.y =D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，而y =，y =满足；||y x =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，2222x y +=≤=，当且仅当x =，即x =y =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，1y ==≤，当1x =时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.10 B.11C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意保证各集合中n A X M m =-尽量小，结合已知和集合的性质有n 最大时()12312n A A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，进而分析n 的取值即可.【详解】由题意1A ，2A ，3A ，L ，n A 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n 最大，则各集合中n A X M m =-尽量小，所以集合1A ，2A ，3A ，L ，n A 中的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设10A X =，21A X =，32A X =，L ，1n A X n =-，则有()12312nA A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，当11n =时，1235562n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=<，当12n =时，1236662n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=>，所以只需在11n =时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可，故n 的最大值为11.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()1f x x =-的定义域为__________.【答案】[3,1)(1,)-⋃+∞【解析】【分析】由函数解析式，结合根式、分式的性质求定义域.【详解】由题设30310x x x +≥⎧⇒≥-⎨-≠⎩且1x ≠，所以函数定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞.故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．【答案】2-【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】()1130227438π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭()1313223212-⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13212-=--13122=--2=-，故答案为：2-.13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．【答案】①.7②.5【解析】【分析】通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解【详解】因为44=3343733y x x x x =+-++≥+=--，当43=3x x --时等号成立，此时5x =故y 最小值为7,当y 取得最小值时x 的值为5，故答案为：7,5.14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）【答案】1-【解析】【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有2Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ，所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞ 时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题，故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞ ）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【解析】【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，所以1(0)(0)f f =，即(0)1f =或1-，故①正确；不妨取()1f x =，则1()1()f x f x -==，即()()f x f x -=恒成立，所以()f x 是偶函数，故②错误；设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x -<-<，所以21()()f x f x -<-，即21110()()f x f x <<，所以12()()f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，故③正确；不妨取,0()1,01,0x x f x x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩，则满足1()()f x f x -=，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- （2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）若4m =，代入集合B ，由补集交集并集的定义，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种类型，求实数m 的取值范围.【小问1详解】4m =时，{}35B x x =<<，又{}14A x x =-≤≤，()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- .【小问2详解】当B A ⊆时，当B =∅时，则123m m -≥-，得2m ≤满足题意当B ≠∅时，则12323411m m m m -<-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得722<≤m 综上：实数m 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦17.已知函数1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.【答案】（1）322（2）作图见解析，减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+（3）[]7,3-【解析】【分析】（1）根据分段函数代入求值；（2）直接作出函数的大致图象并写出单调区间；（3）对x 分段讨论，代入相应的解析式求解不等式.【小问1详解】由1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩得3211313(1,(())()222222f f f f -=+=-==.【小问2详解】()1,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，所以()f x的图象如下图所示，由图可知,()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【小问3详解】由()8f x ≤可得018x x ≤⎧⎨-+≤⎩或028x x >⎧⎨≤⎩，解得70x -≤≤或03x <≤，所以x 的取值范围是[]7,3-.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）1[0,4【解析】【分析】（1）利用奇函数定义证明；（2）根据单调性定义证明；（3）作出()g x 的图象，观察图象得答案.【小问1详解】函数1()4f x x x=+为奇函数.证明：定义域{}|0x x ≠，因为{}|0x x x ∀∈≠，都有{}|0x x x -∈≠，且11()4()(4)()()f x x x f x x x -=-+=-+=--，所以函数1()4f x x x=+为奇函数.【小问2详解】函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.任取121,[,)2x x ∈+∞，1212x x ≤<，则()()21212111(4(4)f x f x x x x x -=+-+()2121124x x x x x x -=--()12211241x x x x x x -=-⋅因为210x x ->,120x x >，12410x x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.【小问3详解】t 的范围10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，理由如下：14,0,()5,0,14,0,x x x g x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩先证明函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.任取121,(0,]2x x ∈，12102x x ≤<<，则()()()1221211241x x f x f x x x x x --=-⋅，因为210x x ->，120x x >，12410x x -<，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.根据()f x 的单调性与奇偶性可以作出()g x的图象如下：计算可知：11()()544g g =-=，由图可知，当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，t 的取值范围为1[0,]4.19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．【答案】19.1和3；20.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题意确定1是2(31)3=0ax a x -++的一个根，从而求出1a =，进而求解()0f x =即可；（2）先讨论当0a =时求解不等式，在0a ≠时求得方程(1)(3)0ax x --=的两根为1,3a，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可.【小问1详解】因为()0f x <的解集是{}|1x x k <<，所以1是2(31)30ax a x -++=的一个根，所以(31)30a a -++=，解得1a =，所以2()43f x x x =-+.令2()430f x x x =-+=，解得1213x x ==，，所以()f x 的零点为1和3.【小问2详解】因为()0f x >，即2(31)30ax a x -++>，所以(1)(3)0ax x -->，当0a =时，30x -+>，解得3x <；当0a ≠时，方程(1)(3)0ax x --=的两根为121,3x x a==，当a<0时，()y f x =开口向下，且13a<，解得13x a <<；当103a <<时，()y f x =开口向上，且13a>，解得3x <或1x a >；当13a =时，()y f x =开口向上，且13a=，解得3x ≠；当13a >时，()y f x =开口向上，且13a <，解得1x a<或3x >；综上所述，当0a =时，解集为{}|3x x <；当a<0时，解集为1|3x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当103a <<时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当13a =时，解集为{}|3x x ≠；当13a >时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<，解得218n <<由N n +∈，设备企业从第3年开始盈利（2）方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =故方案一共总利润16010170+=，此时10n =方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯=≤，当且仅当6n =时等号成立故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A B ==-（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当()34=+f x x 时，直接解方程()f x x =、()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，可得出集合A 、B ；（2）分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取0x A ∈，由“稳定点”和“不动点”的定义证得0x B ∈，即可得出结论；（3）分0a >、a<0两种情况讨论，在第一种情况下，推导出()f x x >，结合不等式的基本性质可得出()f f x x >⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅；在第二种情况下，推导出()f x x <，结合不等式的基本性质可得出()f f x x <⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅.综合可证得结论成立.【小问1详解】解：由()34f x x x =+=，可得2x =-，即{}2A =-，由()()3344916f f x x x x =++=+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =-，即{}2B =-.故当()34=+f x x 时，{}2A B ==-.【小问2详解】证明：当A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，对任意的0x A ∈，()00f x x =，则()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，所以，0x B ∈，因此，A B ⊆.综上所述，A B ⊆.【小问3详解】证明：因为A =∅，则关于x 的方程()20ax bx c x a ++=≠无实解，即方程()210ax b x c +-+=无实解，则()2140b ac ∆=--<，构造函数()()21g x ax b x c =+-+，①当0a >时，函数()g x 的图象恒在x 轴上方，即对任意的x ∈R ，则()f x x >恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，即()0f f x x ->⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅；②当a<0时，函数()g x 的图象恒在x 轴下方，即对任意的x ∈R ，则()f x x <恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦，即()0f f x x -<⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅.综上所述，当A =∅时，B =∅.【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分0a >、a<0两种情况分析，确定()f x 与x 之间的大小关系，进而可得出()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的大小，从而证出结论成立.。

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一语文（A）练习时间：150分钟2023.11本练习共13页，150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面的两则材料，完成1－5题。

材料一从基层上看去，中国社会是乡土性的。

那些被称为土头土脑的乡下人，他们才是中国社会的基层。

我们说乡下人土气，虽则似乎带着几分藐视的意味，但这个土字却用得很好。

土字的基本意义是指泥土。

乡下人离不了泥土，因为在乡下住，种地是最普通的谋生办法。

以现在的情形来说，这片大陆上最大多数的人是拖泥带水下田讨生活的了。

我们不妨缩小一些范围来看，三条大河的流域已经全是农业区。

而且，据说凡是从这个农业老家里迁移到四围边地上去的子弟，也老是很忠实地守着这直接向土里去讨生活的传统。

最近我遇着一位到内蒙旅行回来的美国朋友，他很奇怪的问我：你们中原的乡下人去了，到了这最适宜于放牧的草原，依旧锄地播种，一家家划着小小的一方地，种植起来，真像是向土里一钻，看不到其他利用这片地的方法了。

我记得我的老师史禄国先生也告诉过我，远在西伯利亚，中国的乡下人住下了，不管天气如何，还是要下些种子，试试看能不能种地。

直接靠农业来谋生的人是粘着在土地上的。

我遇见过一位在张北一带研究语言的朋友。

我问他说在这一带的语言中有没有受蒙古语的影响。

他摇了摇头，不但语言上看不出什么影响，其他方面也很少。

他接着说：“村子里几百年来老是这几个姓，我从墓碑上去重构每家的家谱，清清楚楚的，一直到现在还是那些人。

乡村里的人口似乎是附着在土上的，一代一代的下去，不太有变动。

”——这结论自然应当加以条件的，但是大体上说，这是乡土社会的特性之一。

我们很可以相信，以农为生的人，世代定居是常态，迁移是变态。

大旱大水，连年兵乱，可以使一部分农民抛井离乡；即使像抗战这样大事件所引起基层人口的流动，我相信还是微乎其微的。

不流动是从人和空间的关系上说的，从人和人在空间的排列关系上说就是孤立和隔膜。

北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试化学（A 卷）考试时间：90分钟可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 N-14 Cl -35.5 Mg-24 Al -27第I 卷（选择题 共42分）本部分共21小题，每小题2分，共42分。

每小题只有一个选项正确，请把正确的选项填涂在答题卡上。

1．下列描述中涉及将化学能转化为电能的是2．2021年我国科学家首次合成新核素21492U ，下列说法不正确．．．的是 A. 21492U 原子核内质子数为92 B. 21492U 原子核内中子数为122C.21492U 原子核外电子数为92 D. 21592U 转化成21492U 属于化学变化3．下列元素的原子半径最小的是4．下列物质中，既含有离子键又含有共价键的是5．下列化学用语或图示表达不．正确．．的是 6．某元素气态氢化物的化学式为XH 3，该元素的最高价氧化物对应水化物的化学式是7．下列性质的比较，不能．．用元素周期律解释的是 8．下列关于卤族元素的叙述中，正确的是A ．从氯到碘，卤素单质的熔点、沸点逐渐降低A ．水力发电B ．汽车的燃料电池C ．甲烷燃烧D. 电解水制氢气A ．ClB ．NaC ．SD ．AlA ．KOHB ．H 2SO 4C ．MgCl 2D ．Na 2OA ．Cl 的最高价氧化物化学式：Cl 2O 7B ． 硫元素的原子结构示意图:C ．水分子的空间结构示意图：D ．CO 2的电子式：A ．H 2XO 3B ．HXO 3C ．H 2XO 4D ．HXO 4A ．还原性：S 2－ > Cl －B ．酸性：H 2SO 4 < HClO 4C ．热稳定性：Na 2CO 3 > NaHCO 3D ．氢化物的稳定性：H 2S < H 2O2 8 6 +16B ．从氯到碘，卤素单质与氢气反应越来越容易C ．还原性：F －> Cl －> Br －> I－D ．溴单质和碘单质在四氯化碳中分别呈现橙色和紫色9．一定温度下，在2L 的密闭容器中，X 、Y 、Z 三种气体的物质的量随时间变化的曲线如图所示，下列描述不．正确．．的是 A ．该反应中，X 和Z 是反应物，Y 是生成物 B ．该反应为可逆反应 C ．6 min 时反应达到平衡状态D ．10 min 内，用Z 表示的反应速率为0.03 mol·L -1·min -1 10．下列说法中，正确的是A ．非金属元素不可能形成离子化合物B ．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应C ．化学反应过程中，化学键断裂吸收能量，化学键形成释放能量D ．反应物的总能量高于生成物的总能量发生反应时需要吸收能量 11．下列物质属于共价化合物的是① HCl ① NH 4Cl ① N 2 ① NaOH ① CaCl 2 ① H 2O 2 ① NaF ① CO 2 12．一定温度下，在恒容密闭容器中发生反应2HI (g)I 2 (g ）+H 2 (g ），当HI 、I 2、H 2 的浓度不再变化时，下列说法正确的是 13．一种适合外出旅游时使用的“即食即热快餐”，其外层分别包装了两种化学物质，使用时两种物质接触并反应，对食物进行加热。

丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高一语文（A）练习时间：150分钟（答案在最后）2024.4 本练习共13页，150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面的两则材料，完成1-5题。

材料一墨作为书写工具，同时也是重要的文化传承载体，已有几千年的历史。

殷商时代的甲骨文就以石墨、朱砂填色。

汉代纸料发明后，出现了一种以漆烟和松煤制成的丸状墨，这是日后用墨的滥觞。

唐代是文化交流最广泛的朝代之一。

唐末奚超避乱至歙州，见此地多松且质优，新安江水质极佳，因此留在此地制墨。

因墨的主产区为歙州，故得名“歙墨”。

其后奚超之子改进捣烟、和胶的方法，制成了“拈来轻、嗅来馨、磨来清”“丰肌腻理、光泽如漆”的佳墨。

制墨工艺的改进，让书写更加流利，也加快了文化的传播速度。

宋室南渡后，宋墨的制作技艺臻于成熟。

宣和三年（1121），歙州改成徽州，“徽墨”之名正式诞生。

明代徽墨进入了发展的黄金时期。

先进的桐油烟与漆油的制墨方法被广泛应用。

徽墨普遍加入麝香、冰片、熊胆等十几种贵重原料，使墨的质地达到新的水平。

竞争使徽墨在工艺进步的同时也提升了造型设计能力和墨模的雕刻技术。

徽墨呈现出艺术品的潜质，也带动了从事艺术的文化人士投身工艺品创作的潮流。

清代徽墨的发展虽不及明代的规模，但陆续出现了曹素功、胡开文等制墨名家。

这一时期徽墨出现了集锦种类的墨，墨雕题材也更加丰富。

墨雕题材多取自山川、建筑、风光、典籍、典故、儒家、道家、佛家等，少则几锭为一套，多则几十锭为一套，徽墨成为多种文化元素的载体。

作为传统工艺制品，徽墨因其装饰图案文化内容丰富，兼具实用与欣赏功能。

徽学中的新安理学以“经世致用”“知行合一”的实践理性精神成为徽州文化的思想基础，儒家的社会伦理纲常、个人忠孝节义则是徽州人处世安身的精神支柱。

徽墨与徽州其他艺术一样具有象征性和教育性，即通过某一特定的具体形象以表现与之相似或相近的概念、思想和感情，对后世有一定的教育意义。

丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高一生物学（A卷）考试时间：90分钟第I卷（选择题共50分）本部分共35小题，1～20 题每小题1分， 21～35题每小题2分，共50 分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．在豌豆杂交实验中，为防止自花授粉，应A．将花粉涂在雌蕊柱头上 B．除去未成熟花的雄蕊C．采集另一植株的花粉 D．人工传粉后套上纸袋2．某生物的基因型为AaBb，这两对基因的遗传符合自由组合定律。

该生物测交后代中，与其两个亲代基因型都不同的个体所占的百分比是A．25% B．50% C．75% D．100%3．某动物的基因型为AaBb，这两对基因的遗传符合自由组合定律。

若它的一个精原细胞经减数分裂（不考虑染色体互换）后产生的四个精细胞中，有一个精细胞的基因型为AB，那么另外三个的基因型分别是A．Ab、aB、ab B．AB、ab、abC．ab、AB、AB D．AB、AB、AB4．进行有性生殖的生物，对维持其前后代体细胞染色体数目恒定起重要作用的是A．有丝分裂与受精作用 B．细胞增殖与细胞分化C．减数分裂与受精作用 D．减数分裂与有丝分裂5．如图为水稻花粉母细胞减数分裂某一时期的显微图像，关于此细胞的叙述正确的是A．含有24条染色体B．处于减数第二次分裂C．没有同源染色体D．姐妹染色单体正在分离6. 鸡羽毛的颜色受两对等位基因控制，芦花羽基因B对全色羽基因b为显性，位于Z 染色体上，且W染色体上无相应的等位基因；常染色体上基因T存在时B或b控制的性状才可表现，tt为白色羽。

一只芦花羽雄鸡与一只白色羽雌鸡交配，子代表现型及其比例为芦花羽：全色羽=1:1，则两个亲本的基因型为A.TtZ B Z b×ttZ b WB.TTZ B Z b×ttZ b WC.TtZ B Z B×ttZ B WD.TTZ B Z b×ttZ B W7.鳟鱼的眼色和体色分别由两对等位基因控制。

丰台区2020-2021学年度第二学期期中考试联考高二物理（A卷）考试时间：90分钟第I卷（选择题共42分）一、单项选择题（每小题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

）1.关于简谐运动，下列说法正确的是（）A. 简谐运动中位移方向总与回复力方向相反B. 简谐运动中位移方向总与速度方向相反C. 物体所受的回复力始终指向平衡位置，方向不变D. 单摆在任何情况下的运动都是简谐运动2．如图所示，一恒力F与水平方向的夹角为θ，作用在置于光滑水平面上、质量为m的物体上，使物体由静止开始运动，经时间t物体的速度大小为v，重力加速度大小为g，则恒力F在时间t内的冲量大小为（）A．mv B．FtC．Ft cosθD．（mg-F sinθ）t3. 如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。

以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8 s，OM=ON=10 cm。

当t=0时刻，将小球由N点静止释放。

关于小球的运动，下列说法正确的是（）A. 简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）mB. 每次通过同一位置时，速度一定相同C. 从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小D.从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能4. 如图所示是一质点做简谐运动的图像，则该质点（）A. 在0～0.01 s内，速度与回复力方向相反B. 在0.01 s～0.02 s内，速度与加速度方向相同C. 在0.025 s时，速度方向为正D. 在0.04 s时，速度最大，回复力为零5．如图为一单摆的共振曲线，下列说法正确的是（）A．该单摆的固有周期为2sB．该单摆的摆长约为2 mC．将该单摆从地球搬到月球上，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大D．若摆长增大，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大6. 关于波的描述，下列说法正确的是（）A. 当两列波发生干涉时，如果两列波的波峰在某点相遇，则该处质点的位移始终最大B. 声波容易绕过障碍物传播是因为声波波长较长，容易发生衍射C. 当机械波发生反射时，其频率不变，波长、波速均发生变化D. 当接收者远离波源时，波源发出的频率变低7. 如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时的波形图，波的周期T＞0.6 s，则（）A．波的周期为0.8 sB．t＝0.6 s时，P点的速度最大C．在t＝1.2 s时，P点沿y轴正方向运动D．在t＝1.2 s时，Q点到达波峰位置8. 水平放置的弹性长绳上有一系列均匀分布的质点1、2、3、……．使质点1沿竖直方向做简谐运动，振动将沿绳向右传播，从质点1经过平衡位置向上运动时开始计时，当振动传播到质点13时，质点1恰好完成一次全振动．则此时关于质点10的运动，下列说法正确的是（）A．位移为零B．加速度为最大值C．正向下运动D．加速度为零9. 一个质量为2 kg的物块在合力F的作用下从静止开始沿直线运动，F随t变化的图线如图所示，则（）A. 前3 s内合力F的冲量大小为0B.t=1 s时，物块的速率为2 m/sC. t=2 s时，物块的动量的大小为2 kg·m/sD. 前4 s 内动量的变化量大小为2 kg·m/s10. 如图所示，用铁锤打击弹性金属片后，小球A做平抛运动，小球B从同一高度同时做自由落体运动。

丰台区2021-2022学年度第二学期期中练习高一英语（A卷）第I部分：知识运用（共两节，30分）第一节：完形填空（共10小题, 每小题1.5分，共15分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

On my way home, I saw a poor old man selling soaps. I was moved by his condition—perhaps he was the only one ____1____ his family? But I soon shook off the ____2____ —there’s nothing I can really do for him.Just then, a lady went up and bought every bar of soap he was carrying. The old man’s eyes lit up and he left happily.The woman, on the other hand, crossed the road and ____3____ the bag full of soaps on the street with a sign saying “For Free”. Then she boarded the same bus as I did and took the seat next to mine. The curious incident____4____ me so I couldn’t help but ask her about the strange act.“Excuse me, may I ask why you did that near the bus stop?” I said.“Oh, I walk this road every day and noticed this man many times. I tried to offer him some money but he____5____. He said he wanted to earn it through hard work and not ____6____. He’s a very honest man. He was content with whatever he earned for the day. So I bought all his soap bars to help him in a way that ____7____ his dignity(尊严). I left them on the road in order that those who need them can ____8____ themselves.”I reached home feeling a lightness and hope that humanity is not ____9____ after all. A little thought and a little ______10______ are often worth more than a great deal of money.1. A. leaving B. improving C. supporting D. changing2. A. stress B. fear C. anger D. sadness3. A. placed B. returned C. packed D. collected4. A. depressed B. puzzled C. excited D. satisfied5. A. refused B. doubted C. escaped D. missed6. A. luck B. award C. pity D. patience7. A. admires B. protects C. challenges D. examines8. A. help B. trust C. respect D. enjoy9. A. hidden B. wasted C. judged D. lost10. A. interest B. kindness C. courage D. dream第二节：语法填空（共10小题, 每小题1.5分，共15分）（答案写在答题纸上）A阅读下列短文，根据短文内容填空。

丰台区2022-2023学年度第二学期期中考试联考高一物理（A 卷）考试时间：90分钟第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

） 1．关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（ ）A ．物体的速度、加速度一定都随时间在改变B ．物体位移的大小可能等于路程C ．物体所受的合力一定是变化的D ．物体所受的合力方向与速度方向不可能在同一条直线上2．用如图所示装置研究物体做曲线运动的条件。

小铁球以图甲所示的初速度v 0在水平桌面上运动，忽略阻力，要使小铁球沿图乙中曲线所示轨迹运动，磁铁应该放在（ ）甲 乙A ．位置AB ．位置BC ．位置CD ．位置D3．2022年9月17日北京市龙舟大赛在卢沟桥晓月湖公园举行。

假设某龙舟队要渡过40 m 宽的河，龙舟在静水中的速度为 4 m/s ，河水的速度为 3 m/s 。

下列说法正确的是（ ）A ．龙舟不能渡过河B ．龙舟不能垂直到达对岸C ．龙舟渡河的最短时间为 10 sD ．龙舟渡河的速度一定为 5 m/s请阅读下述文字，完成第4题、第5题。

投掷飞镖是常见的游戏活动。

如图所示，某同学在练习投飞镖，已知飞镖出手点的位置比飞镖盘的圆心高，飞镖以水平初速度v 0投出，击中飞镖盘圆心正下方某处。

不计空气阻力。

4．关于飞镖的运动，下列说法正确的是（ ）A ．运动过程中飞镖的速度大小可能不变B ．运动过程中飞镖的速度方向可能不变C ．运动过程中飞镖的加速度越来越大D ．运动过程中飞镖的加速度保持不变A BDCv 0ABC5. 如果想击中飞镖盘圆心，该同学可以采取的措施是（ ）A ．掷出位置不变，适当增大初速度v 0B ．换用质量稍大些的飞镖C ．保持v 0的大小和出手点的高度不变，适当增大飞镖出手点到靶的水平距离D ．保持v 0的大小和飞镖出手点到靶的水平距离不变，掷出位置适当降低一些 6．自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A 、B 、C ，如图所示，自行车正常骑行匀速行驶时，下列说法正确的是（ ）A ．B 点的线速度大于A 点的线速度 B ．C 点的角速度大于B 点的角速度C ．A 点的向心加速度大于B 点的向心加速度D ．C 点的向心加速度大于A 点的向心加速度 请阅读下述文字，完成第7题、第8题。

丰台区2022-2023学年度第一学期期中练习高一语文（A卷）（练习时间：150分钟）一、本大题共5小题，共17分。

阅读下面两则材料，回答问题。

材料一近年来，人们对于环保能源的需求迫在眉睫．．．．，各个国家都在积极研发各种绿色环保的能源来替代传统能源。

传统的化石燃料大多消耗于交通运输业，而电动汽车能有效地节省化石燃料，减轻对环境的污染。

不过电动汽车目前有一个显著的缺点，就是不便长途驾驶，这也是令很多研发人员头疼的问题。

孟菲斯是瑞典的一名电力工程师，他一直专注于新型环保能源的开发，为了让电动汽车能适应所有的场合，他想了很多办法，对汽车上的电瓶做了很多优化和升级，但即使电瓶的容量再大、使用再持久，也总会有耗尽的时候，这仍然限制了电动汽车的便捷性。

正如有人所说：“在没有充电设备的路段，耗尽电力的电动汽车一文不值．．．．。

”“那如果公路能充电呢？走到哪儿充到哪儿！”孟菲斯说道。

其实这个主意并不是心血来潮．．．．，早在几年前，孟菲斯就曾思考过这个方案，不过并没有展开研发。

经过多年的深思熟虑，孟菲斯把这个方案正式上报给了所属机构，得到了全力支持，机构成立了项目研究团队，决定彻底解决电动汽车的使用局限问题。

2018年，瑞典开通了第一条“充电公路”。

公路通过车辆底部连接的一根移动充电臂，将电力从地下轨道输送给车辆电池。

这听起来似乎有点危险，但项目研究团队称，它的危险程度极低。

这条充电公路由许多节50米的路段构成，每节路段独立供电，只给在该节路段上行驶的车辆充电。

为确保安全，车辆停下来时，电力自动切断。

“针对未来建设，瑞典政府的公路部门已经绘制了规划草图。

所以这只是第一步，以后我们一定能做得更好。

”孟菲斯对此深信不疑．．．．。

材料二中国是最早拥有太阳能高速公路的国家之一。

齐鲁交通发展集团在山东济南投资建设了全球首条高速光伏公路，公路全长近2公里。

高速光伏公路的路面由一块块看似“玻璃”的光伏板组成，但行走在上面摩擦力十足。

北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期中考试语文（A卷）一、现代文阅读阅读下面的材料，完成下面小题。

材料一2022年暑期，电视剧《梦华录》在全国热播。

此剧生动展现了宋代的市井生活与民俗文化，其中，宋代的茶文化被精致地呈现出来。

女主角赵盼儿与胡掌柜斗茶的一幕格外精彩：镜头中，摆满茶碾、茶盏等茶具的桌前，赵盼儿先是以舞蹈功夫来配合制茶，接着在点茶时，她用茶盏奏出了《阳关三叠》的乐曲，而后表演了在茶汤上绘画的技艺“茶百戏”。

这段剧情引发了不少观众对宋代美学、中国传统茶文化的关注与讨论。

古代烹茶有“唐煎宋点”之说，说的是唐人品茶以煎茶为主，而宋时茶的品饮技艺，已由煎茶发展为点茶。

点茶是一项技艺性很强的沏茶方式。

点茶时，将已经碾细的茶末直接投入茶盏，然后冲入沸水，这时水要喷泻而入，不能断断续续。

就在一只手往茶盏注入沸水之际，另一只手则持特制茶筅击拂，回旋搅打，最终使茶粉与沸水交融，茶汤表面泛起一层覆满盏面的汤花。

如此不断地运筅、击拂、泛花，使点茶进入美妙境地。

在点茶过程中，茶汤浮面出现的变幻，又使点茶派生出一种游戏，古人称之为茶百戏，又称分茶或汤戏。

北宋陶谷《清异录》载：“近世有下汤运匕，别施妙诀，使汤纹水脉成物象者，禽兽、虫鱼、花草之属，纤巧如画，但须臾即就散灭。

此茶之变也，时人谓之‘茶百戏’。

”此载表明“茶百戏”就是由宋人点茶时派生出来的一种茶艺游戏。

“茶百戏”虽出自点茶，但着重点与之不同。

“茶百戏”讲究“技”，更注重“艺”，这个“艺”，就是使茶汤表面显现出变幻的纹饰图案。

现存很多宋人诗词中，我们能看到“分茶”之称，不见“茶百戏”或“汤戏”，这也许是因为其起初俗称“茶百戏”，而文人参与后又给它起了“分茶戏”的雅名，并简称“分茶”。

宋代茶百戏，将茶饮注入精神和文化，实用和审美兼得，增强了茶艺活动的趣味性和生动性，在当时非常盛行，连边境内外的少数民族包括辽、金的茶饮方式都深受影响。

元代后茶百戏逐渐衰落，虽然明代仍有分茶遗韵，但随着朝代的更替，茶百戏这颗明星如流星陨落般消失于历史的长河。

2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）复数z=-2+i的虚部为（）A.2B.-2C.1D.i2.（单选题，4分）已知点A（1，2），B（-1，0），则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A.（2，0）B.（2，2）C.（-2，-2）D.（0，2）3.（单选题，4分）要得到函数y=sin（2x+ π2）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A.向右平移π2个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向左平移π4个单位长度4.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.（单选题，4分）已知0＜α＜π2，且cosα= √55，那么tan（α+ π4）等于（）A.-3B.3C.-2D.26.（单选题，4分）如图，在6×6的方格中，已知向量a，b⃗，c的起点和终点均在格点，且满足向量a =x b⃗ +y c（x，y∈R），那么x-y=（）A.0B.-2C.1D.27.（单选题，4分）已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ || CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 (0，π2) 上为增函数的是（ ） A.y=sin2x B.y=cos2x C.y=tanx D.y=sin x29.（单选题，4分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，acosB=bcosA ，则△ABC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形10.（单选题，4分）如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30°，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75°，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）A.5千米B. 5√2 千米C.4千米D. 4√2 千米11.（填空题，4分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题，4分）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（2，1），则复数 z =___ ． 13.（填空题，4分）若A （-1，-2），B （4，8），C （5，x ），且A 、B 、C 三点共线，则x=___ ．14.（填空题，4分）在△ABC 中，已知b=2，A=45°，C=75°，则c=___ ．15.（填空题，4分）已知 a =（1，0）， b ⃗ =（5，5），则向量 a 在向量 b ⃗ 方向上的投影向量的坐标为___ ．16.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {cosx ，−π≤x ＜0，sinx ，0≤x ≤π， 给出下列三个结论：① f （x ）是偶函数；② f （x ）有且仅有3个零点； ③ f （x ）的值域是[-1，1]． 其中，正确结论的序号是___ ．17.（问答题，9分）已知向量 a 与 b ⃗ ， a =（1，0）， b ⃗ =（-2，1）． （Ⅰ）求2 a - b⃗ ； （Ⅱ）设 a ， b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值； （Ⅲ）若向量k a + b ⃗ 与 a +k b ⃗ 互相平行，求k 的值．18.（问答题，9分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b= √15，c=3，cosB=- 16（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19.（问答题，9分）已知平面向量a，b⃗，| a |=2，| b⃗ |=1，且a与b⃗的夹角为π．3（Ⅰ）求a• b⃗；（Ⅱ）求| a +2 b⃗ |；（Ⅲ）若a +2 b⃗与2 a+λ b⃗（λ∈R）垂直，求λ的值．20.（问答题，9分）已知函数f（x）=2sinxcosx+ √3 cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-k在[0，π42020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）复数z=-2+i的虚部为（）A.2B.-2C.1D.i【正确答案】：C【解析】：直接利用复数的基本概念得答案．【解答】：解：复数z=-2+i的虚部为1．故选：C．【点评】：本题考查复数的基本概念，是基础题．⃗⃗⃗⃗⃗ =（）2.（单选题，4分）已知点A（1，2），B（-1，0），则ABA.（2，0）B.（2，2）C.（-2，-2）D.（0，2）【正确答案】：C⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解析】：根据平面向量的坐标表示，求出AB【解答】：解：点A（1，2），B（-1，0），⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-1，0-2）=（-2，-2）．则AB故选：C．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）3.（单选题，4分）要得到函数y=sin（2x+ π2A.向右平移π2个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向左平移π4个单位长度【正确答案】：D【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：只要将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+ π2）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：B【解析】：按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】：解：∵z=i（1+2i）=i+2i=-2+i，∴复数z所对应的点为（-2，1），故选：B．【点评】：本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．5.（单选题，4分）已知0＜α＜π2，且cosα= √55，那么tan（α+ π4）等于（）A.-3B.3C.-2D.2【正确答案】：A【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．【解答】：解：已知0＜α＜ π2 ，且cosα= √55 ， 所以 sinα=√1−cos 2α=2√55 ， 则 tanα=sinαcosα=2 ，所以 tan (α+π4)=1+tanα1−tanα=−3 ． 故选：A ．【点评】：本题考查知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.（单选题，4分）如图，在6×6的方格中，已知向量 a ， b ⃗ ， c 的起点和终点均在格点，且满足向量 a =x b ⃗ +y c （x ，y∈R ），那么x-y=（ ）A.0B.-2C.1D.2【正确答案】：A【解析】：可作单位向量 i ， j ，从而可用单位向量 i ， j 表示向量 a ， b ⃗ ， c ，根据平面向量基本定理可得出关于x ，y 的方程组，解出x ，y 的值，从而计算x-y ．【解答】：解：如图所示，作单位向量 i ， j ， 则： a =2 i - j ， b ⃗ =2 i +2 j ， c =2 i -4 j ； ∴x b ⃗ +y c =（2x+2y ） i +（2x-4y ） j ， 又 a =x b ⃗ +y c ，∴2 i - j =（2x+2y ） i +（2x-4y ） j ， ∴ {2=2x +2y−1=2x −4y，解得 {x =12y =12 ，∴x -y=0． 故选：A ．【点评】：该题考查平面向量的基本定理，利用实数λ1，λ2的唯一性解决问题，属于基础题型．7.（单选题，4分）已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ || CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：根据必要条件、充分条件的定义即可判断．【解答】：解：由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ || CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可不一定推出四边形ABCD 为平行四边形， 但由四边形ABCD 为平行四边形一定可得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ || CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ || CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要而不充分条件， 故选：B ．【点评】：本题主要考查对xl 共线定理，平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．8.（单选题，4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 (0，π2) 上为增函数的是（ ） A.y=sin2x B.y=cos2xC.y=tanxD.y=sin x2【正确答案】：C【解析】：利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：在区间（0，π2）上，2x∈（0，π），y=sin2x没有单调性，故排除A．在区间（0，π2）上，2x∈（0，π），y=cos2x单调递减，故排除B．在区间（0，π2）上，y=tanx单调递增，且其最小正周期为π，故C正确；根据函数以π为最小正周期，y=sin x2的周期为2π12=4π，可排除D．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．9.（单选题，4分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，acosB=bcosA，则△ABC 的形状为（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【正确答案】：D【解析】：把已知的等式利用正弦定理化简后，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到A=B，根据等角对等边可得此三角形为等腰三角形．【解答】：解：∵ asinA = bsinB=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，∴acosB=bcosA变形得：sinAcosB=sinBcosA，整理得：sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴A-B=0，即A=B，则△ABC为等腰三角形．故选：D．【点评】：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的判定，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 10.（单选题，4分）如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30°，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75°，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）A.5千米B. 5√2 千米C.4千米D. 4√2 千米 【正确答案】：B【解析】：由题意，利用正弦定理即可求得BC 的值．【解答】：解：由题意知，在△ABC 中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°， 由正弦定理得 BC sin30° = 10sin45° ， 解得BC=10×12√22 =5 √2 ．∴B 处与地面目标C 的距离为5 √2 千米． 故选：B ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．11.（填空题，4分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] DC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】：由题意利用两个向量的加减法法则，计算求得结果．【解答】：解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故答案为： DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题主要考查向量的加减法法则的应用，属于基础题．12.（填空题，4分）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（2，1），则复数 z =___ ． 【正确答案】：[1]2-i【解析】：根据复平面内复数与对应点的坐标之间的关系，写出复数z 和它的共轭复数 z ．【解答】：解：复平面内，复数z 对应的点的坐标是（2，1）， 所以复数z=2+i ， 它的共轭复数是 z =2-i ． 故答案为：2-i ．【点评】：本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．13.（填空题，4分）若A （-1，-2），B （4，8），C （5，x ），且A 、B 、C 三点共线，则x=___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：【方法一】由A 、B 、C 三点共线，得 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线；利用向量的知识求出x 的值； 【方法二】】由A 、B 、C 三点共线，得k AB =k AC ；利用直线的斜率求出x 的值．【解答】：解：【方法一】 ∵A 、B 、C 三点共线， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线； ∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =（4-（-1），8-（-2））=（5，10）， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（5-（-1），x-（-2））=（6，x+2）， ∴5（x+2）-10×6=0， 解得x=10；【方法二】】∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB =k AC ； ∵k AB = 8−(−2)4−(−1) =2， k AC = x−(−2)5−(−1) = x+26， ∴x+26=2，解得x=10；故答案为：10．【点评】：本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答，利用斜率相等也可以解答．14.（填空题，4分）在△ABC中，已知b=2，A=45°，C=75°，则c=___ ．【正确答案】：[1] 3√2+√63【解析】：可求出B=60°，然后根据正弦定理可得出2sin60°=csin75°，根据sin75°=sin（45°+30°）可求出sin75°的值，从而可求出c的值．【解答】：解：∵在△ABC中，A=45°，C=75°，∴B=60°，且b=2，∴根据正弦定理得：2sin60°=csin75°，且sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2 2×√32+√22×12=√6+√24，∴ c=√6+√22√32=3√2+√63．故答案为：3√2+√63．【点评】：本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，4分）已知a =（1，0），b⃗ =（5，5），则向量a在向量b⃗方向上的投影向量的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（12，12）【解析】：由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量．【解答】：解：向量a在向量b⃗方向上的投影为a⃗ •b⃗|b⃗| =√52+52= √22，由于向量a在向量b⃗方向上的投影向量与b⃗共线，可得所求向量为110b⃗ =（12，12），故答案为：（12，12）．【点评】：本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {cosx ，−π≤x ＜0，sinx ，0≤x ≤π， 给出下列三个结论：① f （x ）是偶函数；② f （x ）有且仅有3个零点； ③ f （x ）的值域是[-1，1]． 其中，正确结论的序号是___ ． 【正确答案】：[1] ② ③【解析】：判断函数的奇偶性判断 ① ；求出函数的零点判断 ② ；函数的值域判断 ③ ．【解答】：解：函数f （x ）= {cosx ，−π≤x ＜0sinx ，0≤x ≤π，① f （x ）是非奇非偶函数，所以 ① 不正确；② f （x ）=0，可得x=- π2 ，x=0，x=π，所以函数有且仅有3个零点；所以 ② 正确； ③ 函数f （x ）= {cosx ，−π≤x ＜0sinx ，0≤x ≤π ，f （x ）的值域是[-1，1]，正确；正确结论的序号是： ② ③ ． 故答案为： ② ③ ．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查． 17.（问答题，9分）已知向量 a 与 b ⃗ ， a =（1，0）， b ⃗ =（-2，1）． （Ⅰ）求2 a - b⃗ ； （Ⅱ）设 a ， b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值； （Ⅲ）若向量k a + b ⃗ 与 a +k b ⃗ 互相平行，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（I ）结合向量减法的坐标表示即可求解； （II ）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（III ）结合向量平行的坐标表示即可求解．【解答】：解：（1）因为 a =（1，0）， b ⃗ =（-2，1）， 所以2 a - b ⃗ =（4，-1）； （Ⅱ）cosθ= a ⃗ •b ⃗ |a⃗ ||b⃗ | = 1×√5 =- 2√55 ， （III ）k a + b ⃗ =（k-2，1）， a +k b ⃗ =（1-2k ，k ）， 由题意可得，k （k-2）+2k-1=0， 整理可得，k 2-1=0， 解可得，k=±1．【点评】：本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题．18.（问答题，9分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b= √15 ，c=3，cosB=- 16（Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用同角三角函数的关系式和正弦定理的应用求出结果． （Ⅱ）利用和角公式和三角形的面积公式求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）在△ABC 中，已知b= √15 ，c=3，cosB=- 16 所以 sinB =√1−cos 2B =√356． 利用正弦定理 bsinB =csinC ，整理得sinC= √216． （Ⅱ）由（Ⅰ）得： cosC =√156， 所以sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC=√356×√156−16×√216=√219，所以 S △ABC =12×√15×3×√219 = √352．【点评】：本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.（问答题，9分）已知平面向量 a ， b ⃗ ，| a |=2，| b ⃗ |=1，且 a 与 b ⃗ 的夹角为 π3 ． （Ⅰ）求 a • b ⃗ ； （Ⅱ）求| a +2 b⃗ |； （Ⅲ）若 a +2 b ⃗ 与2 a +λ b ⃗ （λ∈R ）垂直，求λ的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接根据平面向量数量积计算公式求解； （Ⅱ）先求出 |a +2b ⃗ |2=(a +2b ⃗ )2，再开方即可得| a +2 b⃗ |； （Ⅲ）根据向量垂直的充要条件得 (a +2b ⃗ )•(2a +λb ⃗ )=0 ，展开即得到关于λ的方程，解方程即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ） a •b ⃗ =|a ||b ⃗ |cos〈a ，b⃗ 〉=2×1×12=1 ． （Ⅱ） |a +2b ⃗ |2=(a +2b ⃗ )2=a 2+4b ⃗ 2+4a •b ⃗ =4+4+4=12 ， ∴ |a +2b⃗ |=√12=2√3 ． （Ⅲ）若 a +2 b ⃗ 与2 a +λ b ⃗ （λ∈R ）垂直， 则 (a +2b ⃗ )•(2a +λb ⃗ )=0 ， 即 2a 2+2λb ⃗ 2+4a •b ⃗ +λa •b ⃗ =0 ， ∴8+2λ+4+λ=0 即 12+3λ=0， ∴λ=-4．【点评】：本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．20.（问答题，9分）已知函数f （x ）=2sinxcosx+ √3 cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-k在[0，π4]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（Ⅱ）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解；（Ⅲ）由已知可转化为y=k与y=f（x）的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）由f(x)=sin2x+√3cos2x=2(12sin2x+√32cos2x)=2sin(2x+π3)，得f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）因为x∈[0，π2]，所以π3≤2x+π3≤4π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1．从而−√3≤2sin(2x+π3)≤2．所以当2x+π3=π2，即x=π12时，f（x）的最大值为2；当2x+π3=4π3，即x=π2时，f（x）的最小值为−√3．（Ⅲ）由x∈[0，π4]，得2x+π3∈[π3，5π6]，而函数f（x）在[0，π12]上单调递增，f(x)∈[√3，2]，在(π12，π4]上单调递减，f（x）∈[1，2]，所以若函数g（x）=f（x）-k在[0，π4]上有两个不同的零点，则k∈[√3，2)．【点评】：本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．。

北京市丰台区2022-2023学年高一上学期期中考试化学（A卷）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．屠呦呦因发现抗疟药物青蒿素(化学式为C 15H 22O 5)获得诺贝尔奖。

从物质分类看，青蒿素属于A ．单质B ．氧化物C ．化合物D ．混合物2．下列行为不符合安全要求的是A ．将过期的化学药品直接倒入下水道B ．将未使用的Na 放回原瓶C ．闻气体时用手轻轻煽动，使少量气体飘进鼻孔D ．在通风橱内制备氯气3．下列物质属于电解质的是A ．CuB ．K 2SO 4C ．CO 2D ．NaCl 溶液4．如图所示装置中图1灯泡不亮，图2灯泡发亮，由此得出的结论是A ．图1灯泡不亮的原因是NaCl 没有发生电离B ．图2灯泡亮说明NaCl 溶液是电解质，能导电C ．NaCl 要发生电离必须有水存在D ．电解质在电流的作用下才能发生电离5．当光束通过下列物质时，不可能观察到丁达尔效应的是A ．雾B ．Fe(OH)3胶体C ．CuSO 4溶液D ．AgI 胶体6．下列电离方程式错误的是A ．NaHCO 3=Na ++H ++2-3CO B ．H 2SO 4=2H ++2-4SO C ．AlCl 3=Al 3++3Cl —D ．Ca(OH)2=Ca 2++2OH —7．有关0.1mol/LNa 2SO 4溶液的叙述正确的是A ．含有0.1mol Na 2SO 4B ．称量14.2g Na 2SO 4固体溶于1L 蒸馏水中即可获得此浓度溶液C ．取出一半溶液，浓度变为0.05mol/L②烧杯中溶液pH变化如下1-H SO溶液的变化曲线A．①代表滴加24B．b点对应的离子方程式为C．c点，两溶液中含有相同量的D．a、d两点对应的溶液均显中性+2+量溶液进行如下实验：根据以上实验判断，下列推断错误的是A．气体1通入澄清石灰水中，溶液变浑浊B．白色沉淀2中加稀硝酸，沉淀不溶解C．原溶液中一定存在Na+，一定不存在Ba2+D．白色沉淀3说明原溶液中一定存在Cl-三、填空题①写出CaCl2、MgSO4的电离方程式、；四、实验题Na O与水反应并定量测定过氧化钠的纯度。

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ） A ．110B ．150C ．1100D ．150002．已知空间向量a →=（0，1，3），b →=（x ，y ，1），若a →∥b →，则x ，y 的值分别为（ ） A ．13，0B ．0，3C ．3，0D ．0，133．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M ＝“甲元件故障”，N ＝“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．M ∩ND ．M ∪N4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点（1，﹣2，3）关于x 轴对称的点为（ ） A ．（1，2，﹣3）B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，﹣2，3）D ．（﹣1，2，﹣3）5．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →．点M 为A 1D 1中点，则CM →等于（ ）A ．−a →−12b →+c →B ．a →+12b →+c →C ．−a →+12b →−c →D ．−a →−12b →+12c →6．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．以下结论中正确的是（ ） A ．图中m 的数值为26B ．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人C ．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数D ．样本数据的第90百分位数为57．已知平面α={P|n →⊥P 0P →}，其中点P 0（1，2，﹣1），向量n →=（1，1，﹣1），则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）8．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x ．若设事件A ＝“x 为奇数”，事件B ＝“x 为偶数”，事件C ＝“x 为3的倍数”，事件D ＝“x ≤3”，其中是相互独立事件的是（ ）A ．事件A 与事件B B ．事件B 与事件C C ．事件A 与事件DD ．事件C 与事件D9．李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出．已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（ ） A ．2B ．1或3C ．2或4D ．2−√17或2+√17二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021-2022学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标为（ ）A ．（1，3，2）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣1，3，﹣2）D ．（1，﹣3，﹣2）2．若直线l 过两点（0，0）和(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．23πB ．π3C ．56πD ．π63．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （2，3，4）在平面xOy 内射影的坐标为（ ）A ．（2，3，0）B ．（﹣2，3，0）C ．（2，0，4）D ．（0，3，4）4．已知a →=（1，3，﹣1），b →=（2，k ，5），若a →⊥b →，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．73D ．−73 5．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A ＝“至少有一件次品”，则A 的对立事件为（ ）A ．至多两件次品B ．至多一件次品C ．没有次品D ．至少一件次品6．如图，在四面体OABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，已知OA ＝OB ＝2，OC ＝1，则直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．√66 B ．√34 C ．√33 D ．√637．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球，1个黄球的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．18．过点A （1，4），且横、纵截距相等的直线方程为（ ）A ．y ＝4x 或y ＝xB ．x +y +5＝0或y ＝4xC ．x ﹣y +3＝0或x +y ﹣5＝0D ．x +y ﹣5＝0或y ＝4x9．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p ＝（ ）A ．110 B ．215 C ．16 D ．15 10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k +3＝0，直线l 不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（3，+∞）C ．[3，+∞）D ．[0，+∞）二、填空题：每小题5分，共25分.11．已知点A （0，1，0），点B （2，3，2），向量AC →=12AB →，则点C 的坐标为 ．12．已知a ∈R ，直线ax +2y ﹣5＝0与直线x ﹣2y +1＝0平行，则a 的值为 ．13．已知直线l 过点A （0，0，0），点B （1，1，0），则点C （0，1，1）到直线l 的距离是 ．14．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F 分别是AB ，BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为 ．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出下列四个命题：①AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AC 1→；②A 1C →⋅(AD →−AB →)=0；③点C 1到面A 1BD 的距离为√32； ④点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并保持AP ⊥BD 1，则PB 的取值范围是[√22，1]．其中正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分16．（14分）已知向量a →=（1，2，2），b →=（﹣2，1，﹣1）．（Ⅰ）求a →•b →；（Ⅱ）求|2a →−b →|；（Ⅲ）若a →⊥（a →+λb →）（λ∈R ），求λ的值．17．（14分）从两个黑球（记B1和B2）、两个红球（记为R1和R2），从中有放回地任意抽取两球．（Ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间；（Ⅱ）求抽到的两个球都是黑球的概率．18．（15分）已知直线l1过点（2，2），直线l2：y＝x．（Ⅰ）若l1⊥l2，求直线l1的方程；（Ⅱ）若直线l1与x轴和直线l2围成的三角形的面积为2，求直线l1的方程．19．（15分）在如图所示的多面体中，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD，且EG＝AD，CD∥FG，且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）求证：EC⊥AG；（Ⅱ）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值．20．（14分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（Ⅱ）求甲获胜的概率．21．（13分）设n为正整数，集合A＝{a|a＝（t1，t2，…，t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…，y n），记M(α，β)=12[(x1+y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+L+(x n+y n−|x n−y n|)]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．2021-2022学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标为（ ）A ．（1，3，2）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣1，3，﹣2）D ．（1，﹣3，﹣2） 解：设与a →=（1，﹣3，2）平行的一个向量为b →，则由共线定理得足b →=λa →．所以当λ＝﹣1时，b →=(−1，3，−2)．故选：C ．2．若直线l 过两点（0，0）和(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．23πB ．π3C ．56πD ．π6 解：设直线的倾斜角为α，由题意得直线的斜率k ＝tan α=√3，因为α∈（0，π），所以直线的倾斜角α=π3．故选：B ．3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （2，3，4）在平面xOy 内射影的坐标为（ ）A ．（2，3，0）B ．（﹣2，3，0）C ．（2，0，4）D ．（0，3，4） 解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （2，3，4）在平面xOy 内射影的坐标为（2，3，0）． 故选：A ．4．已知a →=（1，3，﹣1），b →=（2，k ，5），若a →⊥b →，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．73D ．−73 解：∵a →⊥b →，∴a →•b →=2+3k ﹣5＝0，∴k ＝1，故选：A ．5．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A ＝“至少有一件次品”，则A 的对立事件为（ ）A ．至多两件次品B ．至多一件次品C ．没有次品D ．至少一件次品解：箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A ＝“至少有一件次品”，则事件A 包含的对立事件为没有次品．故选：C ．6．如图，在四面体OABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，已知OA ＝OB ＝2，OC ＝1，则直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．√66B ．√34C ．√33D ．√63解：由于OA ，OB ，OC 两两垂直，故以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O （0，0，0），A （2，0，0），B （0，0，2），C （0，1，0），∴OC →=(0，1，0)，AB →=(−2，0，2)，AC →=(−2，1，0)，设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=−2x +2z =0m →⋅AC →=−2x +y =0，则可取m →=(1，2，1)， ∴cos ＜OC →，m →＞=OC →⋅m→|OC →||m →|=2√1+4+1=√63， ∴直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为√63． 故选：D ．7．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球，1个黄球的概率是（ ） A ．1 B ．1 C ．2 D ．1解：袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，基本事件总数n =C 42=6，抽取出的2个球恰好是1个红球，1个黄球包含的基本事件个数m =C 31C 11=3，则抽取出的2个球恰好是1个红球，1个黄球的概率是P =m n =36=12．故选：B ．8．过点A （1，4），且横、纵截距相等的直线方程为（ ）A ．y ＝4x 或y ＝xB ．x +y +5＝0或y ＝4xC ．x ﹣y +3＝0或x +y ﹣5＝0D ．x +y ﹣5＝0或y ＝4x 解：设经过点（1，4）且截距相等的直线方程为：y ＝kx 或x +y ﹣a ＝0，解得k ＝4或a ＝5，故直线的方程为：y ＝4x 或x +y ﹣5＝0．故选：D ．9．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p ＝（ ）A ．110B ．215C ．16D ．15 解：由题意得：18（1﹣p ）+78p =940，∴p =215， 故选：B ．10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k +3＝0，直线l 不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（3，+∞）C ．[3，+∞）D ．[0，+∞）解：直线l ：kx ﹣y ﹣k +3＝0，转换为：y ＝kx ﹣（k ﹣3），由于直线l 不经过第二象限，所以{k ≥0k −3≥0， 解得k ≥3；故选：C ．二、填空题：每小题5分，共25分.11．已知点A （0，1，0），点B （2，3，2），向量AC →=12AB →，则点C 的坐标为 （1，2，1） ．解：设C （x ，y ，z ），则AC →=（x ，y ﹣1，z ），而12AB →=12（2，2，2）＝（1，1，1）， 故x ＝1，y ＝2，z ＝1，故答案为：（1，2，1）．12．已知a ∈R ，直线ax +2y ﹣5＝0与直线x ﹣2y +1＝0平行，则a 的值为 ﹣1 ．解：因为直线ax +2y ﹣5＝0与直线x ﹣2y +1＝0平行，所以﹣2a ﹣2＝0，所以a ＝﹣1．故答案为：﹣1．13．已知直线l 过点A （0，0，0），点B （1，1，0），则点C （0，1，1）到直线l 的距离是√62 ． 解：根据题意，如图：A （0，0，0），点B （1，1，0），连接AB ，过点C 作CD ⊥y 轴且与y 轴交于点D ，连接DB ，过点D 作DE ⊥AB 且交AB 与点E ，连接CE ，易得CE ⊥AB ，|CE |即C 到AB 的距离，|AD |＝|DB |＝1，则|DE |=√22，|CD |＝1，则|CE |=√DE 2+CD 2=√1+12=√62； 故答案为：√62．14．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F 分别是AB ，BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为 25 ．解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 、BB 1的中点，设AB ＝4取A 1B 1的中点H ，HB 1的中点G ，连结GF ，GC 1，GF 、FC 1所成的角即为A 1E 与C 1F 所成的角．利用勾股定理得：GF =√5，C 1F ＝2√5，GC 1=√17，在△C 1FG 中，利用余弦定理cos ∠GFC 1=5+20−172⋅√5⋅2√5=25． 故答案为：25．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出下列四个命题：①AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AC 1→；②A 1C →⋅(AD →−AB →)=0；③点C 1到面A 1BD 的距离为√32； ④点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并保持AP ⊥BD 1，则PB 的取值范围是[√22，1]．其中正确结论的序号是 ①②④ ．解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，对于①，AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AD 1→+D 1C 1→=AC 1→，故选项①正确；对于②，A 1C →⋅(AD →−AB →)=A 1C →⋅BD →，由三垂线定理可知，A 1C ⊥BD ，故A 1C →⋅BD →=0，所以A 1C →⋅(AD →−AB →)=0，故选项②正确；对于③，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则正方体的体对角线A 1C =√3，所以点C 1到面A 1BD 的距离为23A 1C =2√33，故选项②错误； 对于④，连接AB 1，AC ，CB 1，则BD 1⊥平面ACB 1，所以点P 的轨迹为线段CB 1，当点P 在CB 1的中点时，PB 最小值为√22， 当点P 与点C 或B 1重合时，PB 最大值为1，所以PB 的取值范围是[√22，1]，故选项④正确．故答案为：①②④．三、解答题：共6小题，共85分16．（14分）已知向量a →=（1，2，2），b →=（﹣2，1，﹣1）．（Ⅰ）求a →•b →；（Ⅱ）求|2a →−b →|；（Ⅲ）若a →⊥（a →+λb →）（λ∈R ），求λ的值．解：（Ⅰ）a →•b →=1×（﹣2）+2×1+2×（﹣1）＝﹣2；（Ⅱ）因为a →=（1，2，2），b →=（﹣2，1，﹣1），所以|a →|＝3，|b →|=√6，所以|2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√4×9−4×(−2)+6=5√2；（Ⅲ）因为a →⊥（a →+λb →），所以a →•（a →+λb →）=a →2+λa →•b →=9﹣2λ＝0，解得λ=92．17．（14分）从两个黑球（记B 1和B 2）、两个红球（记为R 1和R 2），从中有放回地任意抽取两球． （Ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间；（Ⅱ）求抽到的两个球都是黑球的概率．解：（Ⅰ）试验的样本空间为Ω＝{（B 1，B 1），（B 1，B 2），（B 1，R 1），（B 1，R 2），（B 2，B 1），（B 2，B 2），（B 2，R 1），（B 2，R 2），（R 1，B 1），（R 1，B 2），（R 1，R 1），（R 1，R 2），（R 2，B 1），（R 2，B 2），（R 2，R 1），（R 2，R 2）}；（Ⅱ）设事件A ＝“抽到两个黑球”，则A ＝{（B 1，B 1），（B 1，B 2），（B 2，B 1），（B 2，B 2）}，因为样本空间中的每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，所以P （A ）=416=14， 故抽到的两个球都是黑球的概率为14．18．（15分）已知直线l 1过点（2，2），直线l 2：y ＝x ．（Ⅰ）若l 1⊥l 2，求直线l 1的方程；（Ⅱ）若直线l 1与x 轴和直线l 2围成的三角形的面积为2，求直线l 1的方程．解：（Ⅰ）设直线l 1的斜率为k 1，则直线l 2的斜率为k 2，∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝﹣1，∵k 2＝1，∴k 1＝﹣1，又∵直线l 1过点（2，2），∴直线l 1的方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣4＝0；（Ⅱ）若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1的方程为x ＝2，此时直线l 1与x 轴和直线l 2围成的三角形的面积为2，符合题意，若直线l 1的斜率存在，直线l 1的斜率为k ，（k ≠0），则直线l 1的方程为y ﹣2＝k （x ﹣2），与x 轴的交点为A ，令y ＝0，可得x ＝2−2k ，即点A 的坐标为（2−2k ，0），∵直线l 1与直线l 2的交点为（2，2），且面积为2，∴S =12×2×|OA |＝2， 即|2−2k |＝2，解得k =12，则直线l 1的方程为y ﹣2=12（x ﹣2），即为x ﹣2y +2＝0，综上直线l 1的方程为x ＝2或x ﹣2y +2＝0．19．（15分）在如图所示的多面体中，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD ，且EG ＝AD ，CD ∥FG ，且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2．（Ⅰ）求证：EC ⊥AG ；（Ⅱ）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值．（Ⅰ）证明：因为DG ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DG ⊥AD ，GD ⊥CD ，又因为AD ⊥CD ，所以DA 、DC 、DG 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，E （2，0，2），C （0，2，0），A （2，0，0），G （0，0，2），AG →=（﹣2，0，2），EC →=（﹣2，2，﹣2），所以AG →⋅EC →=（﹣2）•（﹣2）+0•2+2•（﹣2）＝0，所以EC ⊥AG ．（Ⅱ）解：因为B （1，2，0），再由（Ⅰ）知DE →=（2，0，2），DB →=（1，2，0），DC →=（0，2，0），设平面BED 与平面EDC 的法向量分别为m →=（x ，y ，z ），n →=（u ，v ，w ），其夹角为α，{m →⋅DB →=x +2y =0m →⋅DE →=2x +2z =0，令y ＝1，m →=（﹣2，1，2），{n →⋅DC →=2v =0n →⋅DE →=2u +2w =0，令u ＝1，n →=（1，0，﹣1）， 所以|cos α|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=3⋅√2=2√23， 因为平面BED 与平面EDC 夹角为锐角，所以平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值为2√23．20．（14分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（Ⅱ）求甲获胜的概率．解：设事件A k ＝“甲在第k 次投篮投中“，其中k ＝1，2，3，设事件B k ＝“乙在第k 次投篮投中“，其中k ＝1，2，3，（Ⅰ）记“甲乙各投中一次，比赛结束”这事件C ，C =A 1B 1，事件A 1与事件B 1相互独立，根据事件独立性定义得：P （C ）＝P （A 1B 1）＝（1﹣P （A 1））P （B 1）＝（1−13）×12=23×12=13，∴甲乙各投球一次，比赛结束的概率为13． （Ⅱ）记“甲获胜”为事件D ，D =A 1∪A 1B 1A 2∪A 1B 1A 2B 2A 3，由互斥事件概率加法公式得：P （D ）＝P （A 1∪A 1B 1A 2∪A 1B 1A 2B 2A 3）＝P （A 1）+P （A 1）P （B 1）P （A 2）+P （A 1）P （B 1）P （A 2）P （A 2）P （B 2）P （A 3）=13+23×12×13+23×12×23×12×13=1327， ∴甲获胜的概率为1327．21．（13分）设n 为正整数，集合A ＝{a |a ＝（t 1，t 2，…，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合A 中的任意元素α＝（x 1，x 2，…，x n ）和β＝（y 1，y 2，…，y n ），记M(α，β)=12[(x 1+y 1−|x 1−y 1|)+(x 2+y 2−|x 2−y 2|)+L +(x n +y n −|x n −y n |)]．（Ⅰ）当n ＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n ＝4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）＝0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．（I ）因为α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），所以M （α，α）=12[（1+1﹣|1﹣1|）+（1+1﹣|1﹣1|+（0+0﹣|0﹣0|））]＝2，M （α，β）＝[（1+0﹣|1﹣0|）+（1+1﹣|1﹣1|+（0+1﹣|0﹣1|））]＝1，（II ）设S 1＝{（x 1，y 1，z 1，w 1）|（x 1，y 1，z 1，w 1）∈A ，x 1＝1}；S 2＝{（x 1，y 1，z 1，w 1）|（x 1，y 1，z 1，w 1）∈A ，x 1＝0，x 2＝1}；S 3＝{（x 1，y 1，z 1，w 1）|（x 1，y 1，z 1，w 1）∈A ，x 1＝0，x 2＝0，x 3＝1}；S 4＝{（x 1，y 1，z 1，w 1）|（x 1，y 1，z 1，w 1）∈A ，x 1＝0，x 2＝0，x 3＝0，x 4＝1}；S 5＝{（x 1，y 1，z 1，w 1）|（x 1，y 1，z 1，w 1）∈A ，x 1＝0，x 2＝0，x 3＝0，x 4＝0，}；则A ＝S 1US 2US 3US 4US 5，对于S k （k ＝1，2，3）中的不同元素α，β，经验证，M （α，β）≥1，所以S k （k ＝1，2，3，4，5）中至多1个元素属于B ，所以集合B 中至多5个元素．取e 1＝（1，0，0，0），e 2＝（0，1，0，0），e 3＝（0，0，1，0），e 4＝（0，0，0，1），e 5＝（0，0，0，0），满足条件．此时集合B ＝{e 1，e 2，e 3，e 4，e 5，}，所以集合B 中至多有5个元素．。