(必修4)2.1平面向量的实际背景及基本概念(公开课教案).

2. 1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1、知识目标：⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2、能力目标：培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3、情感目标：使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：向量概念的理解，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量。

对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系。

由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用。

对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向。

讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．五、教具：多媒体或实物投影仪，尺规六、授课类型：新授课七、教学过程：情境创设问题1：一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里会追上老鼠？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.问题2：美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。

试问只知道这一信息导弹是否能击中目标？结论：不能，因为没有给定发射的方向.问题3：新华网东京3月30日电日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境内的朝鲜发射物。

不考虑其他因素，导弹击中拦截目标取决于导弹运行的路程还是位移？结论：位移，位移是有大小和方向的量问题提出请指出与位移具有同样特征的量：速度、重力、浮力、弹力……力、速度也是有大小和方向的量。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。

2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。

3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。

2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。

3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。

4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。

5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。

6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。

7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。

2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。

3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。

四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。

2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。

3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。

五、教学资源：1. 教案、PPT课件。

2. 几何图形和物理情境的图片或视频。

3. 练习题和案例分析题。

4. 小组讨论和报告的评价标准。

六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。

2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。

七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。

2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。

3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。

4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。

向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。

向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。

向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。

在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。

本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。

通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。

二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。

4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计一、教材内容分析1．教材的地位和作用本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.2.学情分析：高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。

因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

3.教学目标的确定根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下：知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.过程与方法引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。

第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

教学准备
1. 教学目标
向量及向量的基本运算
2. 教学重点/难点
向量及向量的基本运算
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理
6)平面向量的基本定理
7)特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

【例题选讲】
例1、判断下列各命题是否正确。

第二章平面向量本章教材分析2.教学的最正确契机,全新的思维视角.3.本章充分表达出新教材特点.4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考.标题课时2.1平面向量的实际背景及根本概念1课时2.2向量的线性运算3课时2.3平面向量的根本定理及坐标表示2课时2.4平面向量的数量积2课时2.5平面向量的应用举例2课时本章复习2课时2.1 平面向量的实际背景及根本概念整体设计教学分析三维目标1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会识别图形中的相等向量或作出与某一向量相等的向量.3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马〞走日,象走“田〞,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.推进新课新知探究提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回忆一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量〞,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作||.有向线段包含三个要素:AB起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB.这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生标准书写:印刷用黑体a,书写用a)3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比拟,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比拟大小;向量的模是正数或0,也可以比拟大小.由于方向不能比拟大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,那么这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,那么可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比拟大小；向量有方向、大小双重性质,不能比拟大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用例如例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于稳固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为正三角形.∴|CA |=100 m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断以下命题是否正确,假设不正确,请简述理由.(1)ABCD 中,AB 与CD 是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB ∥CD .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定. 解:(1)正确;(2)不正确.点评:此题考查根本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与、OC 、OB 、OA相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生稳固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA 与EF ,OB 与AF 是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO .点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量OA 长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量OA 长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 以下命题正确的选项是( )A.a与b共线,b与c共线,那么a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,那么a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否认形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假假设a 与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量根本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)假设两个向量在同一直线上,那么这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B知能训练课本本节练习.解答:1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.|AB|=2,|CD|=2.5,|EF|=3,|GH|=22.点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了根底,字母表示那么利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的根底,必须要在理解的根底上把握好.作业课本习题2.1 1、2.设计感想本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课〞,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的根本概念和根本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中标准学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下根底.。