高中导数的知识归纳和题型总结

高中导数的知识归纳和题型总结一、基本概念1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数.()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 2.复合函数的导数形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数.法则： [()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数.（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数.2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.3．函数的最值：一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值.函数)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。

只可能在区间端点及极 求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值4．相关结论总结：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.)(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）.例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<Q令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<Q 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题.22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.∴max min ()(2)2 1.()(1)4 4.g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于(2)44,4 1.(1)215g a a a a g a a a +=-+≤⎧≤≤⎨+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴.154<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 例3：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减，又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈2x a = []1,2a a ++思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m , n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围． 解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤. 综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围.子集思想解：（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增.2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞单调增区间：(1,1)a --（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集：1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤综上，a 的取值范围是[0，1].2、题型二：根的个数问题题1 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；'第三步：解不等式（组）即可.例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：由于02<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k综上，所求k 的取值范围为31-<k根的个数知道，部分根可求或已知.例7、已知函数 （1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由.解：（1）∵的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x ax x '=+-， 又∵是的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=3()(1)2f x f =-=极大值 222()()37f x f ==-极小值 （2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1(1)(1)(1)2f g d b -=-⇒=-- 3221112(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得： 即：3211(1)(1)022x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 3211()(1)(1)022h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根， 则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，3x 22x x +-211(1)(1)022b x x b ---+-= 2211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎢⎥⎣⎦ 221(1)(1)2(1)02x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣⎦ 321()22f x ax x x c =+-+1x =-()f x ()f x ()f x 21()2g x bx x d =-+b ()g x ()f x 1x =-b ()f x 1x =-()f x ()g x ()f x 1x =-23 f '十字相乘法分解：[]()21(1)(1)(1)102x x b x b x +-+--+= 211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤+-++-=⎢⎥⎣⎦ 3211(1)(1)022x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 等价于211(1)(1)022x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根. 2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞ 题2 切线的条数问题，即以切点0x 为未知数的方程的根的个数例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴32()69f x x x x =-+-（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m -232(3129)(1)26m t t t t =-+--+-32()221290g t t t t m =--+-=令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根.需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩1611m m <⎧⇒⎨>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-题3 已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－72x 2＋10x ，()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <.令()0f x '< ， 解得25x <<可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5． （Ⅱ）()f x '＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6,要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '⇒＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2m m f m m m ⎧⎪∆=+-+>⎪'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3例9、已知函数23213)(x x a x f +=，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()gx＝14x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）)1()(2'+=+=ax x x ax x f当0>a 时，令0)('>x f 解得01>-<x a x 或，令0)('<x f 解得01<<-x a，所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞Y a ，递减区间为)0,1(a-.当0<a 时，同理可得)(x f 的递增区间为)10(a -，，递减区间为),1()0,(+∞--∞aY .（2）432113)42(g a x x x x =++有且仅有3个极值点⇒223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <- 方程210x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ∆=->2a ∴<-或2a >而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q令'()f x =0,得[]1240,2,13x x ==∉-因为0>a ，所以可得下表：因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-Q ，即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x ，解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 已知函数322()3f x x ax bx c =+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式；(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分,求直线L 的方程.解： (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 12a = ∴ 3221()3132f x x x x =+-+ (Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩∴20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -, 2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED S S ∆=四边形∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF由 220y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点F 的横坐标为: 221F x k =-+由 460y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点G 的横坐标为: 641G x k =-+∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121k k =⨯⨯-⨯+⨯=+ 即 216250k k +-=解得: 12k =或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 12y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或12y x =(Ⅱ) 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -, 2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DECABED S S ∆=四边形∴所求一条直线L 的方程为: 0x =另一种情况由于直线BO 方程为: 12y x =, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12220y xy x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 1112222DEC S ∆=⨯⨯=,11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB∴ 所求直线方程为: 0x = 或12y x =3、（根的个数问题）已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示.（Ⅰ）求c d 、的值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围.解：由题知：2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+（Ⅰ）由图可知，函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0得332c 320d a b a b =⎧⎨++--=⎩⇒⎩⎨⎧==03c d （Ⅱ）依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5124323846435a b a b a b a b +--=-⎧⎨+--+=⎩解得a = 1 , b = – 6所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a①若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒111＜a ＜3所以 当111＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根 4、（简单切线问题）已知函数23)(ax x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bxg x f x a=-+． （Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．（1）∵f′(x)= 3/a 2 •x2，∴由 3/a 2 •x2=3得x=±a ， 即切点坐标为（a ，a ），（-a ，-a a ）∴切线方程为y-a =3（x-a ），或y+a =3（x+a ）整理得3x-y-2a =0或3x-y+2a =0，解得a a=±1，∴f （x ）=x3．∴g （x ）=x3-3bx+3 ∵g′（x ）=3x2-3b ，g （x ）在x=1处有极值，∴g′（1）=0， 即3×12-3b=0，解得b=1，∴g （x ）=x3-3x+3 （2）∵函数g （x ）在区间[-1，1]上为增函数， ∴g′（x ）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，∴b≤0， 又∵b2-mb+4≥g （x ）在区间[-1，1]上恒成立， ∴b2-mb+4≥g （1）即b2-mb+4≥4-3b ，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0， 则m≥b+3在b ∈（-∞，0）上恒成立 ∴m≥3．故m 的取值范围是[3，+∞）。