高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数的计算

第十节变化率与导数、导数的计算[考纲 ] (教师用书独具 )1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理1解导数的几何意义 .3.能根据导数的定义求函数y＝C(C 为常数 )， y＝x，y＝x，y＝x2，y＝ x3，y＝ x的导数 .4.能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数．(对应学生用书第30 页)[根底知识填充 ]1．导数的概念(1)函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率lim f x0＋ x －f x0＝ lim y为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′ (x0)x→ 0xx→0xx＝x0，即 f′(x0)＝ limy＝limf x0＋ x － f x0或 y′|x x.x→ 0x→0②几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′ (x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点0 ，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为000(x y－f(x )＝f′(x )(x－x )．f x＋ x －f x为 f(x) 的导函数．(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f ′(x)＝ lim xx→02．根本初等函数的导数公式根本初等函数导函数f(x)＝ c(c 为常数 )f′ (x)＝0f(x)＝x n(n∈Q* )f′(x)＝n·x n－1f(x)＝ sin x f′ (x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－ sin_xf(x)＝a x f′ (x)＝a x ln_a(a＞0)f(x)＝e x f′ (x)＝e x1f(x)＝log a xf ′ (x)＝xln a1f(x)＝ln xf ′ (x)＝ x3. 导数的运算法那么(1)[f(x) ±g(x)]′＝ f ′ (x) ±g ′ (x)；(2)[f(x) ·g(x)]′＝ f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；f xf ′ xg x －f x g ′ x(3) g x ′＝ [g x ]2(g(x)≠0)．[知识拓展 ]1．曲线 y ＝f(x)“在点 P(x 0， y 0 )处的切线 〞 与“过点 P(x 0，y 0)的切线 〞 的区别：前者 P(x 0， y 0)为切点，而后者 P(x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线 (圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．[根本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断以下结论的正误． (正确的打“√〞，错误的打“×〞 )(1)f ′(x 0)与 (f(x 0 ))′表示的意义相同． ( )(2)求 f ′(x )时，可先求 f(x )再求 f ′ (x )．()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． () (4)假设 f(a)＝ a 3＋2ax －x 2，那么 f ′(a)＝ 3a 2＋ 2x.()[答案 ] (1)×(2)× (3)√ (4)√2 32．(教材改编 )有一机器人的运动方程为s(t)＝t ＋ t (t 是时间， s 是位移 )，那么该机器人在时刻 t ＝2 时的瞬时速度为 ()19B ． 17A ． 4415D ． 13C ． 442313器人的瞬时速度为 v(2)＝ 2× 2－22＝4 .]3．(2021 ·天津高考 )函数 f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为 f(x)的导函数，那么 f′(0)的值为 ________．3 [ 因为 f(x)＝ (2x＋ 1)e x，x x x所以 f′(x)＝ 2e ＋ (2x＋ 1)e ＝(2x＋3)e ，所以 f′(0)＝ 3e0＝ 3.]4．(2021 ·全国卷Ⅰ )曲线 y＝x2＋1x在点 (1,2)处的切线方程为 ________．1x－y＋1＝0[∵y′＝2x－x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率k＝ 1，∴切线方程为 y－ 2＝ x－ 1，即x－ y＋ 1＝ 0.]35．(2021 ·全国卷Ⅰ )函数f(x)＝ax ＋x＋ 1 的图象在点 (1，f(1))处的切线过点1 [ ∵f′(x)＝3ax2＋ 1，∴f′(1)＝ 3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为 y－ (a＋2)＝ (3a＋ 1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－ (a＋2)＝ 3a＋1，解得 a＝1.](对应学生用书第30 页)导数的计算求以下函数的导数：(1)y＝e x ln x；211 (2)y＝x x ＋x＋x3；x x (3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝cos x.【导学号： 79170059】e x[解]x′＋x′＝x＋x 1x ln x＋1(1)y′＝ (e)ln x e (ln x)·＝e x.e ln x e x3122 (2)∵y＝ x ＋1＋x2，∴y′＝3x－x3.11 (3)∵y＝ x－2sin x，∴y′＝1－2cos x.cos x′＝cos x ′e x－ cos x e x′(4)y′＝x x 2e esin x＋cos x＝－e x.[规律方法 ] 1.熟记根本初等函数的导数公式及运算法那么是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少过失．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练 1] (1)函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，那么 f′(5)＝ ()A．2B．4C．6D．8(2)(2021 天·津高考 )函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞ )，其中 a 为实数， f′(x)为f(x)的导函数．假设 f′ (1)＝ 3，那么 a 的值为 ________．(1)C(2)3 [(1)f′(x)＝6x＋ 2f′(2)，令x＝2，得 f′(2)＝－ 12.再令 x＝5，得 f′ (5)＝ 6× 5＋ 2f′(2)＝ 30－24＝6.1(2)f′ (x)＝ a ln x＋x·＝a(1＋ ln x)．x由于 f′(1)＝a(1＋ln 1) ＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.]导数的几何意义角度 1求切线方程1 34曲线 y＝3x ＋3.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．[思路点拨 ] (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；1 34(2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为x0，3x0＋3，由此求出切线方程，再把点 P(2,4)代入切线方程求x0.[解] (1)根据得点 P(2,4)是切点且 y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4，∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y－ 4＝ 4(x－ 2)，即 4x－ y－ 4＝ 0.1 34134，(2)设曲线 y＝3x ＋3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0，3x0＋32那么切线的斜率为 y′|x＝x0＝x0，∴切线方程为 y－1342，x0＋＝ 0 － 033x (x x )2 23 4即y＝x0·x－3x0＋3.∵点P(2,4)在切线上，2 23 4∴4＝2x0－3x0＋3，3 2即x0－ 3x0＋ 4＝ 0，322∴x0＋ x0－4x0＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－ 1 或 x0＝2，故所求的切线方程为x－ y＋ 2＝0 或 4x－ y－ 4＝ 0.角度 2求切点坐标假设曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋ 1＝ 0，那么点 P 的坐标是 ________．1e) [ 由题意得 y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝ 0 的斜率为 2.设 xP(m，n)，那么 1＋ln m＝ 2，解得 m＝e，所以 n＝ eln e＝ e，即点 P 的坐标为 (e，e)．]角度 3求参数的值(1)直线 y＝ 1 ＋与曲线＝－1 ＋相切，那么b的值为()2x b y2x ln x A．2B．－ 1C．－1D．12x＋1(2)(2021 西·宁复习检测 (一))曲线 y＝x－1在点 (3,2)处的切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝()A．－ 2B．211C．－2D．2(1)B(2)A [(1) 设切点坐标为 (x0， y0 )，1 1y′＝－2＋x，则y′|x＝x0＝－1＋1，由－1＋1＝1得 x0＝1，切点坐标为 1，－1，又切点2 x02 x0 2211111，－2在直线 y＝2x＋b 上，故－2＝2＋b，得 b＝－ 1.－ 21(2)由 y′＝x－12得曲线在点 (3,2)处的切线斜率为－2，又切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝－ 2，应选A ．][规律方法 ] 1.导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点 P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点 P 的切线那么点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线 y＝ f(x)在点 (x0， f(x0 ))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.。

届高三数学轮复习知识点归纳与总结变化率与导数导数的计算GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第十一节变化率与导数、导数的计算[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁T12等．2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.[归纳·知识整合]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73解析：选B ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x .4．(教材习题改编)曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程是________．解析：∵f (x )＝sin xx ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2，∴f ′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.答案：x ＋πy －π＝05．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2导数的计算[例1] 求下列函数的导数 (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4”如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ∴y ′＝－12cos x ．———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin xx 2， ∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1(1－3x )4；(4)y ＝x 1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′ ＝x x 2＋1. (3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4. 则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3) ＝12(1－3x )5.(4)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x ()1＋x 2′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.导数的几何意义[例3] (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43.①求曲线在点P (2,4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0.∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．3．已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝⎛⎭⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1， 则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝xx 0＋1＋x 0＋2x 0＋1. 所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·(x 0＋2)＝(x 0＋2)22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝⎛⎭⎫－23＋222－23＋1＝839.导数几何意义的应用[例4] 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.[答案] A ——————————————————— 导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________. 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋θ＋π2 ＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A [易误辨析]1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． [变式训练]1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：选By ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ， 可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2f ′⎝⎛⎭⎫23×23－1， 解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x . 则f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫233－⎝⎛⎭⎫232－23＝－2227， 故函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0. 答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1 解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e.6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． 又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a－61＋b＝－2，－a－12＋ab(1＋b)2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝3.∴f(x)＝2x－6x2＋3.11．如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.解：(1)由条件知点A(－1,2)为直线l1与抛物线C的切点．∵y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4.所以直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)，即4x＋y＋2＝0.(2)点A的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，－4a－2)，∴△ABD的面积为S1＝12×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.12．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0 f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)(－Δx )＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ；(4)⎝⎛⎭⎫x x ＋1′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y－y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

[备考方向要明了]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f?x＋Δx?－f?x?Δx为f(x)的导函数．[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0?x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．2．几种常见函数的导数3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f?x?g?x?′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?[g?x?]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4 D．－7 3解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是()A．y′＝2x cos x＋x2sin xB．y′＝2x cos x－x2sin xC．y＝2x cos xD．y′＝－x2sin x解析：选B y′＝2x cos x－x2sin x.4．(教材习题改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程是________．解析：∵f(x)＝sin xx，∴f′(x)＝x·cos x－sin xx2，∴f′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] (1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝?ln x ?′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝?sin x ?′cos x －sin x ?cos x ?′cos 2x＝cos x cos x －sin x ?－sin x ?cos 2x ＝1cos 2x .(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ． ———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x＋11＋x＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2?1－x ?′?1－x ?2＝2?1－x ?2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. ———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1?1－3x ?4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12?1－3x?5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x⎝⎛⎭⎫1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3](1)(2012·P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答](1)y＝x22，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P ?2，4?在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20?x 0＋1?－4?x 0＋1??x 0－1?＝0.∴?x 0＋1??x 0－2?2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1.所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·?x 0＋2?＝?x 0＋2?22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.[例4] 已知a －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A ———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f ?x 1?－f ?x 0?x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A. [答案] A1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选By ′＝cos x ?sin x ＋cos x ?－?cos x －sin x ?sin x ?sin x ＋cos x ?2＝1?sin x ＋cos x ?2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e .6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解． ∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝?ax －6?′?x 2＋b ?－?ax －6??x 2＋b ?′?x 2＋b ?2＝－ax 2＋12x ＋ab ?x 2＋b ?2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ?1＋b ?2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|× |－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx 等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋?－Δx ?]－f ?x 0??－Δx ?＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-； (2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

专题1变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算★★★○○○○1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －fx 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0， 即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数 sin xcos xa x (a >0) e xlog a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x －sin_xa x ln_ae x1x ln a1x4.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sin x ＋ln x(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x ＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．[例] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e ； (5)y ＝ln 2x ＋3x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2 ＝1x·x －ln xx2＝1－ln xx2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (5)y ′＝[ln 2x ＋3]′x 2＋1－ln 2x ＋3x 2＋1′x 2＋12＝2x ＋3′2x ＋3·x 2＋1－2x ln 2x ＋3x 2＋12＝2x 2＋1－2x 2x ＋3ln 2x ＋32x ＋3x 2＋12.1.(2016·某某二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.2.已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.3．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．1. (2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017B ．－12 2 017C.2 0172 017 D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0.2. (2016·某某二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0. 3. (2017·某某重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C. 4.在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．5.求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

第二章基本初等函数、导数及其应用第们讲变化率与导数、导数的计算教材回顾▼夯实基础知识梳理r1. 导数的概念⑴函数丿=/（兀）在X=Xo 处的导数称函数丿=/（兀）在x=x 0处的瞬时变化率处的导数，记作f3o)或y f\x = x^即/(xo) = Km = f (xo+Ax) —f Oo )Ax课本温故追根求源f (x 0+Ax) —f (x 0) limAx —>0Ax詈为函数 y=f(x)^x=xo（2）导数的几何意义函数/*（兀）在点可处的导数/（xo）的几何意义是在曲线J =/（x）上点P（x0,必）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数啲对时间t的导数）.相应地，切线方程为丿一丿0=几切）（兀一兀0）___________________________________ •（3）函数/（兀）的导函数f &+ Ax）—f O）称函数x —为/u）的导函数.2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则f(x)± g f(x)⑴［f(X)±g(X)V = _____________________________f(x)g(x)+f(x)g f(x)⑵［f(x)-g(x)r= _________________________f (兀)g (x) —/ (x) g' (x)(3Or_= ______________ 国(兀)F(g(x)H0) •汁要点整會多1.辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xy=nx n-1与指数函数的求导公式(a x y=a x\na混淆.(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.2.导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导•双基自测,1.（选修1-1P85练习T2⑷改编）函数j=xcosx数为（A. xsin xC • xcos x解析：y f =x r cos x+x(cos 兀)'—(sin x)r=cos x x=—xsin x.—sinx的导xsinx xcosx xsin x—cos2. （2016-豫东、豫北十所名校联考）已知几r）=2e"sin x,贝||曲线加:）在点（0, /（0））处的切线方程为（B）A・ j=0 B・y=2xC. y=xD. y=—2x解析：因为/(x)= 2e v sin x,所以/(0)=0, f (x)=2e x• (sinx+ cos x),所以f(0)=2,所以曲线ZU)在点(0, /(0))处的切线方程为y=2x.(2015•高考天津卷)已知函数f(x)=axinx9 xG (0, +°°),其中"为实数，f(劝为/(兀)的导函数.若7(1)=3,则"的值为__.由于f(l)=“(l+ln 1)=偽又/(1)=3,所以a=3.解析：f (x) = x+x^J=«(l+ln x).In x4. (2016•长春质量检测)若函数心)=—,贝!| 7(2)= 1-11124解析：由f(x)=1 —In x.口 a2―得/'(2)= X5. (2014•高考江西卷)若曲线尸上点P处的切线平行于直线2x+j+l=0,则点P的坐标是f彳，2)解析：设旳)，因为所以—“x, 所以点P处的切线斜率为^=-e-x0=-2, 所以一x0=ln2,所以x0=—In 2,所以Jo=e ln2 = 2,所以点F的坐标为(-In 2, 2).典例剖析▼考点突破］名师导悟以例说法考点一导数的计算靈0求下列函数的导数：(l)j=(3x2—4x)(2x+1)； (2)j=x2sin x；In x(3)y=3V_2+；(4)J=-2—；X十1［解］⑴因为J = (3x2-4x)(2r+1)所以y f=lSx2—10x—4.(2)j f=(x2) r sin x+x2(sin x)r=2rsin x+x2cos x.(3)p=(3 Vy—(2)+e'= (3x)r e x+3x(e x)r-(2x)r =3Vln3+3V-2x ln2 = (ln3+l)-(3e)x-2x ln 2.(lnx) f (x2+l) —11 (4)y'=(x2+l)丄(x2+1) —2xlnxx(x2+l) 2 x2+l—2x2ln x x (x2+1) 2(x2+l)'导数计算的原则和方法求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错・［跟踪训练］1•求下列函数的导数:cos X⑵尸石;(3)j=e x ln x.q f n— 1 x I n x解：(l)j —nx e +x e=x,z_1e A (n+x).—sin2x— cos2x 1 (2)y，= ~ = TIT •sin x sm x (3)j r=e v ln x+e x• -=e x("+lnx考点二导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小, 属中低档题.高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数值.(1)(2015•高考全国卷I )已知函数f(x)=ax +x+l 的图象在点(1,几1))处的切线过点(2, 7),则°=_____ (2)(2015•高考陕西卷)设曲线j=e x在点(0, 1)处的切线与曲线J=i(x>0)±点P处的切线垂直，则P的坐标为“ X［解析］(1)因为/(X)=3«X2+1,所以/(1)=3« + 1.X/(l)=«+2,所以切线方程为(«+2)=(3«+l)(x—1).因为切线过点(2, 7),所以7—@+2)=%+1,解得。