点集拓扑试卷b

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X abc =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B Xφ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾，所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明：若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。

点集拓扑学练习题参考答案（第7章）一、单项选择题1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间答案：③2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对答案：③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对答案：③4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集答案：②5、实数空间R的子集{1,2,3,4}A 是（）①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集答案：①②6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）①T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间2答案：①7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( )①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的④. 若A是紧致的，则A是列紧的答案：②二、填空题（每题1分）1、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：紧致空间2、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间， 则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集3、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 可数紧致空间4、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一 个 .答案：列紧空间5、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间6. 当X 为___________________________空间，则X 的闭集是紧致子集；X 为___________________________空间，则X 的紧致子集是闭集；7. X 为__________________________________, 且为序列紧空间时, X 为可数紧空间. 8.Y f →]1,0[:为连续的满射，则Y 是 。

点集拓扑试题及答案1. 定义并解释什么是拓扑空间。

拓扑空间是一个有序对(X, T)，其中X是一个非空集合，T是X的子集的集合，满足以下三个条件：(1) 空集和X本身都属于T；(2) T中的任意有限个集合的并集仍然属于T；(3) T中的任意个集合的交集仍然属于T。

2. 简述连续映射的定义。

设f: X → Y是一个映射，其中X和Y是拓扑空间。

如果对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，则称f是连续的。

3. 证明如果f: X → Y和g: Y → Z是连续映射，则它们的复合映射g ∘ f: X → Z也是连续的。

证明：设W是Z中的一个开集，我们需要证明(g ∘ f)^(-1)(W)是X中的开集。

由于g是连续的，g^(-1)(W)是Y中的开集。

又因为f是连续的，f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集。

因此，(g ∘ f)^(-1)(W) = f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集，所以g ∘ f是连续的。

4. 什么是紧致性？请给出紧致空间的一个例子。

紧致性是指拓扑空间中的每一个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。

一个例子是实数线R上的闭区间[0, 1]，它在标准拓扑下是紧致的。

5. 描述什么是连通空间。

连通空间是指不能被分解为两个非空不相交开集的拓扑空间。

6. 证明如果X是连通空间，并且f: X → R是连续映射，那么f(X)是区间。

证明：设a = inf f(X)，b = sup f(X)。

对于任意的x ∈ X，由于f是连续的，存在一个开邻域U_x ⊆ X使得f(U_x) ⊆ (a, b)。

因为X是连通的，所以X = ⋃x∈X U_x，这意味着f(X) = ⋃x∈Xf(U_x) ⊆ (a, b)。

由于f(X)是闭的，所以f(X) = [a, b]。

7. 什么是分离公理？请举例说明。

分离公理是指对于拓扑空间中的任意两个不同的点，都存在两个不相交的开集分别包含这两个点。

例如，在实数线R的拓扑中，对于任意两个不同的点x和y，可以取开区间(x - 1, x + 1)和(y - 1, y + 1)分别包含x和y，且这两个开区间不相交。

点集合是（ ）（A ）∅ (B) {},a b (C)X (D){},X a b -113.在实数集合的可数补拓扑空间中，序列1n z n *∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭的收敛集合是（ ） （A ）∅ (B) {}0 (C) {}10n z n *⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭(D) R 114.设X,Y 是拓扑空间， :f X Y −−→是映射，则下列条件中不保证f 连续的是（ ）（A ）X 是平庸空间 (B) Y 是平庸空间(C) X 是离散空间 (D)f 是常值映射115.设()()12,,,X T Y T 是拓扑空间，:f X Y −−→是映射，则下列条件中不与其它三个条件等价的是（ ）（A ）f 连续 (B) ()121,U T fU T -∀∈∈ (C)()()'1121,F T f F T -∀∈∈ (D)()()(),A P X f A f A ∀∈⊇116. 设()()12,,,X T Y T 是拓扑空间，:f X Y −−→是映射，则下列条件中不与其它三个条件等价的是（ ）（A ）f 连续 (B)()()()11,B P Y fB f B --∀∈⊇ (C)()()'1121,F F T f T -∀∈∈ (D)()()()()0101,B P X f B f B --∀∈⊇ 117.设{}12,,,,X X a b c d == {}{}{}{}1,,,,,,,T X a b c a b c =∅，{}{}{}2,,,,,T X a b c d =∅，设A={a} B={b},则在拓扑空间()()1122,,,X T X T 的积空间12X X ⨯中，A B ⨯是（ ）（A ）∅ (B)(){},a b (C)()()()(){},,,,,,,a a a b d a d b (D)()(){},,,a b a d 118.设{}12,,,,X X a b c d =={}{}{}{}1,,,,,,,T X a b c a b c =∅，{}{}{}2,,,,,T X a b c d =∅，设A={a ，b}, B={b,c},则在拓扑空间()()1122,,,X T X T 的积空间12X X ⨯中，()0A B ⨯等于（ ）（A ）∅ (B)()()()(){},,,,,,,a b a c b b b c(C)()(){},,,a b b c (D)()(){},,,b b b c119.设A,B,C,D 是集合X 的子集，以下结论中不正确的是（ ）（A ）()()()()A B C D A C B D ⨯⨯=⨯ /(B)若,A C B D ⊆⊆,则()()A B C D ⨯⊆⨯(C) 若()()A B C D ⨯⊆⨯,则,A C B D ⊆⊆(D)()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯120. 设()()12,,,X T Y T 是拓扑空间，12,A X B X ⊆⊆,则下列各式中不正确的是（） （A ）A B B A ⨯=⨯ (B)()000A B A B ⨯=⨯(C)()()()A B A B ∂⨯∂=∂⨯ (D)()()()d A B d A d B ⨯⊇⨯。

点集拓扑学练习题(第二章)(答案)练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分)1.集合某的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑(某)2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.(√)3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.(某)4.T1、T2是某的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.(某)5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。

（√）6.从（某，T1）到（某，T2）的恒同映射必是连续的。

（某）7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(√)8．设T1,T2是集合某的两个拓扑，则T1T2不一定是集合某的拓扑(9.从拓扑空间某到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（√）10.设A为离散拓扑空间某的任意子集，则dA（√）11.设A为平庸空间某（某多于一点）的一个单点集，则dA（12.设A为平庸空间某的任何一个多于两点的子集，则dA某（二．填空题：(每空格3分)1、某=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为Z1,Z2,Z3包含3的所有闭集为Z,Z///14,Z5,Z6,...包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1}Z3设A={1,2,3,4,5}则A的导集为{1,2,3,4}，A的闭包为{1,2,3,4,5}某)某））√2、设某为度量空间,某∈某,则d（{某}）=3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是____R____.4、某d(A)当且仅当对于某的每一邻域U有;答案：U(A{某})5、设A是有限补空间某中的一个无限子集，则d(A)=;A=;答案：某；某6、设A是可数补空间某中的一个不可数子集，则d(A)=;A=;答案：某；某7、设某,某{1,2,3}的拓扑T,则某{某,,{2},{2,3}的子集A{1,2}的内部为;答案：{2}三、单项选择题（每题2分）1、已知某①T②T③T④T（）是某{a,b,c,d,e},下列集族中，上的拓扑.{某,,{a},{a,b},{a,c,e}}{某,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}{某,,{ a},{a,b}}{某,,{a},{b},{c},{d},{e}}答案：③{a,b,c,d}，拓扑T{某,,{a}},则{b}=（）2、已知某①φ②某③{b}④{b,c,d}答案：④3、已知某{a,b,c,d}，拓扑T{某,,{a}},则{a}=（）①φ②某③{a,b}④{b,c,d}答案：②4、设某{a,b,c,d}，拓扑T{某,,{a},{b,c,d}},则某的既开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②5、设某{a,b}，拓扑T{某,,{b}},则某的既开又闭的子集的个数为（）①0②1③2④3答案：③6、在实数空间中，有理数集Q的内部Q是（）①②Q③R-Q④R答案：①7、在实数空间中，有理数集Q的边界(Q)是（）①②Q③R-Q④R答案：④8、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）①②Z③R-Z④R答案：①9、在实数空间中，整数集Z的边界(Z)是（）①②Z③R-Z④R答案：②10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③11、设某是一个拓扑空间，A,B是某的子集,则下列关系中错误的是（）①d(AB)d(A)d(B)②ABAB③d(AB)d(A)d(B)④AA答案:③12、已知某是一个离散拓扑空间，A是某的子集,则下列结论中正确的是（）①d(A)②d(A)③d(A)A④d(A)某A某答案：①13、已知某是一个平庸拓扑空间，A是某的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A,则d(A)②若A{某0},则d(A)③若A={某1,某2},则d(A)14、设某{abcd,,,}某某A某④若Ad某,则d(A)答案：④，令B{{,abc,}{},{,}}c,则由B产生的某上的拓扑是（）①{某,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{某,,{c},{d},{c,d}}③{某,,{c},{a,b,c}}④{某,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：①15、离散空间的任一子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③16、平庸空间的任一非空真子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④17、实数空间R中的任一单点集是()①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②18、实数空间R的子集A={1,,,,……},则A＝（）234111①φ②R③A∪{0}④A答案：③19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）①整数集②a,b③有理数集④无理数集答案：①20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z答案：④21、已知某{1,2,3}上的拓扑T{某,,{1}},则点1的邻域个数是（）①1②2③3④4答案：④22、已知某{a,b},则某上的所有可能的拓扑有（）①1个②2个③3个④4个答案：④23、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：③24、设某是一个拓扑空间，A,B某,且满足d(A)BA,则B是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：②四.证明题(52分):n1.设某有拓扑T1,T2,...Tn,i1Ti也是拓扑.证:(1)某,Ti,i1,2,...n,某,i1Ti(2)A,Bi1Ti,A,BTi,i1...n.ABTi,i1...n,ABi1Ti~~n(3)Ti1Ti,TTi ,i1...n,~ATi,i1...n,~AATATni1nnnTinn~ATATi,i1...n,~ATAi1Ti所以i1Ti也是拓扑.2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.某i某,lim某iy证:设度量空间某中序列{某i}iZ有：limii若某y 则B(某,ρ(某,y)/3)∩B(y,ρ(某,y)/3)=.对于B(某,ρ(某,y)/3),存在N1>0,当i>N1时有某iB(某,ρ(某,y)/3)对于B(y,ρ(某,y)/3),存在N2>0,当i>N2时有某iB(y,ρ(某,y)/3)取N=ma某{N1,N2},则当i>N时有某iB(某,ρ(某,y)/3)∩B(y,ρ(某,y)/3)与B(某,ρ(某,y)/3)∩B(y,ρ(某,y)/3)=.矛盾3.设某是一个拓扑空间,B是一个基,某∈某,则B某={B∈B|某∈B}是点某处的一个邻域基.见P.82定理2.6.74.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(某,0)|某∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.。

点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②5、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②6、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③7、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②8、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④9、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④10、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①12、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④13、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①14、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④15、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①16、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①17、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②19、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③20、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 答案：③ 26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④29、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②二、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;答案：{3}13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射15、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射16、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集19、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=I ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.四． 名词解释1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的聚点 答案：设A 是拓扑空间X 的一个子集，如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即({})U A x -≠ΦI ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点。

点集拓扑学试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware 中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述（计算图标）13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称（缩写）2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作（创建，编辑）6、交互结构，交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式（模式工具）13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称（7-8）2、几何画板（几何变换）（移动，旋转）3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题１、如果为视频文件额外配置声音，那么须用声音图标和电影图标。

一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。

若不是，（A∩B）′=A′∪B′，A∪B∈T③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。

显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。

设T2≠空集。

任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。

所以为拓扑。

2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。

求A在Y、R中的闭包、内部。

Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2）R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2）三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。

若A包含于Y则A为X中闭集。

Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。

四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。

2、A∪B= A∪B。

3、∪Aa包含∪Aa。

1、五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。

七、1、f:X Y连续。

2、任意B∈Y闭，f-1（B）闭。

3、任意A包含于X，f（A）包含于f（A）。

4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。

5、任意B包含于Y，f-1（B°）包含于（f-1（B））°证明1~5等价。

八、连续的满的闭映射为商映射。

九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。

十、连通子集在连续映射下的像是联通的。

十一、连通子集的闭包为连通子集。

道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为（X,T）的紧致子集，则A∪B为紧致子集。

点集拓扑学练习题(第3章)答案一、单项选择题1、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④{,,{1},{2}}T X φ= 答案：③2、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②3、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④4、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ）① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案：②5、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③6、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①二、填空题（每题1分）1、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ; 答案：商映射2、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ; 答案：开映射3、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射4、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质5、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质6、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质三．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂， 从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠， 因此()x d B ∈， 故 ()()d A d B ⊂.2、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：T ]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ=。

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ）① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ= ，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B Xφ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A fB f B f A fA fB f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠ ,则Y γγ∈Γ 是X 的一个连通子集.证明：若Y γγ∈Γ 是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃ ………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈ ,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ⊂ 及B φ=,矛盾，所以Y γγ∈Γ 是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明：若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂, 故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。