平面三角形与空间四面体之间的类比

类比方法在数学解题中的应用陕西咸阳武功绿野高中 712203 王少华 康娟娟在高中数学学习过程中，类比的方法技巧经常出现在各种练习和考题中，它不仅仅提高了学生的学习效率及灵活性，而且为人类研究其他各类学科的问题提供了非常有参考价值的思路方法。

比如说梯形面积公式()()221n n a a n S n d d h S +=+=项和与等差数列前下上梯形无论从形式上还是推导方法技巧上都有惊人的相似之处，平面向量基本定理及坐标运算与空间向量基本定理及坐标运算一直到N 维柯西不等式的证明，三角形面积由平行四边形的推导，和三棱锥体积由三棱柱拆分求得等，都给人以某种遐思；林林总总的各种习题枚不胜举，下面结合自己在教学中的心得体会和搜集到的题目加以说明，以便帮助广大同学和各位同仁共勉。

一，类比在数列中的应用例1， 等差数列有如下性质：若{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn +∙∙∙++=21是等差数列，类比上述性质：若{}n a 是正项等比数列，则，则数列=n b 也是等比数列。

分析：由等差数列和的性质自然联想到等比数列积的性质评注：本题也可看作“算术平均数”到“几何平均数” 推广，考查的是知识的迁移能力例2， （1）设数列{}n a ，若()N n n n a a n n ∈≥=++,1,21，求证：{}{}122,-n n a a 是等差数列；（2）设数列{}n a ，若,21nn n a a =⋅+()N n n ∈≥,1,类比上述性质你能得到什么类似的结论，并证明你的结论。

（答案：{}{}122,-n n a a 是等比数列） 分析：由数列和的性质作差变形联想到等比数列作商变形评注：“和”对应“差”，“积”对应“商 ”，充分体现了辩证法思想，是类比的典范小结：等差数列往往表现为和的性质，等比数列往往表现为积的性质，二，类比在几何中的应用例3， 在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC 中角A 为直角，则有三边长的等量关系：222BC AC =+AB ，拓展到空间，研究以A 为顶点的三棱锥A-BCD ，当三条侧棱AB,AC,AD 彼此相互垂直时，三个侧面的面积与低面BCD 面积的关系如何呢？ 经过类比分析可以得出的结论应该是?（答案：2BCD 2ABD 22ABC S S S ∆∆∆∆=++ACD S ）分析：由“线”到“面”，由“长度”到“面积”，从二维到三维空间是我们学习中最常见的类比方法评注：形式上的平方和不变例4， 已知三角形ABC 中三边长分别为a,b,c 内切球半径为r ，则三角形ABC 面积()r c b a s ++=21，请你在三棱锥中写出一个类似的结论？答案是：设三棱锥A-BCD 四个面的面积分别为r s s s s 内切球半径为4321,,,，则有等量关系()r S S S S V BCD A 432131+++=- 例5， 在平面几何里设三角形ABC 中角A 为直角，于是有直角三角形的射影定理BC,DC AC BC BD AB D D,BC AD 22⋅=⋅=⊥且是垂足，则于类似的在空间立体几何学习中，在四面体ABCD 或者说三棱锥A-BCD 中，若有已知条件为：在底面内，为垂足，且底面平面O O BCD AO ABC AD ,,⊥⊥则你能由此得到什么类似的结论呢？解答 ：有结论为 BCDBOD ABD BCD COD ACD BCDBCO ABC S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅=222（证明从略）练习：1、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则232,,.....n n n n n S S S S S --成等差数列，类比得等比数列{}n a 前n 项和为n S ()0n S ≠，则232,,.....n n n n n S S S S S --2、矩形的一对角线长的平方和等于相邻边长平方和，那么长方体中有类似结论：例6， 在ABC t ∆R 中两直角边分别为a,b 斜边c 上的高为h ，则有结论：222111ba h +=如图，在正方体的一个角上截取三棱锥P-ABC,其中PO 爲棱锥的高，记2PO 1M =,记2221PB 1PA 1N PC ++=,那么M 与N 的大小关系为？答案：M=N三，类比法在向量中的应用在教材中平面向量一章有结论：“点P 在直线AB 上的充要条件是：对直线外任一点O 存在实数()st λλλ-+=1”，空间向量一章有结论：“点P 在ABC 面内的充要条件是：对空间任一点O 存在三个实数OC OB OA OP st 321321,,,λλλλλλ++=，其中三个实数满足条件：1321=++λλλ”练习1.当012,,a a a 成等差数列时，有01220a a a -+=；当0123,,,a a a a 成等差数列时，有0123330a a a a -+-=，当01234,,,,a a a a a 成等差数列时，有012344640a a a a a -+-+=由此归纳：当0123,,,a a a a ......n a 成等差数列时，有 （答案：()012012...10nn n n n n n C a C a C a C a -+++-=）；类比得：当0123,,,a a a a ......n a 成等比数列时，有 （答案：()0121012...1n nnnn nC C C C na aa a --=）2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式：()121219......19,n n a a a a a a n n N *-++=++<∈成立，类比上述结论，相应的在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式 答案：()121217......17,n n b b b b b b n n N*-=<∈3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。

三角形类比四面体的相关结论近几年来高考数学命题的类比问题也已经从幕后走到前台，成为考查学生学习潜能的良好素材，在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用。

本文对三角形的性质在空间中类比推广做了进一步的探究，以期对大家有所启发，起抛砖引玉的作用。

题目.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想并证明。

（教74页例3）分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有三个面两两垂直的四面 体，作为直角三角形的类比对象，将直角三角形中的三边关系与四面体中的四个面的面积关系进行类比。

解：在Rt ▲ABC 中由勾股定理得222b a c +=，类比直角三角形的勾股定理可知：在四面体P －ABC 中，PA PC PC PB PB PA ⊥⊥⊥,,，则2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，证明：设c PC b PB a PA ===,,，则ab S PAB 21=∆，ac S PAC 21=∆，bc S PBC 21=∆，故PAB S ab ∆=2，PAC S ac ∆=2，PBC S bc ∆=2， 222222221a c b c b c b S ABC+++=∆22222221a c b a c b ++= 23222144421S S S ++=.232221S S S ++= 故2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++= 点评：从平面几何到空间几何，从二维平面到三维空间，应注意其相应的度量元素的变化，其次是从问题解决的办法寻找相似点作为问题解决的突破口．变式一。

在平面几何中有命题：“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？解：平面几何中该命题的证明方法：面积分割法，即将该点与三角形的三个顶点连接所得的3个小三角形面积的和等于正三角形的面积，化简可得PD ＋PE＋PF 为定值，即正三角形的高度。

第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。

一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。