届人教版九年级数学下册习题课件：自主复习15.直角三角形与勾股定理 (共10张PPT)

∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，

在R
CD AC sin A b sin A
1
1
S ABC AB CD bc sin A
2
2
当A＝55，b 20cm, c 30cm时，有
1
1
S ABC bc sin A＝ 20 30 sin 55
2
2
1
20 30 0.8192 245.8(cm 2 )
斜边
A的对边
正切函数：tanA
A的邻边
如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边），
就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元
素的过程，叫做解直角三角形.
例1
如图，在R
解析：∠A=90°-42°6′=47°54′
a
由cosB ，得
c
a=c·co
b
由sinB ，得
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01）
（1）在R
（2）在R
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6,
∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01）
（1）在R
∠A=10°, b=170.14,
c=172.76
（2）在R
第28章 锐角三角函数
解直角三角形
教学新知
1972年测量比萨斜塔数据：如图所示，
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中
心线的夹角为∠A，过点B 向垂直中心线
引垂线，垂足为点C。在Rt△ABC 中，
∠C =90°,BC=5.2m，AB=54.5m。
教学新知
三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）

斜边 的中点，且 = 1 ，则 的长为( B )
（第2题）
A.2
B. 2 2
C.3
D. 3 2
知识点二 直角三角形的判定
90∘
1.有一个角为____的三角形是直角三角形.
2
2
2

+

=

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ， ， 满足_____________，那
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.（人教八下P34习题17.2第1题改编）下列长度的四组线段中，不能构成直角三角
形的是( D )
A.5，12，13
B.8，15，17
C.3，4，5
D.2，3，4
知识点三 勾股定理的证明及应用
1.证明勾股定理，主要根据剪拼和图形的面积关系来寻找思路.
2.勾股定理的应用，主要体现在检验垂直，测量角度、距离等.求解立体图形上
形的两边长，则可求出第三边长；若已知直角三角形的三边关系，则可设未知数，
根据勾股定理列方程求解.判断三角形是否是直角三角形，既可根据能否得到 90∘
角来判断，也可根据勾股定理的逆定理来判断.
针对训练1 如图， △ 与 △ 都是等边三角形，线段
， ， 的长是一组勾股数，且 最长.
∵ 四边形 为正方形，且 为 的中点，
∴ = = = = 4 ， = = 2 .
由勾股定理得
2 = 2 + 2 = 4 2 + 2 2 = 202 ，
2 = 2 + 2 = 2 + 2 2 = 52 ，
∵△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 150∘ .

B．
C．
D．
【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的 对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都 错．
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 则tanB＝（ B ）
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
C
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊值，及推导方式，可以 提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
B
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. A
直角三角形边与角之间的关系.
c
a
┌
b
C
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 30° 互余两角之间的三角函数关系.
2)如图，sinA=
（×）
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA
的值（ C ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
BC=5，则sinA的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则

2.△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边 上的高是___2_._4__。 3.长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成（首 尾连接）直角三角形的个数为（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

2.如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知 大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y分别表示直角三角形的两直角边
(x>y),则下列结论:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49.其中正确的结论是( C )
A.①② B.② C.①②③ D.①③
3.[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》
益阳]已知M,N是线段AB上的两点, AM= MN=2,NB=1,以点A为圆心
,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接
AC,BC,则△ABC一定是
( B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
[ 解析]如图所示,AC=AN=4, BC=BM=3,AB=2+2+1=5, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
温馨提示
(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b 为两直角边,c 为斜边,h 为斜边上的;高 (2)R△t ABC内切圆半径r=a+2b-c,外接圆半径R=2c,即等于斜边的一半
考点二 勾股定理的探索过程
1. 赵爽弦图：大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角 形的面积
2. 詹姆斯.加菲尔德总统拼图 梯形的面积等于等腰三角形的面积加上两个直角三角形的面积
中早有记载.如图20-15①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小
的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分
的面积,则一定能求出
(C )
A.直角三角形的面积

度h与水平宽度l的比，叫做这个斜坡的坡度.常记
水平线
为i=m:n的形式.
①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.
例.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,左斜面坡度 为i=1:1.5，右斜面的坡度为i=1:3，根据图中的数 据求：⑴.求出坡角α和β的度数；⑵.斜坡AB的长.
⑴.∵ tanAF,i1:1.5
例1. (新人教版九年级数学下册74页例3〕2021年6月18日，“神舟〞九 号载人航天飞船与“天宫〞一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟 〞九号与“天宫〞一号的组合体在离地球外表343km的圆形轨道上运 行，如图. 当组合体运行到地球外表P点的正上方 时，从中能直接看到 的地球外表最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少 (地球半 径约为6400km.π取3.142，结果取整数)？
◆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
◆解直角三角形实际应用的常见根本图形
◆坡度
如图，斜坡的坡角α〔见图标示〕对应的铅直高
1. 如图，在Rt △ACB中， ∠C=90 °; ∠A、∠B、∠C所对的边
分别为a、b、c. ⑴.三边之间的关系： a2 b2 c2 〔勾股定理〕 ⑵.两锐角之间的关系：AB90〔直角三角形两锐角互余〕
⑶.边角之间的关系：
利用上面这些关系，可以“知二求三〞〔直角除外，中至少要有一条边〕.
2. 解直角三角形根本类型
略解：
∵ tanB E, 52,D EC A8
D E
∴ B E D E t a n 8 t a n 5 2 8 1 . 2 7 9 9 1 0 . 2 m

考点精讲
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021

解:在Rt△ABC中
B

a=5
C
c
( 30°
(2) A 30 , BC 5 BC 1 sin 30 AB 2 即AB 2 BC 2 5 10

b
A
(3) BC 5, AB 10 AC AB BC 10 5 5 3
C
A
45
60
B
D
例5. 如图，一艘海轮位 于灯塔P的北偏东65°方 向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向 上的B处，这时，海轮所 在的B处距离灯塔P有多 远？ （精确到0.01海里）
65° P
A C
34°
B
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小 于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
人教版九年级下册28章第二节第一课时
（一）创设情境 导入新课
如图(1)是5级台阶示意图，如果要在台阶上铺地毯，则至少 要买地毯多少米？（取 3 1.732 ，精确到0.1m）
A
2m
30° B 图(1) C
请同学们总结上述计算方法中，都用到了哪些数学知识？
填一填
角α
三角函数
记一记
30° 45°
解：要使A、C、E在同一直线 上，则 ∠ABD是 △BDE 的一 个外角 ∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
a
B
3. 3.从边与角关系出发： 边角间的关系: c o s A A 的 邻 边
tanA
A的对边 BC a 邻边 AC b
试一试
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5， ∠A＝30°你能求出 这个直角三角形的其他边和角吗？

3．(2018·玉林)如图 20-5，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB ＝4，则 AD 的取值范围是 2<AD<8 .
图 20-5
【解析】 如答图，延长 BC 交 AD 的延长线于点 E，过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. 在 Rt△ABE 中，∵∠E＝30°，AB＝4， ∴AE＝2AB＝8. 在 Rt△ABF 中，AF＝12AB＝2， ∴AD 的取值范围为 2<AD<8.
3．如图 20-1，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则 BC 的长为( A )
A．3 C．4.8
图 20-9 B．4 D．5
【解析】 ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴BC2＋AC2＝AB2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°. ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DE∥BC，且 DE 是△ABC 的中位线， ∴D 是 AB 的中点， ∴CD＝12AB＝5.故选 D.
类型之五 平面展开图中的最短路线问题
5 (2018·东营)如图 20-12 所示圆柱的高 AB＝3，底面直径 BC＝3，现在有一只
蚂蚁想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是( C )
A．3 4＋π
B．3 2
3 4＋π2 C. 2
D．3 4＋π2
图 20-12
【解析】 将圆柱侧面沿 AB 展开，得到矩形如答图，则 AB＝3，BC＝32π.在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋32π2＝3 42＋π2.故选 C.
图 20-13
【解析】 作杯壁一半的展开图．如答图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB， 即为蚂蚁爬行的最短路径，过点 B 作 BC⊥AE 于点 C，则在 Rt△EBC 中，BC＝ 32÷2＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，∴EB＝ EC2＋BC2＝20(cm)．

AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=

——————————教育资源共享步入知识海洋————————15.直角三角形与勾股定理(八上第十三章、八下第十七章)知识回顾1．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．2．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．3．勾股定理的逆定理：若一个三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形为直角三角形．达标练习1．(毕节中考)下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B．1，2， 3C．6，7，8 D．2，3，42．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为(C)A．(2，0) B．(5－1，0)C．(10－1，0) D．(5，0)3．(黄冈中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(C)A．6 B．6 3 C．9 D．3 34．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．(烟台中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S 2 015的值为(C)A ．(22)2 012 B ．(22)2 013 C ．(12)2 012 D ．(12)2 0136．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝7，BC ＝57．已知a 、b 、c 是△ABC b|＝0，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．8．如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm ，底面周长为18 cm ，在杯内离杯底4 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.9．如图，每个小正方形的边长都为1.(1)求四边形ABCD 的面积与周长；(2)∠DAB 是直角吗？请说明理由．解：(1)四边形ABCD 的面积为25－1－12×1×5－12×1×4－12×1×2－12×2×4＝14.5； 周长为AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝5＋17＋26＋20＝35＋17＋26.(2)∠DAB 是直角，理由：连接BD ，∵AB 2＋AD 2＝5＋20＝25，BD 2＝25，∴AB 2＋AD 2＝BD 2.∴△ABD 是直角三角形．∴∠BAD 是直角.。