人教版九年级下册数学专题23 直角三角形与勾股定理

初中数学知识归纳勾股定理与直角三角形初中数学知识归纳：勾股定理与直角三角形数学在我们的生活中无处不在，它是一门精确而重要的学科。

而在数学中，勾股定理与直角三角形是初中数学中一个重要的知识点。

本文将对这一知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握。

一、勾股定理的概念及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个几何定理。

其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

即对于一个直角三角形，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。

在实际应用中，勾股定理有很大的作用。

首先，勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三边满足a² +b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

其次，基于勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长。

当我们已知两个边长时，可以通过勾股定理求解第三个边长。

此外，勾股定理还可以用来解决一些实际问题，比如测量等。

二、直角三角形的特点及性质直角三角形是一种特殊的三角形，其特点和性质值得我们深入了解。

1. 直角三角形的特点：直角三角形有一个内角为90度，即直角。

直角三角形的斜边是最长的边，对应角是90度。

直角三角形的两个直角边可以称为腿。

2. 直角三角形的性质：对于一个直角三角形，斜边长等于两直角边长度的最大值。

直角三角形的两条直角边之一变大，斜边会变大，而另一条直角边变大，斜边也会变大。

直角三角形中，两个锐角是互余角（互补对）。

三、勾股定理的证明及推导勾股定理虽然简单易懂，但我们还是可以通过几何分析来证明和推导它。

1. 证明勾股定理：假设直角三角形的两个直角边长分别为a、b，斜边为c。

我们可以通过构造两个相似三角形来证明勾股定理。

具体步骤是，我们通过将一个直角三角形绕斜边分成两个相似三角形，然后利用三角形的相似性质，得到一个等式a/c = c/b。

通过变形，我们可以推导出a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。

2021年新初三数学人教新版专题复习《勾股定理》选择题（共10小题）1.（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）2.（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）3.（2021*海曙区模拟）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC, DB分别交GF, AH于点M K,连接KN交AG于点若Si - $2 = 2, AC=4,则A3的长为（）A. 2B.C. 2^2D. 234.（2020秋•南沙区期末）如图，在等腰AABC和等腰AABE中，ZABC= 120°, AB=BC=BE=2, D为AE的中点，则线段CD的最小值为（）E.DL__ BA. 2B. V?- 1C. 2>/3 - 1D. V6- 15.（2019春•寿县期末）在△ABC中，AB=BC=2,。

是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，ZAOC=60°,则当△招B为直角三角形时，AP的长为（）A. 1,归7B. 1,施，V?C. 1,而，V?D. 1, 3, V?6.（2019-滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0, 2）,点M的坐标为（m-1, - —m -—）（其中所为实数），当的长最小时，m的值为（）4 4A. - 12B. - -LC. 3D. 45 57.（2018秋•惠山区校级月考）如图，点。

在线段AB上，AO=2, 08=1, OC为射线，且ZBOC=60。

,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为，秒.当△ABP是直角三角形时，f的值为（）A. 土匝B.上座C. 1或土座D. 1或回亟8 8 8 88.（2015春•苍溪县期末）在△ABC中，AB=AC=10,BD是AC边上的高，DC=2,则&D 等于（）9.（2020・宿迁一模）如图，在RtAABC中，NC=90° , ZA=30°,点E, F在斜边AB上，且满足AE=EF=FB=2,点F在直角边上，且满足PE+PF=5,则这样的F点个数有（C. 3D. 410.（2020春•和平区校级月考）如图，在中，ZD=90° , DG ： GE=1： 3, GEGF, Q 是EF 上一动点，过点。

《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）《勾股定理》优秀说课稿篇1一、说教材勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。

教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。

据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。

2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。

3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。

4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。

教学重点：勾股定理的证明和应用。

教学难点：勾股定理的证明。

二、说教法和学法教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让同学们主动参与学习全过程。

2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。

3、通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。

三、教学程序本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。

2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。

3、板书课题，出示学习目标。

勾股定理知识点总结人教版一、勾股定理的定义勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

换句话说，设有一个直角三角形，其三个边长分别为a、b、c，且c为斜边，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

其中a和b为直角两边的边长，c为斜边的边长。

勾股定理可以帮助我们快速判断一个三角形是否是直角三角形，也可以用来求解直角三角形的边长和角度等问题。

因此，勾股定理在数学中具有非常重要的地位。

二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早是通过几何方法来证明的。

我们可以通过绘制一个正方形，然后在正方形的对角线上分别画出边长为 a 和 b 的正方形，最后发现这两个正方形的面积之和等于边长为 c 的正方形的面积，从而证明了勾股定理。

2. 代数证明：后来，人们通过代数方法也证明了勾股定理。

通过对勾股定理进行平方运算，然后进行因式分解和运算，最终也可以得到a² + b² = c²的结论。

这种方法一般需要借助一些高等数学知识来进行证明。

三、勾股定理的应用1. 在几何学中，勾股定理可以帮助我们判断一个三角形是否是直角三角形，同时可以求解直角三角形的边长和角度等问题。

2. 在物理学中，勾股定理被广泛运用于力学、光学等领域，例如可以用来解决物体受力后的位移和速度问题。

3. 在工程学中，勾股定理也有着重要的应用，例如在建筑设计和工程测量中，可以用来计算建筑物的高度和长度。

总结：勾股定理是数学中的一个重要定理，通过勾股定理我们可以解决许多与直角三角形相关的问题。

勾股定理的证明方法有几何法和代数法，应用领域广泛，包括几何学、物理学、工程学等。

因此，我们在学习和工作中都需要掌握勾股定理的理论知识和应用技巧，这对于我们的学习和工作都是非常有益的。

希望本文的介绍和总结对勾股定理有所帮助，也希望大家能够在日常学习和工作中多加练习，提高自己的数学能力和应用能力。

专题23勾股定理中的树折和梯子模型【模型1】风吹树折模型如图，已知树干AB 垂直于地面，树干AC 被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。

（1）如果已知AB 和BC，可通过设AC=x ，根据勾股定理可得222x BC AB =+，求出x 的值，进而可求出树高。

（2）如果已知树高y 和BC，可通过设AB=x ，根据勾股定理可得()222x y BC x -=+，求出x 的值。

【模型2】梯子模型如图已知梯子AB 向下滑动了x 米，如图''B A 是滑落后的梯子。

如果已知梯子的长度和AC，可根据勾股定理先求出BC 的长度，在''CB A Rt ∆中，应用勾股定理：()()222222''''''B A x BC x AC B A C B C A =++-⇒=+可求出滑落的距离x ，【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（）A ．8120B ．9120C ．8119D ．9119【答案】B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，解得x =9120．故选：B ．【例2】如图所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 上的位置上，如图，测得DB 的长0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米．A ．0.5B ．0.4C ．0.6D ．1【答案】A 【分析】在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AC =2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE 中，根据勾股定理，得CE =1.5米，所以AE =0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解析】解：∵在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，∴222AC BC AB +=，∵AB =2.5米，BC =1.5米，∴AC 22AB BC -222.5 1.5-=2米．∵Rt △ECD 中，CE ⊥CD ，∴222CE CD DE +=，∵AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，∴EC 米，∴AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．故选：A ．【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】（1）AC =25米，BC =7米，根据勾股定理即可求得AB 的长；（2）由题意得：BA '=20米，根据勾股定理求得BC '，根据BC BC '-即可求解．【解析】（1）解：由题意得：AC =25米，BC =7米，∠ABC =90°，24AB ==（米）答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA '=20米，15BC '==（米）则：CC 'BC BC '=-=15-7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．【解析】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，根据题意得：x 2＋32＝（10−x ）2，解得：x ＝4.55，答：折断处离地面的高度是4.55尺．一、单选题1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的A 处，则旗杆折断部分AB 的高度是（）A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可．【解析】由题意得：5m,12m,90BC AC ACB ==∠=︒则222251213=+=+=AB BC AC （m ）故选：C ．2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB ＝4m ，则树高为（）A ．25mB ．23mC ．()252mD ．()32m 【答案】C 【分析】在Rt △ACB 中，根据勾股定理可求得BC 的长，而树的高度为AC +BC ，AC 的长已知，由此得解．【解析】据题意，AC =2m ,∠CAB =90°，AB ＝4m ，由勾股定理得2225BC AB AC =+=∴AC +BC =252.即树高为252+故选：C ．3．如图，一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，则旗杆折断前的高度为（）A ．10mB ．12mC ．14mD ．16m【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可．【解析】如图，记旗杆顶部为点A ，折断处为点B ，旗杆底部为点C ，由题意得BC ⊥AC ，BC =6m ，AC =8m ，∴∠ACB =90°，∴10AB ===m ，∴BC +AB =6+10=16m ，∴旗杆折断之前的高度是16m ，故选：D ．4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，若设AC x =，则可列方程为（）A ．()222103x x +-=B ．()222310x x +=+C ．()222103x x -+=D ．()222310x x +=-【答案】D【分析】根据勾股定理建立方程即可．【解析】解： 90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，222AC BC AB ∴+=设AC x =，则10AB x =-，则()222310x x +=-故选D 5．一架2.5米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动（）A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．0.9米【答案】C【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC ，进而得出A C '，再利用勾股定理求出CB '即可解答．【解析】解：如图，在Rt △ABC 中，AB =2.5，BC =0.7，∠ACB =90°，∴AC = 2.4==，∴A C '=2.4-0.4=2，在Rt △A CB ''中，CB '= 1.5=，∴BB '=1.5-0.7=0.8，即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，故选：C ．6．如图，一根长为2.5m 的梯子AB 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B 离墙根E 的距离为0.7m ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m 至D 处，则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC 为（）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.8mD ．0.7m【答案】A 【分析】在Rt △ABE 中求出AE ，在Rt △CDE 中求出CE ，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．【解析】解：由题意得，AB ＝CD ＝2.5m ，BE ＝0.7m ，DE ＝1.5m ，在Rt △ABE 中， 2.4m AE ==，在Rt △CDE 中，CE ==2m ，∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC ＝2.4−2＝0.4m ，故选：A ．7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横章竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖若比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x 尺，则下列方程，满足题意的是（）A ．()()22224x x x ++-=B ．()()22224x x x +++=C ．()()22224x x x -+-=D ．()()22224x x x -++=【答案】C【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．【解析】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为（x -2）尺，宽为（x -4）尺，可列方程，()()22224x x x -+-=，故选C ．8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2.5mC ．2.6mD ．2.7m【答案】D 【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt △A ′BD 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中，AB=，∴A ′B =2.5m ，在Rt △A ′BD 中，BD=，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故选：D ．二、填空题9．如图，一根旗杆在离地面9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为__________．【答案】24米【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．15=米，∴旗杆折断之前高度为15+9=24米．10．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．【答案】【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．【解析】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，由题意知BC=10m，CD=6m，根据勾股定理得：BD=8m，∵AB=4m，∴AD=8+4=12m，，AC∴这棵数原来的高度=（m，故答案为：（m．11．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为______米．【答案】8【分析】由题意，根据勾股定理求出斜边的长度，即可求出竹子原来的高度．【解析】解：根据题意，如图：∵3AC =，4BC =，90C ∠=︒，∴AB 5==，∴这根竹子原来的高度为：358AC AB +=+=（米）；故答案为：8．12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5米，则小巷的宽为_____米．【答案】2.7【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt A BD ' 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中， 2.5m AB ===，∴ 2.5m A B AB '==，在Rt A BD ' 中，2m BD ===，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故答案为：2.7．13．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B '，那么BB '的值___1米（填>，<，=）【答案】<【分析】利用勾股定理求出AB ，OB '的长，可得BB '＝(7−)米，然后进行估算即可．【解析】解：由题意可知：∠AOB ＝90°，AB ＝A 'B '，在Rt △AOB 中，由勾股定理得222AB OA OB ＝＋，∴2222753AB ＝＋＝，在Rt △A 'OB '中，由勾股定理得：22253944OB A B OA ''''--＝＝＝，∴OB ′＝米，∴BB '＝OB −OB '＝(7−)米，∵34<<，∴6<<8，∴71-<，故答案为：<．14．如图，一架梯子AB 长10米，底端离墙的距离BC 为6米，当梯子下滑到DE 时，AD ＝3米，则BE ＝___________米．【答案】()36【分析】勾股定理先求AC 的长，继而得到CD 的长，根据AB =DE ，再次运用勾股定理计算CE 的长，根据BE =CE -CB 计算即可．【解析】∵AB =10，BC =6，∴AC 22221068AB BC -=-=，∵AD ＝3，∴CD =AC -AD =5，∴CE 222210553DE DC -=-=∴BE =CE -CB =()536米，故答案为：()36．三、解答题15．如图，∠AOB ＝90°，OA ＝8m ，OB ＝3m ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】机器人行走的路程BC 为7316m ．【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC =AC ，设BC =AC =x m ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC =AC ，设BC =AC =x m ，则OC =（8-x ）m ，在Rt △BOC 中，∵OB 2+OC 2=BC 2，∴32+（8-x ）2=x 2，解得7316x =．∴机器人行走的路程BC 为7316m ．16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．【答案】3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【解析】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x -）米，∴在Rt △CBA 中，有222BC AB AC +=，即：2216(8)x x +=-，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．17．一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米．(1)如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号）(2)如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少?【答案】(1)()5米；(2)7米【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）设该距离为x ，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）如图，根据题意，下滑前，有AB =13，AC =12，∠C =90°，∴5BC ===，下滑之后，有AB =13，AC =11，∠C =90°，∴此时的BC ===∴梯子底端滑动的距离为：()5米，答：梯子的底端下滑()5-米；（2）设该距离为x 米，根据（1）的结果，可知下滑前BC =5，根据题意，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，∠C =90°，∴利用勾股定理有：222AB BC AC =+，即：()()22213512x x =++-，解方程得：x =7，（x =0不合题意，舍去），答：所求的距离为7米．18．一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ．(1)若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端下滑多少米？(2)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【答案】(1)（8m ；(2)2m【分析】（1）作出图形，根据梯子的底端水平向外滑动1m 得出BE 的长，根据勾股定理求出AC 和CD 的长，进而可得出结论；（2）设AD ＝BE ＝x ，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】（1）如图，△ABC 中，AB ＝10m ，BC ＝6m ，∴8AC ==m ，∵梯子的底端水平向外滑动1m ，，∴BE ＝1m ，∴CE ＝6+1＝7m ，∴CD ==，∴AD =AC －CD =（8m ．答：梯子的顶端下滑（8m ；（2）∵梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，∴设AD ＝BE ＝x ，则2222BC AC CD CE +=+，即()()22226886x x -+=++，2210064163612x x x x =-++++2420x x -+=解得x ＝2或x =0（舍去）．答：滑动的距离是2米．19．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，测得MA a =，梯子的底端P 保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时90MPN ∠=︒，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ，测得NB b =，求A 、B之间的距离．【答案】a ＋b【分析】证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝PA ＋PB ＝a ＋b ．【解析】解：∵∠MPN ＝90°，∴∠APM ＋∠BPN ＝90°，∵∠APM ＋∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，90AMP BPN MAP PBN MP PN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMP ≌△BPN （AAS ），∴MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，∴AB＝PA＋PB＝a＋b．20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC 为0.7m（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？【答案】（1）2.4米；（2）1.3m【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，=（米），∴AC 2.4答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．21．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米?（2）设AB c =，BC a =，AC b =，且a b >，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．【答案】（16米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．【分析】（1）已知AB 、BC ，在直角ABC 中即可计算AC 的长度，设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，求解即可；（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，求解即可．【解析】（1）在Rt ABC △中，10AB = ，8BC =，6AC ∴=.设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，解得16x =，26x =-（舍去）6x ∴=6米.（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，解得1x a b =-，20x =（舍去），x a b ∴=-，即梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．22．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限．其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴、y 轴上且AB ＝12cm（1）若OB ＝6cm ．①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C 与点O 的距离的最大值是多少cm ．【答案】（1）①点C 的坐标为（－9）；②滑动的距离为61）cm ；（2）OC 最大值12cm ．【分析】（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．【解析】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=1 2∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC∴OD=OB+BD=9∴点C的坐标为（﹣9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO∴A'Ox，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（x）2+（6+x）2=122，解得：x=61），∴滑动的距离为61）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE =﹣x ，OD =y ，∵∠ACE +∠BCE =90°，∠DCB +∠BCE =90°，∴∠ACE =∠DCB ，又∵∠AEC =∠BDC =90°，∴△ACE ∽△BCD ，∴CE AC CD BC =，即tan 603CE CD=︒=∴y =3，OC 2=x 2+y 2=x 2+3）2=4x 2，∴当|x |取最大值时，即C 到y 轴距离最大时，OC 2有最大值，即OC 取最大值，如图，即当C 'B '旋转到与y 轴垂直时．此时|x |=6，OC 22=124=x x ，故点C 与点O 的距离的最大值是12cm ．。

勾股定理知识
“嘿，同学们，今天咱们来好好聊聊勾股定理知识。

”
勾股定理啊，那可是数学中非常重要的一个定理。

简单来说，就是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，有个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边的平方就等于 3 的平方加上 4 的平方，也就是 9 加 16 等于 25，所以斜边就是 5。

这个定理用处可大了去了。

给你们讲个实际例子吧，咱盖房子的时候，工人师傅要确定一个墙角是不是直角，就可以用勾股定理。

他们量出两条边的长度，然后计算一下是不是满足平方和等于另一条边的平方，如果满足，那这个墙角基本就是直角啦。

再比如，小明要从家里去学校，他可以走两条路，一条是直接沿着斜边走，另一条是先沿着直角边走一段，再转个直角走另一段。

那怎么知道走哪条路近呢？这时候勾股定理就派上用场了。

计算一下两条直角边的平方和，再和斜边的长度比较一下，就能知道走斜边是不是更近啦。

勾股定理不仅在生活中有实际应用，在数学的其他领域也经常用到。

比如在几何证明中，很多问题都需要借助勾股定理来解决。

而且啊，勾股定理还有很多有趣的拓展和延伸呢。

像什么勾股数组，就是满足勾股定理的一组整数。

比如 3、4、5 就是一组勾股数组。

它还引出了很多其他的数学概念和定理。

比如，通过勾股定理可以进一步研究三角函数。

勾股定理是数学中的一块基石，它的重要性不言而喻。

同学们一定要好好掌握它，以后在学习和生活中都能派上大用场呢。

希望同学们听了我这番讲解，对勾股定理能有更深刻的认识和理解，以后遇到相关问题都能轻松解决。

勾股定理相关知识点勾股定理，那可是数学世界里相当神奇的存在。

就像一把神秘的钥匙，打开了很多关于直角三角形的奥秘之门。

在一个直角三角形里，有三条边，两条直角边和一条斜边。

这勾股定理就说啊，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边的平方就是3的平方加上4的平方，也就是9 + 16 = 25，那斜边就是5。

这就像是一种数字之间的默契，不管直角三角形的大小如何变化，只要是直角三角形，这种边与边之间的平方关系就始终存在。

这勾股定理的历史可老悠久了。

据说在古代的中国，就有好多聪明的脑袋琢磨这事儿了。

古代的数学家们在丈量土地啊，建造房屋的时候，就发现了这个规律。

就好比说要建造一个直角的墙角，那古人就可以利用勾股定理来确定这个墙角是不是标准的直角。

如果三条边的长度符合这个定理，那这个墙角大概率就是直角了。

这可比用那些简陋的工具一点点测量角度要方便得多呢。

在西方也有类似的情况。

古希腊的毕达哥拉斯，那也是个数学大拿。

他对这个勾股定理的发现也有很大的贡献。

当时人们觉得这个定理简直太神奇了，就像发现了大自然隐藏的密码一样。

这勾股定理一出现，好多跟几何相关的问题就迎刃而解了。

比如说，知道了直角三角形的两条边，就可以轻松算出第三条边的长度。

这在航海的时候就特别有用，水手们可以根据星象和船行驶的方向，利用勾股定理算出自己距离目的地还有多远。

就像在茫茫大海上，有了一个能指引方向的灯塔，心里就有底了。

勾股定理还能玩出好多花样呢。

有一种叫勾股数的东西，就是满足勾股定理的一组整数。

像3、4、5就是最经典的一组勾股数。

还有5、12、13啊等等。

这些勾股数就像是勾股定理的小跟班，只要看到它们，就知道这肯定能组成一个直角三角形。

而且在生活中，勾股定理的应用也无处不在。

家里装修的时候，要确定一个角落是不是直角，就可以用这个定理来验证。

木工师傅拿着卷尺量一量，心里就有数了。

咱再说说勾股定理的证明。

课时训练(二十三)[第23课时直角三角形与勾股定理]夯实基础1.[2017·贵港] 下列命题中,假命题是 ()A.正六边形的外角和等于360°B.位似图形必定相似C.样本方差越大,数据波动越小D.方程x2+x+1=0无实数根2.下列说法中,正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以BC2+AC2=AB2D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以BC2+AC2=AB23.[2018·黄冈] 如图K23-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()图K23-1A.2B.3C.4D.24.[2016·达州] 如图K23-2,在5×5的正方形网格中,从格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为()图K23-2A. B. C.D.5.[2017·常德] 命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为.6.[2016·大庆] 如图K23-3,一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°方向的C处,则该船行驶的速度为海里/时.图K23-37.[2018·重庆A卷] 如图K23-4,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.图K23-48.[2017·庆阳] 如图K23-5,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于cm.图K23-59.[2017·徐州] 如图K23-6,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.图K23-6(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.能力提升10.[2016·哈尔滨] 如图K23-7,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()图K23-7A.60海里B.45海里C.20海里D.30海里11.在△ABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,则△ABC的周长为()A.32B.42C.32或42D.以上都不对12.[2018·襄阳] 已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.13.[2018·玉林] 如图K23-8,在四边形A BCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是.图K23-814.[2018·柳州] 如图K23-9,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠DCA=30°,AC=,AD=,则BC的长为.图K23-915.[2017·河南] 如图K23-10,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为.图K23-1016.如图K23-11,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.图K23-11(1)写出点O到△ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系(不要求证明);(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.参考答案1.C2.C3.C[解析] 在Rt△ABC中,因为CE为AB边上的中线,所以CE=AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB 边上的高,所以在Rt△CDE中,CD=-=4,故选C.4.D[解析] ∵从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形一共有4种可能,其中△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形,∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为.故选D.5.如果m是有理数,那么它是整数6.[解析] 如图所示,AQ⊥BC于点Q.设该船行驶的速度为x海里/时.3小时后到达小岛的北偏西45°方向的C处,由题意,得AB=80海里,BC=3x海里.在Rt△ABQ中,∠BAQ=60°,∴∠B=90°-60°=30°.∴AQ=AB=40海里,BQ=AQ=40海里,在Rt△AQC中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40海里.∴BC=40+40=3x.解得x=.7.(4+6)[解析] 如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=2厘米,∴EM=EG=(厘米).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG=-=3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米.∴BC=BE+EG+GC=2+2+6=4+6(厘米).8.[解析] 如图,在Rt△ABC中,因为AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理,得AB=10 cm.设CE=x cm,由折叠的性质,得BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x)cm.在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC2+CE2=BE2,即62+x2=(8-x)2.解得x=.∴8-x=.DE=-=.9.解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°.过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=CD=2,CE=2.∴BE=.在Rt△DEB中,由勾股定理,得DB=.10.D11.C[解析] 作出图形,利用勾股定理列式求出AD,BD,再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出AB,然后根据三角形周长的定义解答即可.∵AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,∴AD=-=-=9,BD=-=-=5.如图①,CD在△ABC内部时,AB=AD+BD=9+5=14,此时,△ABC的周长=14+13+15=42;如图②,CD在△ABC外部时,AB=AD-BD=9-5=4,此时,△ABC的周长=4+13+15=32.综上所述,△ABC的周长为32或42.12.2或2[解析] 分两种情况讨论:①当CD在△ABC内部时,如图:在Rt△ACD中,由勾股定理得AC==2.∴AB=2AC=4,∴BD=AB-AD=3.在Rt △BCD 中,由勾股定理得,BC= =2 .②当CD 在△ABC 外部时,如图:此时AB=4,BD=BA+AD=5,在Rt △BCD 中,由勾股定理得,BC= =2 . 综上所述,BC 的长为2 或2 . 故答案为2 或2 .13.2<AD<8 [解析] 由题知,∠A=60°,AB=4,已确定,AD 的长度可以变化,如图①是AD 最短的临界值,此时AD=AB cos60°=2;如图②是AD 最长的临界值,此时AD==8,而这两种情况四边形ABCD 就变成了三角形,故都不能达到,故AD 的取值范围是2<AD<8.14.2或5 [解析] 过点A 作AE ∥BC ,AE 与CD 的延长线交于点E ,则∠CAE=90°.∵∠ECA=30°,AC= ,∴AE=1.设BC=a ,由AE ∥B C 可知△BCD ∽△AED ,∴= ,即 =,∴BD=a.在Rt △ABC 中,由勾股定理得:AB 2=BC 2+AC 2,即 a+2=a 2+( )2,解得:a=2或a=5.故BC 的长为2或5.15.1或[解析] ∵∠A=90°,AB=AC ,BC= +1,∴AB=+1.①当∠MB'C=90°时,∵∠B=45°,∴∠MB'N=45°.∵∠MB'A=90°,∴∠AB'N=45°.∵∠A=90°,∴∠B'NA=45°.∴AN=AB'.设BN=x ,则NB'=x ,AN=+1-x.在Rt △ANB'中,+1-x=x ,∴x=1.∴CB'=+1-=1.∴CM= = .∴BM= +1- =1.②当∠B'MC=90°时,则∠B'MB=90°.∴∠BMN=∠B'MN=45°.∵∠B=45°,∴MN⊥AB.∴点B'与点A重合.又∵AB=AC,∴BM=CM.∵BC=+1.∴BM=.综上,BM=1或BM=.16.解:(1)点O到△ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系是OA=OB=OC.(2)△OMN的形状是等腰直角三角形.证明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点,∴∠B=∠C=45°,OA=OB=OC,AO平分∠BAC,AO⊥BC.∴∠AOB=90°,∠BAO=∠CAO=45°,∴∠CAO=∠B.在△BOM和△AON中,,, ,∴△BOM≌△AON(SAS),∴OM=ON,∠AON=∠BOM.∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°,∴∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.∴△OMN是等腰直角三角形.。