专题2 动力学中的典型“模型”

专题强化四动力学中三种典型物理模型专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题．2．通过本专题的学习，可以培养同学们的审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力．3．用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识．1．两种模型(如图1)2．等时性的证明设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，如图1所示．根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝g sin α，位移为x＝d sin α，所以运动时间为t0＝2xa＝2d sin αg sin α＝2dg.即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关．例1如图2所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点．现让三个小球(可以看作质点)分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止滑到Q点，运动的平均速度分别为v1、v2和v3.则有：()A．v2＞v1＞v3B．v1＞v2＞v3C．v3＞v1＞v2D．v1＞v3＞v2变式1如图3所示，竖直半圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直．一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零．那么，质点沿各轨道下滑的时间相比较()A．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同B．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，时间越短C．质点沿着轨道AB下滑，时间最短D．轨道与AB夹角越小(AB除外)，质点沿其下滑的时间越短1．水平传送带模型项目图示滑块可能的运动情况情景1①可能一直加速②可能先加速后匀速情景2①v0>v，可能一直减速，也可能先减速再匀速②v0＝v，一直匀速③v0<v，可能一直加速，也可能先加速再匀速情景3①传送带较短时，滑块一直减速到达左端②传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端．若v0>v，返回时速度为v，若v0<v，返回时速度为v02.项目图示滑块可能的运动情况情景1①可能一直加速②可能先加速后匀速情景2①可能一直匀速②可能一直加速3.模型特点传送带问题的实质是相对运动问题，这样的相对运动将直接影响摩擦力的方向．4．解题关键(1)理清物体与传送带间的相对运动方向及摩擦力方向是解决传送带问题的关键．(2)传送带问题还常常涉及临界问题，即物体与传送带达到相同速度，这时会出现摩擦力改变的临界状态，对这一临界状态进行分析往往是解题的突破口．例2(多选)(2019·福建泉州市5月第二次质检)如图4，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动．一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，则其速度v随时间t变化的图象可能是()变式2(多选)(2019·陕西榆林市第三次测试)如图5所示，绷紧的水平传送带足够长，且始终以v1＝2 m/s 的恒定速率顺时针运行．初速度大小为v2＝3 m/s的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小墨块滑上传送带开始计时，小墨块在传送带上运动5 s后与传送带的速度相同，则() A．小墨块未与传送带速度相同时，受到的摩擦力方向水平向右B．小墨块的加速度大小为0.2 m/s2C．小墨块在传送带上的痕迹长度为4.5 mD．小墨块在传送带上的痕迹长度为12.5 m1．模型特点“滑块—木板”模型类问题中，滑动摩擦力的分析方法与“传送带”模型类似，但这类问题比传送带类问题更复杂，因为木板受到摩擦力的影响，往往做匀变速直线运动，解决此类问题要注意从速度、位移、时间等角度，寻找各运动过程之间的联系．2．解题关键(1)临界条件：使滑块不从木板的末端掉下来的临界条件是滑块到达木板末端时的速度与木板的速度恰好相同．(2)问题实质：“板—块”模型和“传送带”模型一样，本质上都是相对运动问题，要分别求出各物体相对地面的位移，再求相对位移．例3(2019·贵州毕节市适应性监测(三))一长木板置于粗糙水平地面上，木板右端放置一小物块，如图6所示．木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，物块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4.t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向墙壁运动，当t＝1 s时，木板以速度v1＝4 m/s与墙壁碰撞(碰撞时间极短)．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反．运动过程中小物块第一次减速为零时恰好从木板上掉下．已知木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2.求：(1)t＝0时刻木板的速度大小；(2)木板的长度．变式3(2019·江西宜春市模拟)如图7所示，在倾角θ＝37°的固定斜面上放置一质量M＝1 kg、长度L＝0.75 m的薄平板AB.平板的上表面光滑，其下端B与斜面底端C的距离为4 m．在平板的上端A处放一质量m ＝0.6 kg的滑块，开始时使平板和滑块都静止，之后将它们无初速度释放．设平板与斜面间、滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，通过计算判断无初速度释放后薄平板是否立即开始运动，并求出滑块与薄平板下端B到达斜面底端C的时间差Δt.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)1.如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则()A．t1<t2<t3B．t1>t2>t3C．t3>t1>t2D．t1＝t2＝t32.(2020·广东东莞市质检)如图2所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为()A．2∶1 B．1∶1C.3∶1 D．1∶33.(多选)(2019·湖北黄冈市模拟)机场使用的货物安检装置如图3所示，绷紧的传送带始终保持v ＝1 m/s 的恒定速率运动，AB 为传送带水平部分且长度L ＝2 m ，现有一质量为m ＝1 kg 的背包(可视为质点)无初速度地放在水平传送带的A 端，可从B 端沿斜面滑到地面．已知背包与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．背包从A 运动到B 所用的时间为2.1 s B ．背包从A 运动到B 所用的时间为2.3 sC ．背包与传送带之间的相对位移为0.3 mD ．背包与传送带之间的相对位移为0.1 m4.(多选)(2019·河南周口市上学期期末调研)如图4所示，质量M ＝2 kg 的足够长木板静止在光滑水平地面上，质量m ＝1 kg 的物块静止在长木板的左端，物块和长木板之间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10 m/s 2.现对物块施加一水平向右的恒力F ＝2 N ，则下列说法正确的是( ) A ．物块和长木板之间的摩擦力为1 N B ．物块和长木板相对静止一起加速运动 C ．物块运动的加速度大小为1 m/s 2 D ．拉力F 越大，长木板的加速度越大5．(多选)(2019·江西上饶市重点中学六校第一次联考)如图5所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间动摩擦因数为μ4，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g .现对物块施加一水平向右的拉力F ，则木板加速度a 大小可能是( ) A ．0 B.2μg 3 C.μg2D.F 2m －μg46．(多选)(2019·河南天一大联考上学期期末)如图6甲所示，一滑块置于足够长的长木板左端，木板放置在水平地面上．已知滑块和木板的质量均为2 kg ，现在滑块上施加一个F ＝0.5t (N)的变力作用，从t ＝0时刻开始计时，滑块所受摩擦力随时间变化的关系如图乙所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g 取10 m/s 2，则下列说法正确的是( ) A ．滑块与木板间的动摩擦因数为0.4 B ．木板与水平地面间的动摩擦因数为0.2 C ．图乙中t 2＝24 sD ．木板的最大加速度为2 m/s 27．如图7甲所示，倾角为37°足够长的传送带以4 m/s的速度顺时针转动，现使小物块以2 m/s的初速度沿斜面向下冲上传送带，小物块的速度随时间变化的关系如图乙所示，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：(1)小物块与传送带间的动摩擦因数为多大；(2)0～8 s内小物块与传送带之间的划痕为多长．。

龙源期刊网 动力学中几个常见物理模型分析作者：沈赟来源：《中学生数理化·教与学》2016年第01期物理问题依赖于一定的物理模型，中学阶段涉及的物理模型众多，其中动力学中典型模型比较多.一般情况下，熟练地运用牛顿第二定律处理这些模型背景下的物理问题，是学生能力的体现.本文选择斜面模型、等时圆模型等物理模型进行分析和探讨.一、斜面模型物理中的斜面，通常不是题目的主体，而只是一个载体，即处于斜面上的物体通常才是真正的主体，斜面既可能光滑，也可以粗糙；既可能固定，也可以运动.二、等时圆模型1.质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等.2.质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等.3.两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等.解析：本题考查等时圆知识，亦可用牛顿运动定律结合运动学知识解析，意在考查考生灵活选用物理规律解答物理问题的能力.由题可知A、B、C、D恰好在以AC为直径的圆上，且C为最低点，由等时圆知识可知三小球在杆上运行时间相等，A对.三、水平传送带模型总之，中学物理教材中有许多物理知识比较抽象难懂，往往不易被学生理解和接受.学生经常感到问题复杂，学习起来比较困难.但通过采用模型方法来实施教学，能突出问题的主要因素，简化其次要因素，帮助学生建立起清晰的物理情景，揭示物理过程，达到疏通思维渠道，使物理问题由难变易、由繁变简的效果.物理过程的处理和物理模型的建立，都离不开对物理问题的分析.在物理教学中，通过对物理模型设计思想及建模过程的探究性学习，能培养学生对复杂物理问题进行具体分析、区分主要因素和次要因素，抓住问题的本质特征，正确运用科学抽象思维的方法处理物理问题的能力，有助于学生思维能力的提高，有助于学生掌握物理学的研究方法.。

第15讲动力学中的三种典型物理模型热点概述(1)本热点是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中“等时圆”模型常在选择题中考查，而“滑块—木板”模型和“传送带”模型常以选择题或计算题的形式命题。

(2)通过本热点的学习，可以培养同学们的审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达能力等物理学科素养。

经过针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，帮助同学们迅速提高解题能力。

(3)用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识。

热点一“等时圆”模型1．“等时圆”模型设想半径为R的竖直圆内有一条光滑直轨道，该轨道是一端与竖直直径相交的弦，倾角为θ，一个物体从轨道顶端滑到底端，则下滑的加速度a＝g sinθ，位移x＝2R sinθ，而x＝12，解得t＝2R g，这也是沿竖直直径自由下落的时间。

2at总结：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆(或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。

2．三种典型情况(1)质点从竖直圆上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆的最低点所用时间相等，如图甲所示。

(2)质点从竖直圆上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。

(3)两个竖直圆相切且两圆的竖直直径均过切点，质点沿不同的过切点的光滑弦从上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

如图所示，ab 、cd 是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，b 点为圆周的最低点，c 点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从a 、c 处由静止释放，用t 1、t 2分别表示滑环从a 到b 、从c 到d 所用的时间，则( )A ．t 1＝t 2B ．t 1>t 2C ．t 1<t 2D ．无法确定解析 设滑杆与竖直方向的夹角为α，圆的直径为D ，根据牛顿第二定律得滑环的加速度为a ＝mg cos αm ＝g cos α，杆的长度为x ＝D cos α，则根据x ＝12at 2得，t ＝2x a ＝2D cos αg cos α＝2Dg ，可见时间t 只与圆的直径、当地的重力加速度有关，A 正确，B 、C 、D 错误。

热点专题系列(三)动力学中三种典型物理模型热点概述：动力学中三种典型物理模型分别是等时圆模型、传送带模型和滑块—木板模型，通过本专题的学习，可以培养审题能力、建模能力、分析推理能力。

[热点透析]等时圆模型1．模型分析如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝g sinθ，位移x＝2R sinθ，由匀加速直线运动规律有x＝12，2at 得下滑时间t＝2R，即沿竖直直径自由下落的时间。

图丙是甲、乙两图的组合，g不难证明有相同的结论。

2．结论模型1质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；模型2质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；模型3两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

3．思维模板其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。

如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于A点。

竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。

已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点。

则()A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．b球和c球都可能最先到达M点解析由等时圆模型知，a球运动时间小于b球运动时间，a球运动时间和沿过CM的直径的下落时间相等，所以从C点自由下落到M点的c球运动时间最短，故C正确。

答案 C传送带模型传送带模型的特征是以摩擦力为纽带关联传送带和物块的运动。

这类问题涉及滑动摩擦力和静摩擦力的转换、对地位移和二者间相对位移的区别，需要综合牛顿运动定律、运动学公式、功和能等知识求解。

题型一：物块在水平传送带上题型概述：物块在水平传送带上可分为两种情形：一是物块轻放在水平传送带上；二是物块以一定的初速度冲上水平传送带。

专题动力学中的典型“模型”热点一等时圆模型1.模型特征(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图Z3-1甲所示.(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示.(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示.2.思维模板例1 如图Z3-2所示,在竖直平面内建立直角坐标系xOy,该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道,其中A、C两点处于同一个圆上,C是圆上任意一点,A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点,B点在y轴上且∠BMO=60°,O'为圆心.现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放,它们将沿轨道运动到M点,所用时间分别为t A、t B、t C,则()A.t A<t C<t BB.t A=t C<t BC.t A=t C=t BD.由于C点的位置不确定,故无法比较时间大小关系变式题1 如图Z3-3所示,有一个半圆,其直径水平且与另一圆的底部相切于O点,O点恰好是半圆的圆心,它们处在同一竖直平面内.现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF,它们的两端分别位于上、下两圆的圆周上,轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端,则小物块在每一条倾斜轨道上滑动所经历的时间关系为()A.t AB=t CD=t EFB.t AB>t CD>t EFC.t AB<t CD<t EFD.t AB=t CD<t EF变式题2 如图Z3-4所示,有一固定的支架ACB,AC竖直,AC=BC=l.AB为光滑钢丝,一穿在钢丝中的小球从A 点由静止出发,则它滑到B点的时间t为(重力加速度为g)()A .B .C.2 D .热点二涉及传送带的动力学问题项目图示滑块可能的运动情况水平传送带(1)v0=0时,可能一直加速,也可能先加速后匀速(2)v0>v时,可能一直减速,也可能先减速再匀速(3)v0<v时,可能一直加速,也可能先加速再匀速(1)传送带较短时,滑块一直减速到达左端(2)传送带较长时,滑块还要被传送带传回右端.其中v0>v时返回速度为v,v0<v时返回速度为v0倾斜传送带(1)传送带两端距离较小时,可能一直加速(2)传送带两端距离较大时,可能先加速后匀速(1)传送带两端距离较小时,可能一直加速(2)传送带两端距离较大时,若μ≥tan θ,则先加速后匀速,若μ<tan θ,则先以a1加速,后以a2加速(1)μ<tan θ时,一直加速(2)μ=tan θ时,一直匀速(3)μ>tan θ时,先减速,后反向加速例3 [2018·山西忻州一中月考]如图Z3-8所示,水平传送带长L=11.5 m,以速度v=7.5 m/s沿顺时针方向匀速转动.在传送带的A端无初速度放上一个质量为m=1 kg的滑块(可视为质点),在将滑块放到传送带的同时,对滑块施加一个大小为F=5 N、方向与水平面成θ=37°角的拉力,滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.在滑块从A端运动到B端的过程中,求:(1)滑块运动的时间;(2)滑块和传送带组成的系统因摩擦产生的热量.变式题1 (多选)[2018·湖南张家界三模]如图Z3-9所示,一个可视为质点的物体从高为h=0.8 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,物体经过A点时速率变化可忽略不计,滑上传送带A端的瞬时速度为v A,到达B端的瞬时速度设为v B,水平传送带A、B两端相距x=6 m,物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,g取10 m/s2.下列说法中正确的是()A.物体滑上传送带A端的瞬时速度v A=4 m/sB.若传送带不动,则物体到达B端的瞬时速度v B=2 m/sC.若传送带逆时针匀速转动,则v B一定小于2 m/sD.若传送带顺时针匀速转动,则v B一定大于2 m/s变式题2 (多选)[2018·贵阳模拟]如图Z3-10甲所示,位于同一平面的两条倾斜轨道Ⅰ、Ⅱ分别与一传送装置两端平滑相连.现将小物块从轨道Ⅰ顶端由静止释放,若传送装置不运转,则小物块运动到轨道Ⅱ底端过程的v-t图像如图乙所示;若传送装置匀速运转,则小物块下滑过程的v-t图像可能是图Z3-11中的()热点三滑块—长木板模型滑块和木板的位移关系、速度关系是解答滑块—长木板模型的切入点,前一运动阶段的末速度是下一运动阶段的初速度,解题过程中必须以地面为参考系.(1)模型特点:滑块(视为质点)置于长木板上,滑块和木板均相对地面运动,且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动.(2)位移关系:滑块由木板一端运动到另一端过程中,当滑块和木板同向运动时,位移大小之差Δx=x2-x1=L(板长);当滑块和木板反向运动时,位移大小之和Δx=x2+x1=L.例2[2018·吉林三调]如图Z3-5甲所示,滑块与长木板叠放在光滑水平面上,开始时均处于静止状态.作用于滑块的水平力F随时间t的变化图像如图乙所示,t=2.5 s时撤去力F.已知滑块质量m=2 kg,木板质量M=1 kg,滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2.(已知滑块在0~2.5 s内没有滑离木板)(1)在0~0.5 s内,求滑块和长木板之间的摩擦力大小;(2)在2.5 s时,求滑块和长木板各自的速度大小.变式题1 如图Z3-6甲所示,足够长的木板静止在水平面上,木板的质量M=0.4 kg,长木板与水平面间的动摩擦因数μ1=0.1,质量m=0.4 kg的小滑块以v0=1.8 m/s的速度从右端滑上长木板,小滑块刚滑上长木板的0.2 s内的速度图像如图乙所示,小滑块可看成质点,重力加速度g取10 m/s2.(1)求小滑块与长木板间的动摩擦因数μ2和小滑块刚滑上长木板时长木板的加速度大小a1;(2)求小滑块从滑上长木板到与长木板速度相等过程中相对长木板滑行的距离L;(3)求小滑块从滑上长木板到最后停下来的过程中运动的总距离s.变式题2 [2018·安徽十校联考]如图Z3-7所示,水平地面上固定一倾角为θ=37°的光滑斜面,一长为L1=0.18 m的木板锁定在斜面上,木板的上端到斜面顶端的距离为L2=0.2 m,绕过斜面顶端光滑定滑轮的一根轻绳一端连接在板的上端,另一端悬吊重物Q,木板与滑轮间的轻绳与斜面平行,物块Q离地面足够高.现在长木板的上端由静止释放一可视为质点的物块P,同时解除对长木板的锁定,结果物块P沿木板下滑而长木板仍保持静止.已知P的质量为m,Q的质量为2m,长木板的质量为3m,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.(1)求物块P与木板间的动摩擦因数;(2)从释放物块P至长木板的上端滑到斜面顶端共需要多长时间?。

高考级横一^^教学参考第50卷第丨期2021年1月动力学中三类典型物理模型的分析康俊李明(河南省淮滨高级中学河南信阳464400)文章编号：l〇〇2-218X(2021)01-0038-05《普通高中物理课程标准（2020年修订）》课程 目标中明确提出学生要通过学习具有建构模型的 意识和能力；学业质量中进人高等院校相关专业学 习应达到的水平要求是4，能将实际问题中的对象 和过程转换成所学的物理模型，能对综合性物理问 题进行分析和推理，获得结论并作出解释。

《中国 高考评价体系》明确说明试题以生活实践问题情境 和学习探索问题情境为载体进行测量与评价。

通过对近年高考物理试题的研究发现，动力学 问题是每年高考必考内容之一。

“等时圆模型”“传 送带模型”“板块模型”是动力学中三类典型过程模 型，也是常考的问题情境。

本文选取这三类模型进 行深入分析，以期能在高考备考中提供一些参考。

_、等时圆模型1.真题统计（如表1)表1近十年高考物理“等时圆模型”相关试题统计年份题号命题角度2018浙江省11月选考卷13题光滑轨道2.模型分析如图1、2所示，质点沿竖直面内圆环上的任意 一条光滑弦从上端由静止滑到底端，受力分析可知 加速度a=0，位移:r=2J?sin 0，由匀加速直线运动规律:r=|加2，得出下滑时间i= 2 即沿竖直直径自由下落的时间。

图3是图1和图2的组合，不难证明有相同的结论。

图 1 图2中图分类号：G632.479文献标识码：B3.模型特征特征1质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点，或从最高点由静止滑到各光滑弦下端，所用时间都相等，如图1、2所示。

特征2两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图3所示。

4.思维模型此类问题的思维方法如图4所示:图45.典题示例例1(2018年浙江省11月选考卷13题）如图5所示为某一游戏的局部简化示意图。

1 / 20第三章 牛顿运动定律专题2 动力学的常见模型考点一 “等时圆”模型1.模型示例2.等时性的证明设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α,圆的直径为d(如图丁)。

质点沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a=gsin α,位移为s=dsin α,所以运动时间为t 0=√2s a =√2dsinαgsinα=√2d g。

丁3.结论(1)质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图甲所示;(2)质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示;(3)两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等,如图丙所示。

4.分析思路例1 如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点,与竖直墙相切于A点。

竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°,C是圆环轨道的圆心。

已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点;c球由C 点自由下落到M点。

则( )A.a球最先到达M点B.b球最先到达M点C.c球最先到达M点D.b球和c球都可能最先到达M点审题关键这里只有a球路径属于等时圆模型,b、c球如何跟等时圆模型建立联系?提示:b球路径比等时圆弦长要长,c球路径是直径的1/2答案 C 由等时圆模型知,a球运动时间小于b球运动时间,a球运动时间和沿过CM的直径的下落时间相等,所以从C点自由下落到M点的c球运动时间最短,故C正确。

2 / 201.[等时圆扩展](2020山东聊城模拟)如图所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点。

每根杆上都套有一个完全相同的小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c点无初速度释放,下列关于它们下滑到d的过程的说法中正确的是()A.沿cd细杆下滑的滑环用时最长B.重力对各环的冲量中沿ad下滑的最小C.弹力对各环的冲量中沿cd下滑的最大D.各力对各环的冲量大小相等答案 C2.[构造等时圆]如图所示,固定支架ACB中,AC竖直,AB为光滑钢丝,AC=BC=l,一穿在钢丝中的小球从A点静止出发,则它滑到B点的时间t为( )A.√lg B.√2lgC.2√lgD.√l2g答案 C AC=BC=l,以C点为圆心、长度l为半径画圆,则A、B两点均在圆周上,所以t=√2·2lg =2√lg,C正确。