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初中数学第28章操作闻题和逻辑推理闻题竞赛专题复习（人教版有答案）第28章操作闻题和逻辑推理闻题 28.1 有趣的操作问题 28.1.1** 在黑板上记上数1，2，…，，现允许选择任意两个数。
换成其和或差（绝对值），经过次操作，黑板上只剩下1个数．问对于什么样的，才可能让这最后一个数为0？解析显然，经过一次操作，原来的奇数个数要么保持不变，要么减少2，因此奇数总数的奇偶性在操作前后保持不变，当，2（）时，奇数个数为奇数个，不可能减到0个（0是偶数）．因此，要满足题目要求，一个必要条件是，3（）．当（）时，由于连续4个整数可以得到两个1，从而进一步得到0，最终可得到一个0；当（）时，先取出1、2、3，得到0，其余仍然4个连续整数一组，仍可最终得到0．因此答案为，3（）． 28.1.2** 只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子，将它们移到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经若干次操作后，使6只盘子叠在一起．解析设想盘子的位置是数轴上的整数点1、2、3、4、5、6．由于相邻整数的奇偶性不同，故每次移动改变了两个位置的奇偶性．原来有奇数个盘子在奇数位置，每次移动有三种可能：（）将两个奇数位置的盘子移到偶数位置；（）将两个偶数位置的盘子移到奇数位置；（）将一个奇数位置的盘子移到偶数位置，将一个偶数位置的盘子移到奇数位置．无论哪种情况，每次移动后仍有奇数个盘子在奇数位置上，这就表明不能把6只盘子重叠在一起（因为6只盘子叠在一起时，奇数位置的盘子是偶数（6或0个）． 28.1.3** 黑板上写有1，，，…，．每次操作可以从黑板上的数中选取2个数、，删去、并在黑板上写上数，问经过99次操作后，黑板上剩下的数是几？解析因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加l后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，得，于是． 28.1.4** 在正方形的3个顶点处各有一只蚂蚱，现在每次有一只蚂蚱从另一只蚂蚱背上跳过，落到对称的位置．问是否在经过几次跳跃之后，有一只蚂蚱跳到了正方形的第4个顶点上？解析不能．不妨设原来3只蚂蚱所在位置是（0，0），（1，0），（0，1）．由中点坐标易见，每次跳跃之后，对称位置的横、纵坐标的奇偶性与原先起跳点的一样，而原先没有一只蚂蚱在奇数格点（即两坐标都是奇数）上，因此也就没有一只蚂蚱会跳到奇数格点上，当然也就不会落到（1，1）上． 28.1.5* 中国象棋中的马，每步由1×2格的一个顶点跳到其对角顶点．求证：该马从棋盘上任意一点出发要跳到它的相邻格，必须经过奇数步．解析赋象棋盘每个格点（，）以数，马每跳一步，必在行和列中，一种增减2，另一种增减1，即乘以．所以，马跳步后，到它的相邻格点时，必有，故，故为奇数． 28.1.6** 一个箱子里装有个白球和个黑球，箱子旁边还有一堆黑球．从箱子里取出两球：如果这两个球是同颜色的，则从箱外取出一个黑球放回箱子里；如果这两个球是异色的，则把其中的白球放回箱子．这个过程一直重复到最后一对球从箱子取出，并且最后一个球放回箱子．试问最后一对球有没有可能是白色的？并说明理由．解析若在白球上记上数字1，黑球上记上数字0，则任何时候箱中的白球数就等于箱内所有球的数字之和，并且开始时总和为，如果取的两个球是白色，则放回一个黑球，故总和变成．如果取的两个球是黑色，则放回一个黑球，故总和是．如果取出的两球是一黑一白，则放回这个白球，故总和也是．由此可知，每完成一个过程，箱子里球的数字之和或者不变，或者减少2，即变换前后的奇偶性不变．故为偶数时，最终将变成0（黑球）；为奇数时，最后必将是1（自球）． 28.1.7* 一堆火柴共1000根，两人轮流拿走根火柴，其中户为质数，”为非负整数，规定谁取到最后一根火柴谁就获胜，证明：先取者必胜．解析在正确的玩法下，第一人将取胜．由于他在每次执步中，可以取走1、2、3、4或5根火柴，所以他可以执行这样的策略：即不论第二个人如何动作，他都应在自己执步之后，给对方留下能被6整除的火柴数目．这样，在经过有限次执步之后，他将给第二人留下6根火柴．因而在第二人动作之后，他即可取走所有剩余的火柴而结束游戏． 28.1.8** 甲、乙两个人取数，若已有的最后一个数为，则可以取至中任一个数．若甲先取，开始已有数2，取到2004为胜，问甲必胜还是乙必胜？解析甲必胜．甲可依次取3、7、15、31、62、125、250、501、1002、2004．这一列数中，后一个数要么是前一个数的2倍，要么是2倍加上1．现在说明只要取到前一个数，就必可取到后一个数，从而必可取到2004．事实上，若甲取到的数为，则乙可取至中任一数．而，且，，故当乙取完后，甲必可取或． 28.1.9** 两个相同的齿轮，各有14个齿，一个平放在另一个的上面，使得它们的齿重合．现在去掉4对重合的齿．是否总可以旋转上面的那个齿轮，使得它们的共同投影是一个完整的齿轮．若两个齿轮各有13个齿，结论如何？解析 14个齿时可以．设去掉的齿为，，，∈{0，1，…，13），两两的差有4×3＝12种，取，（），则转过6个齿后，投影为完整的齿轮．至于13个齿，则不一定，如去掉的齿为0、1、3、9，即为反例． 28.1.10** 正方形的顶点处放有火柴，开始在某一点放根火柴，其他三顶点则空着．现允许从某个顶点移走任意根火柴，然后在其两个相邻顶点各放上移走火柴数目两倍的火柴．当，3时，问是否可以经过若干次这样的操作，使得各顶点处的火柴数依次为1、9、8、9？解析设顶点处火柴数依次为、、、，考虑数和，易知每经过一次操作，都有（），（），但是，1+9+8+9 2（），1－9+8－9 ±3（），之所以取“±”，是因为一开始的因3根火柴的位置不同而可能不同．因此当，3时，不可能经过有限步操作后变为1、9、8、9． 28.1.11*** 将（≥1）个数排在一个圆周上，每个数都是+1或－1，现在同时将每个数都乘以它的右边的数，将所得到的数替换原来的数，称为一次操作．证明：经过有限次操作后，每个数都成为+1．解析设这个数往右依次为，，…，．下证：经过次操作后，在位置上的数为，这里当下标大于时，认为模同余的下标则为同一个数．当时，第一次操作后，第个位置数为，第二次操作后，第个位置上数为，即时成立；若经过次操作后，第个位置上数为，故再经过次操作即共次操作后第个数为，因此对一切均成立．于是，经过次操作后，第个位置上数为，即所有数均为+1． 28.1.12*** 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到17、1967、1983．问原来的三个数能否为（1）2、2、2；（2）3、3、3．解析（1）不能为2、2、2．因为2、2、2是三个偶数，按规则，第一次换数后，三个偶数就变成两偶一奇．第二次换数时，若擦去的是偶数，则换上的仍是偶数；若擦去的是奇数，则换上的仍是奇数，同样保持两偶一奇．第一次换数后，以后三个数永远保持两偶一奇不变，而19、1967、1987三个数都是奇数，这种情况决不会出现．所以，原来的三个数不能是2、2、2．（2）能为3、3、3．具体做法如下：首先按下法作8次变换．3、3、3→3、3、5→3、5、7→3、7、9→3、9、11→3、11、13→3、13、15→3、15、17→17、15、31．再注意到1967＝122×16+15，1983＝122×16+31，便知只要由17、15、31再按“17、、→17、、”作122次变换，即可得到17、1967、1983． 28.1.13*** 任意（， >6，偶数）的棋盘可以被1×2的骨牌覆盖，使得任一条非边界的棋盘网格线必穿过任何骨牌．解析图（）表明，如何铺满矩形5×6和8×8（在铺满矩形8×8的情形中利用了矩形5×6的铺设法）．现在只需证明，如果可以铺满矩形× ，那么就可以铺满矩形×（）．为此，需要把已铺满骨牌的矩形× 分成两部分，而不分割骨牌，因此需要右边部分向右边移动距离2．并且用水平骨牌填满间隔（图（））． 28.1.14** 在× 的方格表中任意填上l或，为奇数，在每一列下及每一行右写下该列或该行所有数的积，求证：这个乘积的和不为0．解析设，，…，为每行之积，，，…，为每列之积，易知，于是在，，…，中有个，，，…，中有个，则．若个乘积之和为0，则，得为偶数，矛盾． 28.1.15** 在矩形方格表（至少两行两列）的每个小方格中都填上1或，并且l和的个数都不少于两个，求证：存在4个小方格，其中心是一矩形的顶点，且小方格中数字之和等于0．解析用反证法．若不然，如果有一行全为1，那么其他行最多一个，由题设，两个分别在不同行中，如这两个在同一列中，则任一其他列中的对应数都是1，于是这样的矩形存在．否则，以这两格为对角线的矩形的另两个顶点中的数一定都是1，于是4个数字之和仍为0．如有一行全为，同理可证．于是每一行都既有1，又有，这样等于只需考虑矩形的两行，把其他行都忽略（即自此每一列都只包含2个格子）．考虑每一列数之和，无非是2、0、，显然若所求矩形不存在，则0最多一个，而2与不能共存，若只有2，那么最多1个，矛盾，若只有，那么1最多一个，亦矛盾．因此结论成立． 28.1.16*** 一个重40磅的砝码，由于跌落地面而碎成4块，每块的重量都是整数磅，现在可以用这些砝码来称1至40磅之间任意整数磅的重物，问这4块砝码可各重多少磅？解析问题的答案是：4块碎片的重量可分别为1，3，9，27磅．一般的情况：是否可以用一套磅数为1，3，9，…，的砝码，来称磅数为任何正整数，的物体？那就要设法证明：任何正整数都是3的有限项不同次幂的代数和．① 证明如下：以3作除数，应用“辗转相除法”，设，，，．此中，（，1，2，…，），．于是有．② 由于，（，1，2，…，），即是说，除0外，与（，1，2，…，）只能取1或2，而，代入②式的末端经整理便可得到①．改写①得．由此可见，只要把重量为，，…，磅的砝码放在一个盘子里，而把磅，磅，…，磅的砝码和磅的重物放在另一个盘子里，天平的左右两个盘子重量就相等了，这样就称出磅重的物体来． 28.1.17*** 两个人做如下游戏：甲先报一个数字，乙则根据自己的判断将该数字代替下面的某个星号：规定已经改成数字的不能再动，而且允许在最高位放0．依此类推，共进行8次，直到上式所有小星星变成数为止．甲希望所得差尽可能地大，乙希望所得差尽可能地小．证明：不管甲报什么数字，乙总有办法使得差不超过4000；不管乙怎样安排，甲总可使得所得差不小于4000．解析若甲第1次报的是0、1、2或3，则乙只要将此数放入被减数的千位即可．若甲第1次报的是6、7、8或9，乙只需将此数放入减数的千位即可．这样所得差小于4000，于是甲只能报4或5．当甲报4时，乙将4放入被减数的千位，接下来甲只能不断报0（否则被乙放入减数的千位），最终差为4000；同理若甲报的是5，则乙将5放入减数的千位，接下来甲只能不断报9，最终差为4000．乙的策略已经找到．甲的策略要复杂一些．用、、、表示从左到右4个数位（每个由上下两个数位组成），甲应注意有最小的，在中有一个数字和一个，或有两个不同的数字．如果，或，甲应报4，如所有数位都相同或，则可报任何数字，比如报5．当乙“不得不”头一次把数字放到上边的数字，甲可报0，如果是下边的数字，甲可报9，这便是甲的策略． 28.1.18*** 阿里巴巴试图潜入山洞．在山洞入口处有一面鼓．鼓的表面有四个孔，组成正方形的四个顶点．在每个孔的里面各装有一个开关．开关有“上”“下”两种状态．如果四个开关的状态全都一致，洞门即可打开．现允许将手伸入任意两个孔，触摸开关以了解其状态，并可随自己的意思改变或不改变其状态．但每当这样做了（并伸出手）之后，鼓就要飞快地旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关．证明：阿里巴巴至多需要五次这种步骤就可以进入山洞．解析首先容易通过两次操作把不少于3个开关扳为状态“上”，如果大门没有打开，这就意味着第四个开关处于状态“下”，这时阿里巴巴应该将手伸入对角线上的两个洞，如果碰到向下的开关，那么应当把它扳为“上”，从而进入山洞；如果这一对开关均向上，那么把其中之一扳为向下．这样，显然两个相邻（即正方形某边的两端）的开关向上，另两个相邻的开关向下．然后阿里巴巴沿着正方形的边伸手；如果两个开关处于同一状态，他就改变它们状态从而进入山洞；如果两个开关状态不同，他应该都改变状态，最后一次沿对角线找到开关，改变里面的开关状态，这样最多五次就可以进入山洞． 28.1.19** 圆周上放了（≥4）个和为1的非负数，求证：相邻数乘积之和不大于．解析设圆周上依次有、、、四点，不妨设≥ （这样的、总能找到），显然有．今去掉和，代之以，圆周上的数减少1个，和仍为1，但相邻数乘积之和增大或不减．于是在不断调整后，圆周上的数变成只有4个，不妨设依次为、、、，而．于是结论成立． 28.1.20*** 在× 的方格表内的每个小方格中各填入0或1，如某一行与某一列的交点处所填数是0，则该行与该列的数之和不小于，求证：表中所有数之和不小于等．解析考虑所有的行与列，选出0的个数最多的行（或列）．若在这一行中有个0和个1，则由条件知对应于这一行的0所在的列中每列至少有个1，而在其余的列中每列不少于个1（由最初那一行的选择而得）．于是，1的总数不少于． 28.1.21** 在圆周上均匀地放4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若同色，就在其问放一枚黑子，若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这程序，就算一次操作．求证：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，只需操作若干次，圆周上就全是黑子．解析据题意，对开始时的第1、2、3、4这四枚棋子，依次地用、、、表示，且赋值为（，2，3，4）则，且（，2，3，4，）因此，各次操作后，棋子的赋值情况如下：开始第一次操作后第二次操作后第三次操作后第四次操作后 1 1 1 1 这是因为，因此，最多只需操作四次，圆周上全是黑子了． 28.1.22**** 正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正数．若其中三个相邻顶点对应的整数依次为、，，而中间的，则要进行如下的变换：整数、、分别换为、、．要是所得的五个整数中至少还有一个为负数，这种变换就继续进行．问：这样的交换进行有限次后是否必定终止？解析不妨设圆周上五个数依次为、、，，，且，变换后得到、、、、，其和不变．现考虑五个数的平方及每相邻两数和的平方之和．那么变换后与前之差是．因此，这一和（一个正整数）每经过一次变换都至少要减少2．由于正整数不能无限减小，所以该变换必定有终止的时候． 28.1.23**** 给定4个全等的直角三角形纸片，进行如下操作：每次可选一个直角三角形并将它沿斜边上的高剪开成两个直角三角形．求证：无论经过多少次操作，在所得到的三角形中总有两个全等（不包括重叠情形）．解析用反证法．即存在4个全等的直角三角形纸片，经过有限次操作可使所得到的直角三角形互不全等．设这样的操作的最少次数为，这里操作次可以使得到的直角三角形互不全等且与操作顺序无关．开始时4个全等直角三角形必须有3个要沿斜边上的高剪开．不妨设开头的3次操作就是剪开这3个三角形．于是得到新的6个直角三角形可分成两组，每组3个直角三角形彼此全等．这样一来，每组3个全等直角三角形中又都至少剪开两个．不妨设第4至第7次操作就是剪开这4个三角形．注意这时剪开得到的8个直角三角形中有4个是全等的（相当于两个矩形沿它们的一条对角线剪开）．按假设，从这4个全等的直角三角形出发，只要再操作次就可以得到互不全等的三角形，此时与的最小性矛盾！这表明无论经过多少次操作，总有两个三角形全等． 28.1.24**** 3个数、、围着一圆周，依次将其改为、、，叫做完成一次操作，求证：如果起初的、、是非零整数（或有理数），则若干次操作后迟早会出现0，但可以找到3个实数、、，使得无论经过多少次操作，0都不会出现．解析用反证法．当、、是整数时，如果0永远不出现，考虑每次操作后最大的那个数，在下一次操作后，至少要减去1，但正整数是不能无限减少的，因此0必定会出现．至于有理数情形，只要乘以各分母的最小公倍数，便转化为整数问题．最后讨论实数问题，先证明一个结论：设、、为整数，且，则．为此，只要将两端平方，即得，但无论是还是，总能得出另外两个数也为0．证毕．于是令，，，第一次操作后其中一项为或，即“奇数×1+奇数× +偶数× ”，另外两个数分别为“奇数×1+偶数× +奇数× ”和“偶数×1+奇数× +奇数× ”．第二次操作后，这种状态不变，因此无论经过多少次操作，这种状态一直保持不变，由前面的结论，即知永远不会出现0．评注对于一般的圆周上（>3）个数，上述结论全部成立，不过实数情形颇不易处理． 28.1.25**** 沿着圆周放着一些数，如果有相连的4个数、、、满足不等式，那么就可以交换、的位置，这称为一次操作．（1）若圆周上依次放着数1、2、3、4、5、6，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？（2）若圆周上依次放着数1，2， (2003)问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？解析（1）（2）答案是肯定的．考虑这2003个数的相邻两数乘积之和，开始时．若圆周上相连的4个数、、、满足不等式，即，交换、位置后，相连的4个数为、、、，于是圆周上相邻两数乘积之和的改变量为，即≤ ，所以每作一次操作，乘积和至少减少1，由于相邻两数的乘积和不可能为负的，故经有限次操作后，对任意相连的4个数、、、，一定有． 28.2 逻辑推理问题28.2.1* 某班甲、乙两名同学因一件事件发生纠纷．老师找了4位在场同学调查情况，他们的回答有真有假．第1位同学说：“我只知道甲没有错．” 第2位同学说：“我只知道乙没有错．” 第3位同学说：“前面两位同学所说的话至少有一个是真的．” 第4位同学说：“我可以肯定第3个同学说的是假话．” 经调查，证实第4位同学说的是真话．请问：甲、乙两人谁有错．解析因已证实第4位同学所说属实，所以第3位同学所说的话是假话，即“前面两位同学所说的话至少有一个是真的”是假话．从而，第1、第2两位同学都没说真话，也就是，甲、乙两人都有错．评注如果我们选择前3位同学的话作为突破口，进行假设推理将较为困难． 28.2.2* 某校举办数学竞赛．、、、、五位同学分获前5名．发奖前，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．说：“ 第三名，第五名．” 说：“ 第四名，第五名．” 说：“ 第一名，第四名．” 说：“ 第一名，第二名．” 说：“ 第三名，第四名．” 结果，每个名次都有人猜对．请问：这五位同学的名次是怎样排列的．解析被猜为第二名仅一个人，因此，为第二名．此外，被猜为第一名的有、；被猜为第三名的有、；被猜为第四名的有、；被猜为第五名的有、．由第二推知第三，进而推知第一，第五，第四．评注寻找突破口是解决逻辑推理问题的基本技巧，有些问题突破口比较隐蔽，需要对问题进行深入分析以后，再进行巧妙的构思，方能找到． 28.2.3** 个人聚会，已知其中每个人都至少认识个与会者．证明：可以从中选出4个人围着圆桌坐下，使得每个人都与熟人为邻．解析如果这些人两两认识，结论显然成立．否则找到、，他们不认识．在剩下的个人中，必定有、与、都认识，否则剩下的人数至少有，矛盾，于是、、、可依次围着圆桌坐下而满足要求． 28.2.4** 一个骰子，六个面的数字分别为0、1、2、3、4、5．开始掷骰子后，当掷到的总点数超过12就停止不掷了．请问：这种掷骰子的游戏最可能出现的总点数是多少？解析欲使最后一次投掷的点数和≥13，倒数第二次投掷所达到的点数和最大数为12，最小数为8．共有5种情况．如果倒数第二次总点数等于12，再投一次后可能达到的（超过12）的总点数将分别为13、14、15、16、17．而且机会是均等的；如果倒数第二次总点数等于11，再投一次超过12的总点数的可能值分别为13、14、15、16；依次类推…… 如果倒数第二次总点数等于8，再投一次超过12的总点数只可能是13（此时，最后一次投掷出现的点数必须是5）．综上所述可知，超过12的最大可能出现的总点数值是13（它在每一种情况下都可能出现）． 28.2.5** 有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包好，在桌子上排成一排．五个人猜各包里珠子的颜色．甲猜：第二包是紫色，第三包是黄色；乙猜：第二包是蓝色，第四包是红色；丙猜：第一包是红色，第五包是白色；丁猜：第三包是蓝色，第四包是白色；戊猜：第二包是黄色，第五包是紫色．猜完后，打开纸包一看，每人都猜对了一种，并且每包都有一个人猜对．请你也猜一猜，他们各自都猜中了哪一种颜色的珠子？解析画出如表1所示，第一行表示珠子的颜色，表中的数字表示各个人所猜的包数，第一列表示五个人．由于题目条件申明每人都猜对了一种；每包都有一个人猜对，因此，表中每一行的两个数有且仅有一个正确；表中所标志出的10个数中，1，2，3，4，5各有且仅有一个是正确的，每一列中的两个数中，有且仅有一个是正确的．注意到，包数1在表中只出现1次（丙猜第1包是红色）．按条件，这个猜测应是正确的，以此为突破口，展开推理．表1 红蓝黄白紫甲 3 2 乙 4 2 丙 1 5 丁 3 4 戊 2 5 表2 我们用“√”表示“正确”；用“×”表示“不正确”，用“→”表示推理的路线．在数字上画一个图表示推理的出发点，表2即可清晰简明地表现出推理的过程．通过表上推理知，甲猜中第3包是黄色，乙猜中第2包是蓝色，丙猜中第1包是红色，丁猜中第4包是白色，戊猜中第5包是紫色． 28.2.6** 四位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林．在游泳、田径、乒乓球和足球四项运动中，每人只参加一项，且四人的运动项目各不相同．除此以外，只知道：（1）张明是球类运动员，不是南方人；（2）胡纯是南方人，不是球类运动员；（3）李勇和北京运动员、乒乓球运动员三人同住一个房间；（4）郑路不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员都小；（5）浙江运动员没有参加游泳比赛．根据这些情况，你能否断定，这四名运动员各来自什么地方？各参加什么运动项目？解析这个问题涉及三种“对象”――姓名、运动项目及籍贯．所知情况很“零碎”．我们设计下面表格，在表格中进行推理．显然，每一个人只能参加一个项目的运动，只有一种籍贯．我们用“√”表示肯定的判断，用“×”表示否定的判断．由（1）、（2）、（3）、（4）得表1．表1 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × 张× × × × 胡× × × 李× × 郑× × 从而推知，张明是北京运动员，李勇是吉林运动员（表2）．表2 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × 张√ × × × × 胡× × × 李× √ × 郑× × 由（3）知张明（北京运动员）不是乒乓球运动员，从而他是足球运动员，郑路是乒乓球运动员（表3）．表3 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × × × 胡× × × 李× × × √ × √ 郑× × 由（4）知，李勇（吉林运动员）不是游泳运动员，从而胡纯是游泳运动员，李勇是田径运动员（表4）．表4 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × √ × × × 胡× × × √ × × 李× × × √ × × √ × 郑× × 由（5）知，胡纯不是浙江运动员，从而他是上海运动员，郑路是浙江运动员（表5）．表5 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × √ × × × 胡× √ × × × √ × × 李× × × √ × × √ × 郑× × √ × 最后一个表格显示：张明是北京的足球运动员，胡纯是上海的游泳运动员，李勇是吉林的田径运动员，郑路是浙江的乒乓球运动员． 28.2.7** 三个整数、、满足条件．把它们分别写在三张卡片上．、、三人进行某种游戏．每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走步．在进行（≥2）次摸取后，已走了20步，走了10步，走了9步．已知最后一次走了步，问第一次谁走了步？解析按题意，每次摸取后，三人共走了（）步．所以，次摸取后共走了．，由于≥2及，所以，．由于三次走了20步，因而≥7．若，那么三次所走步数只能是（从而），这与矛盾！从而．由三次走10步且最后一次走（>7）步，因，≥1，必有≤8，因此，．所以，或，两种可能．但是，三次走20步，所以现将已推算出各次每人走的步数列表于下：一8 1 ④ 二 8 1 4 三 4 8 1 由表知，第一次走（）步的是． 28.2.8** 甲、乙、丙、丁四人比赛羽毛球．每人与对手各赛一场．结果：甲胜丁，甲、乙、丙三人所胜场次相同．请问：丁胜几场？解析四人比赛，共赛6场．由于甲、乙、丙所胜场次相同．且。
七年级科学思维训练前言七年级是学生接触科学课程的重要时期，在此时期科学思维训练对学生的发展有着非常重要的作用。
本文将介绍七年级科学思维训练的内容和方法。
科学思维的重要性科学思维是指在探究自然现象时所运用的思考方式和方法。
正是科学思维使科学家们能够对自然界有更深入的认识和理解，是科学研究所必需的基本能力，也是学生在课堂上获得知识的重要途径。
科学思维的训练内容1. 观察和实验能力的培养观察是科学研究的起点，实验是验证科学理论的关键。
因此，在科学思维训练中，学生要学会观察、记录和分析数据，掌握基本实验技能，这对于掌握科学基础知识和提高科学思维水平非常重要。
2. 推理和判断能力的提高科学研究中经常需要进行推理和判断，这对于学生培养逻辑思维和批判性思维能力非常有益。
在训练中，老师可以通过设计问题和活动来引导学生思考，提高其推理和判断能力。
3. 交流和合作能力的培养科学研究往往需要团队合作，因此交流和合作能力也是科学思维训练不可忽视的内容。
通过小组讨论、合作实验等形式，学生能够体验团队合作的魅力，同时也能够提高其交流和合作能力。
科学思维训练的方法1. 实验法教学法实验法是科学教学的重要方式，通过实验研究可以激发学生对科学的好奇心和探究欲望，并通过实验结果的观察和分析来提高学生的思维能力。
2. 课外探究法除了课堂上的讲解和实验，老师还可以组织学生进行科学探究活动，让学生通过实地观察和调查来发现问题、分析问题和解决问题，从而提高学生的科学思维能力。
结语在科学思维训练中，我们要注重培养学生的动手能力、逻辑思维能力、创造性思维能力和团队合作能力，在科学教育中注重培养学生创新精神和科学精神，从而培养出更多的具有科学素养的优秀人才。
创新性思维实验报告研究目的本实验旨在培养和提升学生的创新性思维能力。
通过设计一系列创新性思维实验，让学生在具体实践中运用创新思维方法，培养其创新意识、发散思维和解决问题的能力。
实验设计实验一：创新问题匹配实验一旨在培养学生发散思维，锻炼他们解决问题的能力。
在本实验中，我们收集了一系列常见问题，并要求学生寻找与之相关联的创新问题。
例如，对于问题“如何改善空气质量”，学生可能提出创新问题“如何利用植物净化室内空气”。
实验二：创新产品设计实验二旨在提升学生的创造力和创新思维能力。
在本实验中，学生被要求设计一个能够解决特定问题的创新产品。
他们需要考虑产品的功能、外观、材料等各个方面，并在群体讨论的基础上进行设计。
通过这个实验，学生将学会从不同角度思考问题，提出创新的解决方案。
实验三：创新项目发起实验三旨在培养学生独立思考和主动实践的能力。
在本实验中，学生将以小组形式提出一个创新项目的创意，并进行详细规划。
他们需要考虑项目的可行性、市场需求以及项目实施的步骤和预期成果等。
通过这个实验，学生将学会从零开始构思和规划一个具有实际意义的创新项目。
实验结果经过一系列创新性思维实验的培养和训练，学生的创新思维能力得到了大幅提升。
他们在实验一中发现了许多与常见问题相关的创新问题，展示出了较强的发散思维能力。
在实验二中，学生设计了各种各样的创新产品，体现了他们的创造力和创新意识。
最后，在实验三中，学生提出了许多有创意且可行的创新项目创意，显示出了他们独立思考和主动实践的能力。
实验总结通过此次创新性思维实验，我们得出以下几点结论：- 创新性思维是能够通过培养和训练而提升的，学生的创新思维能力可以通过具体实践进行有效锻炼。
- 发散思维是创新性思维的重要组成部分，学生在解决问题时需要学会从不同角度思考和提出创新的解决方案。
- 创新性思维培养应注重提升学生的创造力和创新意识，通过设计实验和项目，让学生从实践中体验和掌握创新思维方法。
科学的思维、方法与实验操作在探索未知的科学世界中，科学的思维、方法与实验操作是我们前行的重要工具。
它们不仅帮助我们解决问题，还推动着科学的不断进步。
科学思维是科学研究的灵魂。
它要求我们具备批判性思维，不盲目接受现有的观点和结论，而是对其进行深入的思考和质疑。
比如，当我们听到一种新的科学理论时，不能仅仅因为它听起来合理或者是权威提出的就全盘接受，而要思考其依据、逻辑是否严密，是否存在其他可能的解释。
同时，科学思维还需要有创新精神。
敢于提出新的假设和观点，是突破传统、推动科学发展的关键。
牛顿从苹果落地想到万有引力，爱因斯坦突破经典物理学的框架提出相对论，这些都是创新思维的典范。
这种创新并非凭空想象，而是建立在对已有知识的深刻理解和对未知的强烈好奇心之上。
逻辑推理在科学思维中也占据着重要地位。
通过严谨的逻辑推理，我们可以从已知的事实和现象中得出合理的结论。
例如，在化学实验中，观察到某种物质在特定条件下发生反应产生了新的物质，我们就可以通过逻辑推理去推测反应的机制和原理。
科学方法则是实现科学研究的途径。
观察是科学方法的第一步，它是获取信息的基础。
我们通过仔细观察自然现象、实验结果等，收集第一手资料。
但单纯的观察往往是不够的，还需要进行实验。
实验设计要严谨合理，控制变量是其中的关键。
在一个实验中，如果同时改变多个因素，就很难确定到底是哪个因素导致了结果的变化。
所以，要精心选择和控制变量，以准确地探究因果关系。
数据的收集和分析也是科学方法的重要环节。
在实验中，我们会得到大量的数据，如何准确、全面地收集这些数据，并运用合适的方法进行分析，得出有意义的结论，是至关重要的。
此外，科学方法还强调重复性。
一个科学结论必须能够在不同的时间、地点和条件下被重复验证，才能被广泛接受。
如果一个实验结果无法被其他人重复，那么这个结果很可能是不可靠的。
实验操作是将科学思维和方法付诸实践的过程。
在进行实验操作时，首先要熟悉实验仪器和设备的使用方法，遵循安全规范。
启发思维的科学实验科学实验是一种重要的学习方法，通过实际操作来验证和探究科学原理，培养学生的观察、实验和思考能力。
在教育中，有一些特殊的实验可以帮助启发学生的思维，激发他们的创造力和想象力。
本文将介绍三个启发思维的科学实验。
实验一：水上行舟这个实验旨在引导学生思考物体的密度和浮力之间的关系，同时激发他们的创造力和解决问题的能力。
实验材料：- 一个大碗或水缸- 一枚纸质的小船实验步骤：1. 在大碗或水缸中注满水。
2. 将纸质小船轻放在水面上观察它的浮沉情况。
3. 引导学生思考为什么小船能够在水上浮起来，并与他们讨论有关浮力和物体密度的概念。
实验二：磁铁的魔力这个实验旨在引导学生观察和思考磁铁的特性，并通过实践激发他们的好奇心和探究欲望。
实验材料：- 一些小磁铁- 不同材质的物体，如纸张、塑料、铁钉等实验步骤：1. 将小磁铁分别贴在不同的材质上，观察它们之间的吸引和排斥现象。
2. 引导学生思考为什么磁铁会对某些物体有吸引力，对某些物体无作用，并与他们一起探索有关磁力和物质特性的知识。
实验三：植物与光的互动这个实验旨在帮助学生了解植物对光的需求，并通过实际观察激发他们的好奇心和自主学习的能力。
实验材料：- 一小盆植物- 几个不同颜色的透明塑料袋实验步骤：1. 将植物放在室内的不同位置，确保它们在一天中接受到不同颜色的光照。
2. 使用透明塑料袋覆盖植物，给它们提供不同颜色的光照，并观察它们的生长情况。
3. 引导学生思考为什么植物对光的需求不同，并与他们一起探索有关光合作用和植物生长的知识。
通过这些启发思维的科学实验，学生能够亲自动手进行观察和实践，培养他们的实验技巧和科学思维能力。
同时，这些实验还能激发学生的好奇心和求知欲，培养他们主动学习和解决问题的能力。
教育工作者可以根据实际情况和学生的年龄特点调整实验内容和难度，使其更加适合学生的学习需求。
因此，科学实验在教育中具有重要的地位，可以有效促进学生的思维启发和全面发展。
初一年级生物实验的创新思维初一年级的生物实验，不仅仅是简单的实验过程，更是激发学生创新思维和科学精神的重要途径。
在课堂上，我们看到了无数个小实验箱里的微小世界，每一次的实验都像是一个冒险，那里充满了未知和发现的可能性。
每当学生们打开实验箱的时候，仿佛是打开了一扇通往未知世界的门。
他们小心翼翼地处理显微镜下的昆虫标本，仿佛在观察一个神秘而又微妙的生命舞台。
而当他们在显微镜下看到昆虫的细节时，他们的眼睛里闪烁着好奇和惊讶的光芒，仿佛这些微小的生命也有着属于自己的故事和秘密。
不仅如此，学生们还通过观察和记录，开始建立自己的科学推理和实验方法。
他们提出问题、制定假设，然后通过实验验证，不断调整和完善自己的理解。
有的小组发现了在显微镜下昆虫的奇特行为，他们开始思考这背后的生态学原理；而另一些小组则探索昆虫身体结构的奥秘，试图理解它们是如何适应环境的。
这种创新思维的培养并不止步于实验室。
在课后，学生们经常会带着对生物多样性的新发现和问题回家，与家人分享和讨论。
有的学生还尝试将课堂上的实验与现实生活中的观察相结合，进一步拓展他们的思维和视野。
他们开始关注身边的自然现象，用科学的眼光去解释和理解周围发生的一切。
这种由生物实验引发的创新思维，也为学生们未来的学习和生活奠定了坚实的基础。
在探索中学会思考，在实验中培养观察力和耐心，这些都是他们未来成长中不可或缺的能力。
而更重要的是，他们在这个过程中体验到了科学探索的乐趣和成就感，这将成为他们终生学习的动力和动力源泉。
因此，初一年级的生物实验不仅仅是一堂课，更是一次启发学生创新思维和探索世界的旅程。
通过这些实验，学生们不仅学会了如何在实验室里操作设备，更重要的是，他们学会了如何成为一个有思想、有创意的科学家，为解决未来的挑战做好充分的准备。
培养创新思维的数学实验教案。
一、实验目的与要求本实验的目的是通过实验来加强学生的创新思维能力。
该实验旨在帮助学生掌握数学专业知识，并进一步提高学生的创新思维能力。
在实验中，学生需要探究一个问题并提出自己的解决方案，从而促进学生的创新思维。
二、实验内容本实验将探究角度测量的方法。
学生需要在实验中体会到角度测量的意义，理解角度的大小以及角度的测量方法，最终提出自己的解决方案并验证其是否正确。
三、实验步骤1.实验仪器与材料：量角器、直角三角板、直角尺、圆规。
2.实验过程：a.测量定量角度：学生可以自行设计一个定量角度，使用量角器等测量工具进行测量，并记录下来。
b.测量不规则角度：学生可以选择自己感兴趣的不规则角度，使用直角三角板等测量工具进行测量，并记录下来。
c.测量旋转角度：学生可以自行设计一个旋转角度的问题，使用圆规等测量工具进行测量，并记录下来。
d.测量锐角与钝角：通过计算，并使用直角尺等工具进行验证。
3. 实验总结：学生需要对实验展开总结并归纳，提出自己的解决方案，并对该方案进行验证。
四、实验教学方法1.实验教学方法：针对本实验提供以下的实验教学方法：a.探究法：学生可以在实验中进行探究，通过对实验数据进行观察和分析，提出自己的解决方案。
b.合作学习法：老师可以通过小组或合作学习的方式，将学生分组，让学生互相交流，共同探讨问题。
c.讨论分析法：老师可以通过讨论分析的方式，引导学生探究问题，激发学生的创新思维。
2. 实验教学评价方法：在实验教学过程中，为了方便教师进行教学评价，可以通过以下方法进行实验教学评价：a.考试成绩：学习结束后进行考试评分，将分数作为评价学生的标准。
b.学生反馈：听取学生的反馈，评价学生的参与度及学生对实验教学的评价。
c.学生的实际应用：通过学生的实际应用情况，评价学生对实验教学的理解和掌握情况。
五、总结通过设计这份数学实验教案，我们可以帮助教师更好地教学，并能够提高学生的创新思维能力。
培养创新思维的科学实验教案实验教案：培养创新思维的科学实验实验目的：通过开展科学实验，培养学生的创新思维能力，提高他们的科学素养和解决问题的能力。
实验材料：1. 铁丝、石头、是不是岩石等类似的材料2. 磁铁3. 温度计4. 酸、碱、中性溶液5. 试管、滤纸、显色剂、酒精灯等实验器材实验步骤：实验一：探索磁性材料1. 取出几种不同的材料，包括铁丝、石头、是不是岩石等。
2. 使用磁铁进行测试，观察材料是否具有磁性。
3. 记录测试结果，并进行总结。
实验二：研究物体的融化点1. 准备不同种类的物质，如冰块、蜡烛、巧克力等。
2. 使用温度计测量每种物质的融化点。
3. 记录测量结果，并进行比较和分析。
实验三：酸碱中性溶液测试1. 准备酸、碱、中性溶液。
2. 取一定量的试管，并分别加入待测试的溶液。
3. 使用滤纸蘸取显色剂，在试管中加入滤纸。
4. 观察滤纸的颜色变化，以判断溶液的性质。
5. 记录测试结果，并进行总结。
实验四：火焰颜色的研究1. 准备酒精灯和不同种类的材料。
2. 将每种材料点燃，并观察火焰的颜色。
3. 记录观察结果，并进行分析和总结。
实验结果和讨论：通过以上实验，学生们可以得出以下结论和进行相应的讨论：1. 磁性材料：根据磁铁的吸附结果，学生可以发现铁丝具有磁性，而石头和是不是岩石等则不具备磁性。
进一步探讨铁丝等材料的磁性原理会对学生的创新思维能力产生积极影响。
2. 物体的融化点：学生通过测量不同物质的融化点，可以了解到不同物质具有不同的物理特性。
例如，冰块的融化点为0℃，而巧克力的融化点则较高。
这样的实验可以鼓励学生进行深入思考，了解物质的构成和变化。
3. 酸碱中性溶液测试：学生通过测试不同溶液的性质，可以对酸、碱和中性溶液有更深入的了解。
通过滤纸显色剂法的测试，学生会观察到滤纸的颜色变化，从而判断溶液的酸碱性。
这样的实验有助于学生培养观察力和判断力。
4. 火焰颜色的研究：学生通过观察不同材料燃烧时的火焰颜色，可以了解到不同金属离子的特定颜色，并对火焰颜色与化学元素的关系进行探讨。
28.实验与操作问题解决例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复图中的程序表示，输入一个整数x便会按程序进行计算．设输入的x值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．例2将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（）．图④（向右对折）（向上对折）A B C D图①图②图③【答案】D例3（贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：……（第3次）（第2次）（第1次）第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数(m)填入下表.（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当n=3时，13m=；4n=时，17m=；……一般的41m n=+．（2）由41m n=+，得1034125.5n n=+=，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：（5）（6）（7）（4）由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：（23）（22）（21）（19）（18）（12）（20）（9）（15）（7）（8）俄罗斯方块例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图①图②图③数学冲浪知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．（第1题）图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5（第3题）（第2题）3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．图④（第5题）图③图②图①观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：（第6题①）第三次对折第二次对折第一次对折请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．（第6题②）【答案】或7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．（第8题）（第7题）8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：123na a a a，，，，，依题设操作方法可得新增的数为：2132431n na a a a a a a a-----，，，，，则新增数之和为：2132()()a a a a-+-+ 4311()()n n na a a a a a--++-=-（※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，（第7题）新增4项之和为3+3+（10-）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（83-）=520． 10．（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22； （2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）⇒（18，7，11）等]． 【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）⇒（21，7，8）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）．（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除． 11．（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次．这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由．ba入口展览大厅==进口出口【答案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．应用探究乐园12．（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同． （1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．【答案】（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图①）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图②）（第12题）出口进口（第11题）图①图②（第12题）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； 在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_______，2S =_______，3S =_______；（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图③33A B B A 22图④图①图②【答案】（1）略；（2）123S S S 、、的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是(1)b a ab b -=-．设而不求（微探究）（第13题）字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用． 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_______．【答案】乙 所得差=11×[909(e a -)+90(d b -)]是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【答案】B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ， 则101(1)20100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，解得33.4%x ≈． 例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．【答案】设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为（1-x ）a 元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为（1+50%）n =1.5n 度，8月份电费为1.5(1)(2.5)na x na x na +-=-元，9月份白天用电量为1.5(160%)0.6n n -=度，9月份晚间用电量为（ 1.5n n +）（120%+）-0.6 2.4n n =度，9月份电费为0.6 2.4(1)(3 2.4)na x na x na +-=-．由题意得，（3 2.4-x ）na =（2.5-x ）（110-%）na ，解得0.550%x ==．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为()q p q ≠，于是有(12)(8)128xq x p xp x q-+-=，整理得()24()p q p x q p -=-．因为p q ≠，所以0p q -≠，因此 4.8x =，即所切下的合金重4.8千克．例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由． 分析 假设存在7个整数1234567a a a a a a a ，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立． 解 由题意aa 4a1232342929a a a a a a ++=++=……6717122929a a a a a a ++=++=将上述7式相加，得312345673()297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了．我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧．题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米， 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y -小时． 依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得15204x x ==，，故他们一共走了20千米． 练一练 1．（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知23566914x y z y z x -=+=--，，则x y z ，，的平均数是_______．【答案】4932．（世界数学团体锦标赛试题）A B 、两校男生、女生人数的比分别为8∶7，30∶31，两校合并后男生、女生人数的比是27∶26．若用一位整数的比近似表示合并前A B 、两校的人数的比，则这个近似比是_______．【答案】453614≈ 3．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4∶3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_______小时．【答案】8.4 设甲出发6小时后再用t 小时即可追上乙，甲原速为u ，乙速为v ，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有(12)62t v u tu +=+，即12t +=(62)t u v +=(62t +)·u v =（6+2t ）·43，故363248 2.4t t t +=+=，（小时）．故甲共走了6+2.4=8.4（小时）．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价–成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）．A ．2%B ．8%C ．40.5%D ．62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10月份每件冬装的利润为（1-10%）0.75x x -=0.15x 元，又设9月份销售冬装m 件，则10月份销售冬装（1+80%）m =1.8m 件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长0.15 1.80.258%0.25x m xmxm⋅-=．5．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）． A ．28 B ．27 C ．19 D ．18 【答案】D 6．（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a b 、的关系是（ ）． A ．1001%a b a =+ B ．1001%b a =+ C ．1a b a =+ D ．100100ab a=+【答案】D 设A B 、两地之间的距离为S ，汽车行驶的速度为v ，汽车从A 地到B 地所用的时间为t ，则(1%)(1%)S vt v a t b ==+-． 7．（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：（1）S =3e ；（2）2()4a c g i b d f h e +++=++++．【答案】（1）S a e i b e h c e g d e f =++=++=++=++， 相加得43S a b c d e f g h i i e =++++++++++，故3S e =． （2）S a b c b e h =++=++，故a c e h +=+，同理a g e f g i e b c i e d +=++=++=+，，，四式相加得2()4a c g i b d f h e +++=++++．8．（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？【答案】设每台计算器x 元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100(3)x y +=80（5x y +），d i h g fe c b a解得5x y =，故可购买计算器100(3)10085x y yx y+⨯==160（台）， 书100(3)1008800()x y yy y+⨯==本． 9．（河北省中考题）甲、乙二人分别从A B 、两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇．求甲从A 地到B 地、乙从B地到A 地各需多少分钟？ 【答案】40分钟、60分钟 10．（广州市中考题）在车站开始检票时，有(0)a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是c ，每分钟来排队的人数是b ，则30301021066a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩①②③由①，②得302a b c b ==，．将302a b c b ==，带入③，得3x =．借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例 1 A B C D E F 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A B C D E 、、、、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与B 队比赛的球队是_______．【答案】E 队D例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数．类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．A ．289B ．1024C ．1225D ．1378图②图①……1361014916【答案】C 图①中第n 个图共有石子1+2+…+n =(1)2n n +（个），图②中第n 个图共有石子2n （个），1225=249501225352⨯=，． 例3 （浙江省衢州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．122333______________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是___________________________________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（3a b +）（2a b +）=22273a ab b ++，那么需要用2号卡片_______张，3号卡片_______张．【答案】（1）或2232()(2)a ab b a b a b ++=++．（2）3；7 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板．但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm 2．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．13×5=65 (cm 2)8×8-64 (cm 2)5855333①②③④④③②①从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm 2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm 2了，正好多出1cm 2．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这1cm 2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则180αβ+≠︒，这便函是问题的症结所在．横看成岭侧成峰例5 21()()()()()()24222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦．下面的图形，形象直观验证了平方差公式：baaa b ab a柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献．在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”． 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在途中需要七天七夜．假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期171234567891011121314151616151413121110987654321纽约日期勒阿佛尔17从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练 1．（浙江省湖州市中考题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】4 设至少取丙类纸片n 张，新的正方形边长为a ，则2222142n a +⨯+=． 2．（四川省眉山市中考题）有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a b +），宽为（a b +）的矩形，则需要A 类卡片_______张，B类卡片_______张，C 类卡片_______张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．【答案】2；1；3 拼法略3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试．”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！你能帮他们解开其中的奥秘吗？【答案】图①的面积为2480mm ，图②的面积为4842mm ． 4．（江苏省盐城市中考题）如图①，现有a ×a 、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须丙乙甲Ca+b2a+b 图①图②a A a B bb （第3题）图①图②（第4题）ba ab b a保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．【答案】22252(2)(2)a ab b a b a b b a ++=++>，，矩形的长为2a b +，宽为2a b +，给出如图所示的两种拼法．babba abba b b a5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图③3333图①图②图③3+=图④【答案】（1）(1)123;2n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-= ； （3）333212(12)n n +++=+++ ；（4）2223(12)(12)(21)n n n +++=++++ ，代入1+2+…+n =(1)2n n +， 得22212n +++=(1)(21)2n n n ++．6．（安徽省芜湖市竞赛题）如图，九块大小不等的正方形纸片A B ，，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长．【答案】设a b c h i ，，，，，分别表示正方形A B C ，，，H I ，，的边长，由其相互位置可得到8个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：B CD EF G H AI。
28.实验与操作问题解决例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算．设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）．图④（向右对折）（向上对折）A B C D图①图②图③【答案】D例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：……（第3次）（第2次）（第1次）第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数(m )填入下表.（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当n=3时，13m=；4n=时，17m=；……一般的41m n=+．（2）由41m n=+，得1034125.5n n=+=，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：（5）（6）（7）（4）由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：（23）（22）（21）（19）（18）（12）（20）（9）（15）（7）（8）俄罗斯方块例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图①图②图③数学冲浪知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．（第1题）图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5（第3题）（第2题）3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．图④（第5题）图③图②图①观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：（第6题①）第三次对折第二次对折第一次对折请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．（第6题②）【答案】或7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．（第8题）（第7题）8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：123na a a a，，，，，依题设操作方法可得新增的数为：2132431n na a a a a a a a-----，，，，，则新增数之和为：2132()()a a a a-+-+ 4311()()n n na a a a a a--++-=-（※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，（第7题）新增4项之和为3+3+（10-）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（83-）=520． 10．（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22； （2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）⇒（18，7，11）等]． 【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）⇒（21，7，8）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）．（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除． 11．（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次．这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由．ba入口展览大厅==进口出口【答案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．应用探究乐园12．（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同． （1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．【答案】（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图①）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图②）（第12题）出口进口（第11题）图①图②（第12题）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； 在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_______，2S =_______，3S =_______；（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图③33A B B A 22图④图①图②【答案】（1）略；（2）123S S S 、、的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是(1)b a ab b -=-．设而不求（微探究）（第13题）字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用． 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_______．【答案】乙 所得差=11×[909(e a -)+90(d b -)]是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【答案】B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ，则101(1)20100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，解得33.4%x ≈． 例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．【答案】设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为（1-x ）a 元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为（1+50%）n =1.5n 度，8月份电费为1.5(1)(2.5)na x na x na +-=-元，9月份白天用电量为1.5(160%)0.6n n -=度，9月份晚间用电量为（ 1.5n n +）（120%+）-0.6 2.4n n =度，9月份电费为0.6 2.4(1)(3 2.4)na x na x na +-=-．由题意得，（3 2.4-x ）na =（2.5-x ）（110-%）na ，解得0.550%x ==．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为()q p q ≠，于是有(12)(8)128xq x p xp x q-+-=，整理得()24()p q p x q p -=-．因为p q ≠，所以0p q -≠，因此 4.8x =，即所切下的合金重4.8千克．例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由． 分析 假设存在7个整数1234567a a a a a a a ，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立． 解 由题意aa 4a1232342929a a a a a a ++=++=……6717122929a a a a a a ++=++=将上述7式相加，得312345673()297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了．我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧．题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米， 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y -小时． 依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得15204x x ==，，故他们一共走了20千米． 练一练 1．（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知23566914x y z y z x -=+=--，，则x y z ，，的平均数是_______．【答案】4932．（世界数学团体锦标赛试题）A B 、两校男生、女生人数的比分别为8∶7，30∶31，两校合并后男生、女生人数的比是27∶26．若用一位整数的比近似表示合并前A B 、两校的人数的比，则这个近似比是_______．【答案】453614≈ 3．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4∶3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_______小时．【答案】8.4 设甲出发6小时后再用t 小时即可追上乙，甲原速为u ，乙速为v ，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有(12)62t v u tu +=+，即12t +=(62)t u v +=(62t +)·u v =（6+2t ）·43，故363248 2.4t t t +=+=，（小时）．故甲共走了6+2.4=8.4（小时）．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价–成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）．A ．2%B ．8%C ．40.5%D ．62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10月份每件冬装的利润为（1-10%）0.75x x -=0.15x 元，又设9月份销售冬装m 件，则10月份销售冬装（1+80%）m =1.8m 件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长0.15 1.80.258%0.25x m xmxm⋅-=．5．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）． A ．28 B ．27 C ．19 D ．18 【答案】D 6．（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a b 、的关系是（ ）． A ．1001%a b a =+ B ．1001%b a =+ C ．1a b a =+ D ．100100ab a=+【答案】D 设A B 、两地之间的距离为S ，汽车行驶的速度为v ，汽车从A 地到B 地所用的时间为t ，则(1%)(1%)S vt v a t b ==+-． 7．（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：（1）S =3e ；（2）2()4a c g i b d f h e +++=++++．【答案】（1）S a e i b e h c e g d e f =++=++=++=++， 相加得43S a b c d e f g h i i e =++++++++++，故3S e =． （2）S a b c b e h =++=++，故a c e h +=+，同理a g e f g i e b c i e d +=++=++=+，，，四式相加得2()4a c g i b d f h e +++=++++．8．（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？【答案】设每台计算器x 元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100(3)x y +=80（5x y +），d i h g fe c b a解得5x y =，故可购买计算器100(3)10085x y yx y+⨯==160（台）， 书100(3)1008800()x y yy y+⨯==本． 9．（河北省中考题）甲、乙二人分别从A B 、两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇．求甲从A 地到B 地、乙从B 地到A 地各需多少分钟？ 【答案】40分钟、60分钟 10．（广州市中考题）在车站开始检票时，有(0)a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是c ，每分钟来排队的人数是b ，则30301021066a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩①②③由①，②得302a b c b ==，．将302a b c b ==，带入③，得3x =．借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例 1 A B C D E F 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A B C D E 、、、、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与B 队比赛的球队是_______．【答案】E 队D例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数．类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．A ．289B ．1024C ．1225D ．1378图②图①……1361014916【答案】C 图①中第n 个图共有石子1+2+…+n =(1)2n n +（个），图②中第n 个图共有石子2n （个），1225=249501225352⨯=，． 例3 （浙江省衢州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．122333______________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是___________________________________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（3a b +）（2a b +）=22273a ab b ++，那么需要用2号卡片_______张，3号卡片_______张．【答案】（1）或2232()(2)a ab b a b a b ++=++．（2）3；7 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板．但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm 2．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．13×5=65 (cm 2)8×8-64 (cm 2)5855333①②③④④③②①从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm 2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm 2了，正好多出1cm 2．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这1cm 2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则180αβ+≠︒，这便函是问题的症结所在．横看成岭侧成峰例5 21()()()()()()24222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦． 下面的图形，形象直观验证了平方差公式：baaa b abb a柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献．在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”． 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在途中需要七天七夜．假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期171234567891011121314151616151413121110987654321纽约日期勒阿佛尔17从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练 1．（浙江省湖州市中考题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】4 设至少取丙类纸片n 张，新的正方形边长为a ，则2222142n a +⨯+=． 2．（四川省眉山市中考题）有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a b +），宽为（a b +）的矩形，则需要A 类卡片_______张，B 类卡片_______张，C 类卡片_______张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．【答案】2；1；3 拼法略3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试．”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！你能帮他们解开其中的奥秘吗？【答案】图①的面积为2480mm ，图②的面积为4842mm ． 4．（江苏省盐城市中考题）如图①，现有a ×a 、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须丙乙甲Ca+b2a+b图①图②a A a B bb （第3题）图①图②（第4题）ba ab b a保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．【答案】22252(2)(2)a ab b a b a b b a ++=++>，，矩形的长为2a b +，宽为2a b +，给出如图所示的两种拼法．babba abba b b a5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图③3333图①图②图③3+=图④【答案】（1）(1)123;2n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-=； （3）333212(12)n n +++=+++；（4）2223(12)(12)(21)n n n +++=++++，代入1+2+…+n =(1)2n n +， 得22212n +++=(1)(21)2n n n ++．6．（安徽省芜湖市竞赛题）如图，九块大小不等的正方形纸片A B ，，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长． 【答案】设a b c h i ，，，，，分别表示正方形A B C ，，，H I ，，的边长，由其相互位置可得到8个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：B CD EF G H AI。
