28.实验与操作
问题解决
例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算．
设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．
【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．
例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）．
图④
（向右对折）（向上对折）
A B C D
图①图②
图③
【答案】D
例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：
……
（第3次）
（第2次）（第1次）
第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．
（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数(m )填入下表.
（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？
【答案】（1）当n=3时，13
m=；4
n=时，17
m=；……一般的41
m n
=+．
（2）由41
m n
=+，得1034125.5
n n
=+=
，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．
例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．
【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1
-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997
(1)(1)1
+?-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．
例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？
分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：
（5）（6）（7）
（4）
由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：
（23）
（22）
（21）
（19）
（18）
（12）（20）
（
9
）
（15）
（7）（8）
俄罗斯方块
例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？
分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．
图①图②图③
数学冲浪
知识技能广场
1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中
七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．
（第1题）图①
图②
如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米．
图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．
【答案】12.5 画图略
2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种．
【答案】5
（第3题）（第2题）
3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2．
【答案】36
4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为
2k n （其中k 是使2k
n 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =， 则26134411F F F ???→???→???→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．
【答案】8
5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．
图④（第5题）图③图②
图①
观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．
请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
【答案】略
思维方法天地
6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪
一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：
（第6题①）第三次对折
第二次对折第一次对折
请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．
（第6题②）
【答案】
或
7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．
【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，
再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P
的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三
角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答
案不唯一）．
（第8题）
（第7
题）
8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？
【答案】
9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1
-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10
-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：
123n
a a a a
，，，，，依题设操作方法可得
新增的数为：
2132431
n n
a a a a a a a a
-
----
，，，，，则新增数之和为：
2132
()()
a a a a
-+-+ 4311
()()
n n n
a a a a a a
-
-++-=-（※）
原数串为3个数：3，9，8．
第1次操作后所得数串为：3，6，9，1
-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1
-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10
-，1-，9，8，根据（※）可知，
（第7
题）
8．情境应用题 问题解决 例1 （四川省内江市中考题）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示．若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它 的高度约是_______． 【答案】106 设叠放时每增加一个纸杯高度增加 cm x ，由9(31)14(81)x x --=--得1x =，从侧71(1001)106+?-=(cm)． 例2 （湖南省常德市中考题）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局，已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第二局的输者是（ ）． A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 【答案】C 提示：设总共赛了x 局，则有443x x x -+-=-，则5x =，说明甲、乙、丙三人总共赛了5局，而丙当了3次裁判，说明丙赛了两局，则丙和甲，丙和乙各赛一局，那么甲和乙同时赛了3局．甲和乙同赛不可能出现在任何相邻的两局中，则甲、乙两人同时比赛在第1、3、5局中，第3局丙当裁判，则第2局中丙输了． 例3 （江西省中考题）有一个只允许单向通过的窄道口（如图），通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3个人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校． （1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？ （2）若在王老师等人维持秩序下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 【答案】（1） 36 719153 +=>，∴王老师应选择绕道而行去学校． （2）设维持秩序时间为t ，则36363639t t -?? -+= ???，解得3()t =分． 例4 （广州市中考题）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种 方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员． （1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？ 【答案】（1）114元 （2）当所购商品的价格高于1120时，选方案一更合算． 物尽其用 例5 （《时代学习报》数学文化节试题）自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶300km 就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km 才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？ 14cm 9cm
20.丰富的图形世界 问题解决 例1（四川省中考题）如图是一个正方体表面展开图，如果正方体 相对的面上标注的值相等，那么x y +=_______． 【答案】281014 x y x y ==+= ，，． 例2（成都市中考题）如图，由一些完全相同的小立方块搭成的几 何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）． 左视图俯视图 主视图 A．5个B．6个C．7个D．8个 【答案】D 例3（贵阳课改实验区中考题）由一些大小相同的小正 方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图． （1）请你画出这个几何体的一种左视图； （2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，求n的 值． 【答案】（1）左视图有以下5种情形： （2）891011 n=，，， 例4（江苏省常州市中考题）如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？ 【答案】4；9 提示：最下面正方体1个面的面积是1，侧面露出的面积和是4，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下 面正方体1个面面积的1 2 ，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上 面露出的面积和（正好是最下面正方体上底面的面积1）即是这些正方体露在外面的面积和．如： 2个正方体露出的面积和是 4 417 2 ++=， 3个正方体露出的面积和是 44 418 24 +++=， y 2x8 10 8 8 俯视图 主视图
1．数形结合话数轴 解读课标 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来. 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数； 3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题解决 例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________． （《时代学习报》数学文化节试题） (2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． （广西竞赛题） 试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系. 例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应 是( )． A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 （江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手． 例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小. 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小． 例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． （“希望杯”邀请赛试题） 试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、 L 、100K 点所表示的数用x 的式子表示．
当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、 B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边, AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; （2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-. 请回答: ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________; ②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______. （南京市中考题） 思维方法天地 11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________. （“五羊杯”竞赛题） 13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 14.（1）11x x ++-的最小值为__________. （“希望杯”邀请赛试题） （2）111213x x x ++-++的最小值为________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 15.有理数 a 、 b 在数轴上对应的位置如图所示: ,则代数式 111 1 a a b a b a a a b b +--- + - +--的值为（）. A.1- B.0 C.1 D.2 （“希望杯”邀请赛试题） 16.若()2 210m n ++-=,则2m n +的值为（）.
七年级奥数培训题（A ） 例1.已知︱a ︱=5, ︱b ︱=3，且︱a-b ︱=b-a ，那么a+b= 。 例2．化简∣20041-20031∣+∣20031-20021∣+∣20021-2001 1∣+∣20011-2000 1∣= 。 例3．若x 的相反数是3，∣y ∣=5，则x+y 的值为 。 例4．已知∣a ∣=-a ，化简∣a-1∣-∣a-2∣所得结果是 。 例5．若∣m+2∣+(n-1)2=0，则m+2n 的值为 。 例6．∣x+11∣+∣x-12∣+∣x+13∣的最小值为 。 例7．计算：1+211++3211+++43211++++……+100 3211+??+++ 例8．已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数，x 的绝对值等于3，求：x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2011+(-ab)2013的值。 例9．计算：（1）（17 277+27177-113937）÷（131712+82717-539 38）= 。（2）（5175+23233-27295）÷（112313+717 4-132917）= 。 例10．速算：21+（31+32）+（41+42+43）+…+（601+602+…+6059） 例11．计算：2-22-23-……-218-219+220＝ 。 例12．速算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365 例13．计算1+2+22+23+……+22011－22012＝ 。 例14．计算（1+ 311?）×（1+421?）×（1+531?）×……×（1+99971?）×（1+100981?） 例15．计算：121-265+3121-42019+5301-64231+7561-87271+990 1 例16．计算：（37311+5197+72313）÷（3197+52313+773 11） 例17.（51154533515995++）÷（111 193313991++）= 。 41
数与代数 1．数形结合话数轴 问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4- 例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）． A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小． 【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜ a ＜0，则||a ＜|| b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ． 例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． 【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+ 9910019.94-+=． 例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数． （2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数． （3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 赵爽是我国三国时期吴国著名的数学家，他曾为《周髀算经》作注，其中有一篇《勾股圆方图注》，总结了我国东汉以来勾股算术的重要成果，在世界上最早给出并证明了有关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系的二十多个命题．赵爽在《勾股圆方图注》中推导出了二次方程的求根公式． 10．二元一次方程组 二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代入法和加减法是常见的消元方法． 解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的． 方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论． 问题解决 例1 已知方程组1620224ax by cx y +=-??+=-?的解应为810x y =??=-? ，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是1213x y =??=-?，则222a b c ++的值为________． （“华罗庚金杯”香港中学邀请赛试题） 例2 关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=??-+=? 有无数组解，则a 、b 的值为（ ） A ．0a =，0b = B ．2a =-，1b = C ．2a =，1b =- D ．2a =，1b = （第19届“希望杯”邀请赛试题） 例3 解下列方程组： （1）231763172357x y x y +=??+=? （2）1211631102221x y x y ?+=?--???-=?--? （3）???=++++=+=+==+=+=+1999 ...1...1999199821199919981997433221x x x x x x x x x x x x x x 1998 （第7届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题） 例4 已知m 是整数，方程组436626 x y x my -=??+=?有整数解，求m 的值．
26.图形面积的计算 问题解决 例1 （“五羊杯”邀请赛试题）如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为225cm 和235cm ，那么梯形的面积是_______cm 2． 【答案】144 AOD S =△235(cm )BOC S =，△ AOD DOC ABO BOC S S DO S BO S ==，△△△△得249(cm )DOC S =△． 例2 （江苏省竞赛题）如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m n 、，那么△AEG 的面积的值（ ）． A ．只与m 的大小有关 B ．只与n 的大小有关 C ．与m n 、的大小都有关 D ．与m n 、的大小都无关 【答案】B 连AC AC ，∥GE ，21 2 AGE GCE S S n ==△△． 例 3 如图，三角形ABC 内的线段BD CE 、相交于点O ，已知2OB OD OC OE ==，．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形 COD 和四边形AEOD 的面积分别为1234S S S S 、、、． （1）求1S ∶3S 的值； （2）如果22S =，求4S 的值． 【答案】（1）23212S S S S ==，，得1S ∶31S =∶2． （2）由22S =,得1312S S ==，，连接OA ，设AOE S x =，△则1AOD AOB S S x ==+，△△ 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得314x x =+=，，所以4347S =+=． 例4 如图，△ABC 的面积为1，D E 、为AC 的三等分点，F G 、为BC 的三等分点． 求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFCN 的面积． 【答案】（1）133 133x y x y ? +=????+=?? ①② ①+②，得16x y +=， 即1 6 PECF S =四形边． A O B D C A B C D E F G A B C D E O N M Q G F E D C B A P
24.认识三角形 问题解决 例1 （江苏省竞赛题）在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠60A =°，则∠BOC =_______度． 【答案】当ABC △为锐角三角形时，∠60BOC =°． 例2 （北京市竞赛题）如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平， 则（ ）． A ．∠A =∠1+∠2 B ．∠A =1 2 (∠1+∠2) C ．∠A =13 (∠1+∠2) D ．∠A =1 4(∠1+∠2) 【答案】B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=?-∠， 又1B C AED ADE ∠+∠+∠+∠+∠+2∠=360?，得2(180)12360A ?-∠+∠+∠=?，化简得1 (12)2 A ∠=∠+∠． 例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D AE ，平分∠BAC ，试探寻∠DAE 与∠C 、∠B 的关系． （2）如图，②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么∠EFD 与∠C 、∠B 是否还有（1）中的关系？请说明理由． （3）请你提出一个类似的问题． B D C E E 图① 图② A F B D A C 【答案】（1）∠1 ();2 DAE C B =∠-∠ （2）过A 作AG BC ⊥于G ，则1 ();2 EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠ （3）略 例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，(02)(32)C D --，，，． （1）求△BCD 的面积； （2）如图②，若AC BC ⊥，作∠CBA 的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系，并证明你的结论； （3）如图③，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，在B 点的运动过程中，E ABC ∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 1 2 E B D A C
七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线 一、多条直线相交的交点问题 1、平面内直线的交点问题--------公式 平面内n条直线相交最多交点公式： 2)1 (- n n 个 【测试1】平面内的四条直线的交点个数可能有个 【测试2】平面内6条直线交点的个数最多是______个，最少是______个．2、多条直线相交分平面区域问题------交点多，分块多 n=2 m=4=1+1+2 n=3 m=7=1+1+2+3 n=4 m=11=1+1+2+3+4 3、直线交点个数作图
（1）平面内直线的位置出现什么情况，直线的交点个数会减少 平面内直线的位置出现时，直线的交点个数会减少。 （两直线平行或多条直线交于同一点） （2）减少直线交点个数的方法： ?平行消减法-------------------每两条直线平行会减少一个交点 ?交点重合法-------------------每三条直线交于同一点会减少2个交点 每四条直线交于同一点会减少5个交点 【测试1】平面内6条直线恰好有11个不同的交点，请画出满足条件的图形 解：最多15个交点，减少3个。 （1）6条直线分3组平行，共减少3个 （2）3条直线互相平行，共减少3个 （3）3条直线交于同一点，且有两条直线平行，共减少3个 【测试2】在同一平面内有9条直线，如何安排才能满足下面的两个条件，（1）任意两条直线都有交点（2）总共有29个交点
二、平行线中的“M”型问题---多填空、选择题，重方法，轻过程 方法指导：1.过折点构造平行线 2、利用同位角、内错角或同旁内角推导关系1.如图，已知AB‖CD，∠ABC=80o，∠CDE=140o，则∠BCD= ? ? ? ? ? ? 2、如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两 点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由 3、如图，已知AB‖CD，∠ABE=120o,∠DCE=35O,则∠BEC=
28.实验与操作 问题解决 例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算． 设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______． 【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-． 例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）． 图④ （向右对折）（向上对折） A B C D 图①图② 图③ 【答案】D 例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： …… （第3次） （第2次）（第1次） 第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． （1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数(m )填入下表.
（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【答案】（1）当n=3时，13 m=；4 n=时，17 m=；……一般的41 m n =+． （2）由41 m n =+，得1034125.5 n n =+= ，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形． 例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明． 【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1 -（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997 (1)(1)1 +?-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的． 例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？ 分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形： （5）（6）（7） （4） 由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个： （23） （22） （21） （19） （18） （12）（20） （ 9 ） （15） （7）（8） 俄罗斯方块 例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？
李善兰（1811-1882），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献． 7．怎样设元 解读课标 荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型． 在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元 即问什么设什么． 2．间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系． 3．辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析． 4．整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数． 问题解决 例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为_____________． （山东济南中考题） 想一想 已知17b a 211b 201a += +=+，求b a 的值 例2 植树节时，某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵． A ．9 B ．10 C ．12 D ．14 （四川省竞赛题） 例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的 23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的3 5 ；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ （北京市东城区中考题） F E D C B A
29.数据的收集与表示 问题解决 例1 （安徽省中考题）某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将运输中损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中，销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计损坏情况，结果如下表： 价_______元． 【答案】这批柑橘损坏： 5.5019.425154 100%10000102050200500 +++??≈++（千克） ，设余下的8980千克柑橘卖价为x 元，由8980x =2000+5000，得 2.8x ≈(元)． 例2 （杭州市中考题）甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，提供了两方面的信息图． 甲调查表明：养鸡场的平均产鸡数从第一年的1万只上升到第7年的2.8万只； 乙调查表明：养鸡场的个数由第一年的46个减少到第7年的22个． 现给出下列四个判断：①该县第二年养鸡场产鸡的数量为1.3万只；②该县第二年养鸡场产鸡的数量低于第一年养鸡场产鸡的数量；③该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长；④这7年中，第五年该县养鸡场出产鸡的数量最多． 根据甲、乙两人提供的信息，可知其中正确的判断有（ ）． A ．2个 B ．1个 C ．0个 D ．3个 乙 甲 【答案】B 只有④正确 例3 （浙江省金华市中考题）某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为80m 2的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：
每人每分钟完成各项目工作量统计图 各项目面积比例统计图 （1）从上述统计图中可知：每人每分钟能擦课桌椅_______m2；擦玻璃、擦课桌椅、扫发拖地的面积分别是_______ m2、_______m2、_______m2； （2）如果x人每分钟擦玻璃的面积是2 m y那么y关于x的关系式是_______； （3）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅．如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能最快地完成任务． 【答案】（1）1 2 ；16，20，44；（2） 1 4 y x =；（3）设分配x人去擦玻璃，那么（13x -）人 去擦桌椅，由题意得1620 11 (13) 42 x x = - ，解得8135 x x =-= ，． 例：若某户月用电量400度，则需缴电费为210×0.52+(350-210) ×(0.52+0.05)+(400-350) ×(0.52+0.30)=230（元）． （1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量； （2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月的用电量属于第几档？【答案】属于第一档最高用电量的费用为210×0.52=109.2（元），第二档最高用电量的费用为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189（元）． （1）262度；（2）当0109.2 a <≤时，属于第一档；当109.2189 a <≤时，属于第二档；当189 a>时，属于第三档． 例5（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜:乙第三，丙第五；乙猜：戊第四，丁第五；丙猜：甲第一，戊第四；丁猜：丙第一，乙第二；戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？ 分析文字罗列出来的条件，其相关关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系． 解根据题意，可列关于5个人和5个名次的双向表．
新思维寒假作业答案 新思维寒假作业七年级英语答案 1—5 A C A A C 6—10 C B A B C 11—15 A A B A A 16—20 × √ × √ √ 21—25 C A AAA 26—30 B C CCC 31—35 B C C 36—40 A A (C) B A C 41—45 C A A B C 阅读:46—50 × × √ × × 51—55 C CCC A 56—60A B C B A Ⅳ.61, They are buses 62,doesn't want 63,Where are 64,Who is 65,Are you 66,Saturday May 16Th 67,5:30 68,Sunshine Hotel 69,4637643 70,Jim′s Birthday 66—70每小题2分 71,comedies 72,action movies and documentaries 73,action movies 74,documentaris 75,action movies and thrillers. (每小题答对1个给满分) 作文: Look , this is our class,The teacher is MrsLi,She is our English teacher,She is kind to us We all like her . In our class,there are twenty—one boys,and thirty girls, We,boys like to play basketball and Soccer after class. Very day We go to play basketball. lt is very interesting The girls in our class like to play games,But on Sundays and Saturdays they like to dance and sing in the park. Today is Monday they don`t go there. From Monday to Friday, we have 7 classes each day. We all are busy. All of us study hard. Our class is a good class.We all love our class. 新思维寒假作业八年级英语参考答案 1—5 E C D B A 6—10 A C B B A 11—15 A B B A C 16—20 A B C B C 21—25 B B A C C 26—30 A C B B A 31—35 A B A B C 36—40 B A C A B 41—45 A C B B A 46—50 T F F T F 51—55 A AA B B 56—60 C B C A C 61. come/meet 62. plan 63.arrive/meet 64. fun/ a good time 65. Leave. 66. 做事宜早不宜迟.
新思维七年级数学 1.数形结合话数轴 例1 (1)已知 a、b 为有理数，且a>0，b<0,a b<0 ，将四个数a、b、a、b按由大到小的顺 序排列是________ . (2)已知数轴上有 A 、B两点， A 、B之间的距离为 1 ，点 A 与原点 O的距离为3，那么点 B 对应的数是。 例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A 、B 、C、D 对应的数分别是整数 a、b、 c、 d，且d 2a 10 ，那么数轴的原点应是( ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 例3 已知两数 a、b，如果 a比 b 达，试判断|a |与|b|的大小。
例4 如图，已知 A、B 分别为数轴上的两点， A 点对应的数为20，B 点对应的数为 100. (1)求 AB 中点 M 对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁 P从B 点出发，以 6个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位 / 秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数； (3)若当电子蚂蚁 P从 B点出发时，以 6个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从 A 点出发，以 4个单位 /秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求 D 点对应的数 . 例5 电子跳骚落在数轴上的某点K0 ，第一步从K0向左跳 1 个单位到K1 ，第二步由K1向右跳 2 个单位到K2 ，第三步由K2向左跳 3个单位到K3 ，第四步由K3向右跳 4 个单位到K4，，按以上规律跳了 100步时，电子跳骚在数轴上的点K100所表示的数恰是 19.94，试求电子跳骚的初始位置K0 点所标示的数
1．数形结合话数轴 令狐采学 解读课标 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来. 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数； 3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题解决 例1 (1)已知a、b为有理数，且0 a b +<，将四个 b<，0 a>，0 数a、b、a-、b-按由小到大的顺序排列是__________． （《时代学习报》数学文化节试题） (2)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是__________． （广西竞赛题）试一试对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A、B
两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系. 例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是()． A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 （江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手． 例3已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小. 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小． 例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个 单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律 跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是 19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． （“希望杯”邀请赛试题） 试一试设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的 数用x 的式子表示． 例5已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． (1)求A 、B 两点所对应的数． (2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以
七年级数学下新思维相 交线与平行线 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线 一、多条直线相交的交点问题 1、平面内直线的交点问题--------公式 平面内n条直线相交最多交点公式： 2)1 (- n n 个 【测试1】平面内的四条直线的交点个数可能有个 【测试2】平面内6条直线交点的个数最多是______个，最少是______个．2、多条直线相交分平面区域问题------交点多，分块多 （1）6条直线分3组平行，共减少3个 （2）3条直线互相平行，共减少3个 （3）3条直线交于同一点，且有两条直线平行，共减少3个
【测试2】在同一平面内有9条直线，如何安排才能满足下面的两个条件，（1）任意两条直线都有交点（2）总共有29个交点 二、平行线中的“M”型问题---多填空、选择题，重方法，轻过程 方法指导：1.过折点构造平行线 2、利用同位角、内错角或同旁内角推导关系1.如图，已知AB‖CD，∠ABC=80o，∠CDE=140o，则∠BCD= ? ? ? ? ? ? 2、如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两 点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由
3、如图，已知AB‖CD，∠ABE=120o,∠DCE=35O,则∠BEC= 三、利用方程思想解决角度之间的关系问题 【测试1】一个角的余角比它补角的一半少20o，求这个叫的度数是多少 【测试2】直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠EOD：∠DOB=3：2，求∠COB的度数 【测试3】如图，MO⊥NO,OG平分∠MOP,∠PON=3∠MOG,求∠GOP的度数 四、根据角度关系判断直线平行-----判定直线平行的方法有哪 些 1.判定定理 2.平行公理的推论： 【测试1】已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F 【测试2】如图，已知CD‖EF,∠1+∠2=∠ABC，求证：AB‖GF
23.相交线与平行线 例1 如图，已知AB // DE , / ABC =60。，/ CDE =140 ° , 则/ BCD = . 【答案】.BCF =/ABC =80 , DCF =180’「/CDE =40 , .BCD =. BCF -/DCF =40 . 例2 （“希望杯”邀请赛试题）如图，AB // CD // EF // GH , AE // DG，点C在AE上，点F在DG上，设与/ :.相等的角的个数为m （不包括/壽本 身），与/ 互补的角的个数为n,若、丄工|：,，则m - n的值是（）. A.8 C.10 【答案】D 例3 如图，已知/ 1 = / 2,/ C=Z D， 求证：/ A = Z F . 【答案】先证BD // CE ,再证DF // BC . 例4如图，AB、CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根像皮筋固定在A、C两 点，点E是橡皮筋上一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后, 请你探索/ A、/ C、/ AEC之 间具有怎样的关系？并说明理由. 【答案】如图，可分别得到下列关系（证法同①） ①/ AEC =/ A + / C ;②/ AEC - / A+ / C =360 ; ③.AEC 二.C「/A;④.AEC 二.A -/C ⑤ /AEC Z A Z C;⑥ /AEC Z C Z A. 例5平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点. （1）你能画出各直线之间的交点个数为n的图形吗？其中n分别为6，12，15. （2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ B.9 D.11 C C D
分析与解 设7条直线交点的个数为 n ，则0 < n < 21 .（为什么？） （1） 如图①，得到的交点个数为 6个；如图②，得到的交点个数为 21个；如图③、④，得 到的交点个数分别为 12、15. （2） n 的大小直接取决于 7条直线中互相平行的直线的数量，因为 7条直线中可能有： 一组平 行线（2条；3条；4条；5条；6条；7条）； 二组平行线（2条，2条；2条，3条；2条，4条；2条，5条；3条，3条；3条，4条）; 三组平行线（2条，2条，2条；2条，2条，3条）； 没有平行线. 所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究. 实际上本题的答案共有 15个，即 n =0 , 6 , 8 , 10, 12 , 14, 15, 15,16, 17, 18, 18,19, 20, 21，其中重复数字表示交点个 数相等 但图形不同的答案. 平移变换 例6 （莫斯科市竞赛题）平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少 有一个角小于 31 °. 分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等 的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点.此时，情况就相对简单得 多. 证明在平面上任取一点 O ,过O 点分别作这6条直线的平行线l , , l 2 , l 3 , l 4 , l 5 , 16，则 由平行线的特性，如l ! , 12 , 13 , 14 , 15 , 1/之间互成的角与原来的6条直线 11」,13 , 14 , 15 , 16之间互成的角相等. 现在我们考虑11 , 12 ； HI, 16 ?的情况.我们只考察11与12」与13 ^, 15 ■与 16 , 16与11 ?所成 的角，由图不难发现这 6个角成一个平角，即这 6个角的和为180°. 假设这6个角没有一个小于 31 °，则这6个角都大于或等于 31°,从而这6个角的和至少 为31 °X 6=186 ° ,这是不可能的.所以，这6个角中至少有一个小于 31 °,不妨设11 ?与12 图① 图② 图③ 图④ 1' 1