【精品】2018学年河南省郑州一中网校高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

河南省郑州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0，与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是（）A . 1或3B . 1或5C . 3或5D . 1或22. （2分）以下命题：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；②已知平面α，β的法向量分别为,，则α⊥β⇔•=0；③两条异面直线所成的角为θ，则0≤θ≤；④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤．其中正确的命题是（）A . ①②③B . ②③④C . ①②④D . ①③④3. （2分）已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A . x+2y+1=0B . x+2y-1=0C . x-2y+1=0D . x-2y-1=04. （2分）异面直线l与m所成的角为，异面直线l与n所成的角为，则异面直线m与n所成角的范围是（）A . [，]B . [，]C . [，]D . [，]5. （2分）(2017·海淀模拟) 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A . ①B . ①②C . ②③D . ①②③6. （2分）(2018·梅河口模拟) 已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（）A .B .C .D .7. （2分）过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 不能确定8. （2分） (2017高一上·淄博期末) 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αB . 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC . 若l∥α，m⊂α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m9. （2分） (2019高一下·上海月考) 若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A .B .C .D . .10. （2分）(2019高二上·辽宁月考) 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . 或B . 或C . 或D . 或11. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）A . 8B . 11C . 14D . 1712. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·黑龙江开学考) 两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2 ，则a=________．14. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．15. （2分）(2017·镇海模拟) 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=________；|MP|=________16. （1分）(2012·江苏理) 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 = ，则的值是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·桃江开学考) 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB边上的中线所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）若点A关于直线l的对称点为D，求△BCD的面积．18. （10分） (2016高一下·鹤壁期末) 已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，（1）求f（x）的表达式；（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高二下·上海期中) 如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．20. （10分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（1）求二面角A﹣BE﹣F的大小；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？21. （5分） (2017高三下·静海开学考) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥平面PAD，点O，E分别是AD，PC的中点，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值；（Ⅲ）设点F在线段PC上，且直线DF与平面POC所成角的正弦值为，求线段DF的长．22. （10分） (2016高二上·怀仁期中) 已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A. {5，9}B. {2，3}C. {1，8，10}D. {4，6，7}2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A. 1：2：3B.C.D.3.设x＞1，则x+的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 74.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A. 54B. 45C. 36D. 275.已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n-1+t，则t的值为（）A. -1B. -3C.D. 16.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值X围是（）A. x＞2B. x＜2C.D.7.裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n-（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个X例，由此，a5=（）A. 3B. 5C. 8D. 138.在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lg a1+lg a2+…+lg a2016=（）A. 2015B. 2016C. -2015D. -20169.关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），则不等式＞0的解集为（）A. （-1，2）B. （-∞，1）∪（1，2）C. （1，2）D. （-∞，-1）∪（-1，2）10.在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形11.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A. 2日和5日B. 5日和6日C. 6日和11日D. 2日和11日12.若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值X围为（）A. 0＜a＜1B. a＞-1C. -1＜a＜1D. a＜1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=-1，a n+1=2S n，（n∈N*），则S n= ______ ．14.在约束条件下，目标函数z=|x-y+4|的最大值为______ ．15.在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，已知CD=60，AD=25，求BD= ______ ．16.若-1＜a＜0，则不等式-的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0．18.已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n-a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C-b cos C=c cos B-c cos A，且C=120°．（1）求角A；（2）若a=2，求c．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设=a n•b n，求数列{}的前n项和T n．21.小X打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）22.在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cos A=a cos C（1）求角A的大小；（2）已知BC=6，点D在BC边上，①若AD为△ABC的中线，且b=2，求AD长；②若AD为△ABC的高，且AD=3，求证：△ABC为等边三角形．答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. A5. C6. C7.B8. D9. C10. D11. C12. C13. -3n-114. 515. 14416. -3-217. 解：∵ax2-2（a+1）x+4＞0，∴（ax-2）（x-2）＞0，1、a=0时，原不等式的解集为{x|x ＜2}；2、a＜0时，原不等式的解集为{x|＜x＜2}；3、0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x ＞或x＜2}；4、a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠2，x∈R}；5、a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．18. 证明：（1）a1=，a n-a n+1=2a n•a n+1．可得-=2，则{}是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，即有a n=；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=++…+=（-+-+…+-）=（-）=-•＜．19. 解：由正弦定理，得：sin A cos C-sin B cos C=sin C cos B-sin C cos A，整理得：sin A cos C+sin C cos A=sin C cos B+sin B cos C，即sin（A+C）=sin（B+C），∴sin B=sin A，又C=120°，∴B=A=30°，∵a=2，∴b=2，∴由余弦定理得：a2+b2-2ab cos C=4+4-2×2×2×（-）=12，∴c=2．20. 解：（1）∵a n是S n与2的等差中项∴S n=2a n-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4（2）∵S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，又S n-S n-1=a n，n≥2∴a n=2a n-2a n-1，∵a n≠0，∴=2（n≥2），即数列{a n}是等比数列，∵a1=2，∴a n=2n∵点P （b n，b n+1）在直线x-y+2=0上，∴b n-b n+1+2=0，∴b n+1-b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n-1，（3）∵=（2n-1）2n∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）2n，∴2T n=1×22+3×23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1因此：-T n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）2n+1，即：-T n=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）2n+1，∴T n=（2n-3）2n+1+621. 解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）10…4 分每年存入x万元的本息和：x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）=•x…（10分）从而有 50（1+4%）10=•x解得：x≈6.17（万元）…12分22. （本小题满分16分）解：（1）由正弦定理得（2sin B-sin C）cos A=sin A cos C．…（ 2分）所以2sin B cos A=sin B，所以cos A=，…（4分）因为0°＜A＜180°，所以A=60°．…（ 5分）（不给A的X围扣1分）（2）①由正弦定理得=，又因为BC=6，b=，A=60°，所以sin B=．…（ 7分）因为0°＜B＜180°，所以B=30°或B=150°．…（8分）因为A+B ＜180°，所以B=30°．…（ 10分）因为D是BC的中点，所以DC=3．由勾股定理知AD=．…（ 11分）②因为=，又因为AD=，BC=6，sin A=，所以AB×AC=36…（13分）因为BC2=AB2+AC2-2ABAC cosA，所以AB2+AC2=72，…（15分）所以AB+AC=12，所以AB=AC=6．所以△ABC为等边三角形．…（16分）本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分【解析】1. 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，∴∁U A={1，2，4，6，7，8，10}，∁U B={1，2，3，8，10}，则（∁U A）∩（∁U B）={1，8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2. 解：由题意：∵角A，B，C是△ABC的内角，∴B+A+C=π∵A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°根据正弦定理：sin A：sin B：sin C=a：b：c∴a：b：c=1：：2故选C．根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3. 解：∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．故选B．利用基本不等式即可得出．熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．4. 解：∵2a8=a11+6由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6由等差数列的前n项和可得，故选：A由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案．本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键．5. 解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n-1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-1+t-（3n-2+t）=2×3n-2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3-1，解得t=-．故选：C．等比数列{a n}的前n项和S n=3n-1+t，n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n-S n-1，n=1时上式成立，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sin A＜1，由正弦定理以及a sin B=b sin A．可得：a=x=2sin A，∵2sin A∈（2，）．∴x 的取值X围是（2，）．故选：C由题意判断出三角形有两解时，A的X围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的X围即可．此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7. 解：∵a n=[（）n-（）n]，∴a1===1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5．故选：B．利用通项公式即可得出．本题考查了裴波那契数列、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lg a1+lg a2+…+lg a2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==-2016．故选：D．由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 解：∵关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），∴a＜0，且=1．则不等式＞0即＜0，解得1＜x＜2，故选：C．由题意可得a＜0，且=1，不等式＞0即＜0，由此求得不等式的解集．本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：∵=，∴可得：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin C，∵2R sin（A-B）=2R（sin A cos B-cos A sin B）=2R sin A cos B-2R sin B cos A=a•-b•=，∴已知等式变形得：（a2+b2）•=（a2-b2）•，∴a2=b2或a2+b2=c2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sin A cos B-cos A sin B），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin C”，得到a2=b2或a2+b2=c2，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．11. 解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：∵关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）=x2+ax+a2-a-2，则f（1）=1+a++a2-a-2=a2-1＜0，求得-1＜a＜1，故选：C．利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值X围．本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．13. 解：∵a n+1=2S n，∴a n=2S n-1（n≥2），两式相减得：a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又∵a1=-1，a2=2S1=-2不满足上式，∴a n=，∴S n=a n+1=•（-2）•3n-1=-3n-1，故答案为：-3n-1．通过a n+1=2S n与a n=2S n-1（n≥2）作差，进而可知从第二项起数列{a n}构成以-2为首项、3为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14. 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=|x-y+4|，得：y=x+4±z，结合图象：若4±z=2，则，|z|=2，若4±z=-1，则|z|=5，故答案为：5．画出满足条件的平面区域，结合图象求出|z|的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15. 解：如图所示，由射影定理可得：CD2=AD•BD，∴==144．故答案为：144．由射影定理可得：CD2=AD•BD，代入解出即可．本题考查了射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 解：设f（a）=-，∴f′（a）=-+=，∵-1＜a＜0，令f′（a）=0，解得a=-2+，当f′（a）＞0，即（-2+，0）单调递减，当f′（a）＜0，即（-1，-2+）单调递增，当a=-2+函数f（a）有最大值，即f（-2+）=，故答案为：-3-2设f（a）=-，求导，根据导数求出函数的最值．本题考查了函数导数和函数的最值的关系，关键时构造函数，属于中档题．17. 由于ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分a=0，a＜0，0＜a讨论，当a＞0时，再比较与2的大小即可求得ax2-2（a+1）x+4＞0的解集．本题考查一元二次不等式的解法，着重考查含参数的不等式的解法，突出考查分类讨论思想的运用，属于中档题．18. （1）两边除以a n•a n+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用不等式的性质，属于中档题．19. 利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用诱导公式化简，根据C的度数，求出A与B的度数，得到A与B的度数相等，利用等角对等边得到a=b，由a的值求出b的值，然后由a，b及cos C的值，利用余弦定理即可求出c的值．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20. （1）先利用a n是S n与2的等差中项把1代入即可求a1，再把2代入即可求a2的值；（2）利用S n=2a n-2，可得S n-1=2a n-1-2，两式作差即可求数列{a n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b n}，直接利用点P（b n，b n+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列{b n}是等差数列即可求通项；（3）先把所求结论代入求出数列{}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．考查计算能力．21. 设出每年应还款的数额，分别求出50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和，列等式后求得每年应还款数．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，关键是列出贷款和还款本息的等式，是中档题．22. （1）由正弦定理化简可得2sin B cos A=sin B，求得cos A=，进而可求得A=60°．（2）①由正弦定理及已知可求得sin B=，进而可求B的值，再求得DC的值，从而由勾股定理求得AD的值．②由=可求得AB×AC=36，由余弦定理可求得AB2+AC2=72，从而求得：AB+AC=12，即有：AB=AC=12．本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．。

河南省郑州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）己知命题“使”是假命题，则实数的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)2. （2分） (2016高二上·上海期中) 条件“0＜x＜5”是条件“|x﹣2|＜3”的（）A . 充分但非必要条件B . 必要但非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件3. （2分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A . 存在x0∈R，使得x02＜0B . 对任意x∈R，使得x2＜0C . 存在x0∈R，都有D . 不存在x∈R，使得x2＜04. （2分）已知命题：“若x2＞y2 ，则x＞y”则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 45. （2分） (2019高三上·镇海期中) 设命题，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·杭州期中) 方程（x2+y2﹣2x） =0表示的曲线是（）A . 一个圆和一条直线B . 一个圆和一条射线C . 一个圆D . 一条直线7. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A . pB .C . 2pD .8. （2分） (2016高三上·赣州期中) 已知向量，的夹角为120°，且| |=2，| |=3，则向量2 +3 在向量2 + 方向上的投影为（）A .B .C .D .9. （2分）设向量,则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2019高一下·南宁期末) 在直角三角形中，，，点在斜边的中线上，则的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1，b＜c，若logc+ba+logc﹣ba=2logc+balog c﹣ba，则三角形ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 ________ .14. （1分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.15. （1分）若l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1，，2），且l⊥α，则m=________．16. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________三、解答题 (共6题；共36分)17. （5分） (2016高二下·绵阳期中) 已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的实数根，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．若p∧q为假，若p∨q为真，求m的取值范围．18. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高二上·辽宁期中) 已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为．（1）求该双曲线C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程．20. （1分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则| |=________．21. （5分） (2017高三上·蕉岭开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（Ⅰ）若AF= ，求证：CD⊥EF；（Ⅱ）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ= ．22. （5分）(2017·成都模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共36分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、第11 页共11 页。

河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。