下载文档原格式
平面直角坐标系知识点归纳1 、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2 、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对 （ a,b ）一一对应；其中， a 为横坐标， b 为纵坐标坐标；3 、 x 轴上的点，纵坐标等于 0 ； y 轴上的点，横坐标等于0 ；Y坐标轴上的点 不属于 任何象限；b P(a,b)4 、四个象限的点的坐标具有如下特征：1象限横坐标 x纵坐标 y-3-2 -1 0 1ax-1 第一象限正 正 -2 第二象限负正-3第三象限 负 负 第四象限正负小结：（ 1 ）点 P （ x, y ）所在的象限 横、纵坐标 x 、 y 的取值的正负性；（ 2 ）点 P （ x, y ）所在的数轴横、纵坐标 x 、 y 中必有一数为零；y 5 、在平面直角坐标系中，已知点P (a,b) ，则a点 P 到 x 轴的距离为bP （ a, b ）（1 ） b ； （ 2 ）点 P 到 y 轴的距离为 a ；（3 ） 点 P 到原点 O 的距离为 PO ＝a 2b 2b6 、平行直线上的点的坐标特征：Oaxa) 在与 x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；YA B点 A 、 B 的纵坐标都等于 m ；mXb)在与 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；YC点 C 、 D 的横坐标都等于n ；nDX7 、对称点的坐标特征：a)点 P (m, n)关于x轴的对称点为P1(m, n)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b)点 P (m, n)关于y轴的对称点为P2( m, n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c) 点 P (m, n)关于原点的对称点为P3 ( m, n) ，即横、纵坐标都互为相反数；y y yPn P2 n P n PO mX mmm XO m X OnP1n P3关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称8 、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点 P（m,n）在第一、三象限的角平分线上，则m n ，即横、纵坐标相等；b) 若点 P（m,n）在第二、四象限的角平分线上，则m n ，即横、纵坐标互为相反数；y yn P P nO m X m O X 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上基本练习：练习 1 ：在平面直角坐标系中，已知点P（m 5,m 2 ）在 x 轴上，则P点坐标为练习 2 ：在平面直角坐标系中，点P（m2 2, 4 ）一定在象限；练习3 P a 1, a29)在 x 轴的负半轴上，则P点坐标为；：已知点（练习 4 ：已知 x 轴上一点A（3，0），y轴上一点B（0，b ），且 AB=5 ，则b的值为；练习 5 ：点 M （2 ，－ 3 ）关于 x 轴的对称点 N 的坐标为；关于y轴的对称点 P 的坐标为；关于原点的对称点Q 的坐标为。
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】平面直角坐标系（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴，y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4，3)，所以先在x轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标是3的点N．然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点A，同理可描出点B、C、D．所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示．【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.（2014春•夏津县校级期中）根据要求解答下列问题：设M（a，b）为平面直角坐标系中的点．（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？（2）当ab＞0时，点M位于第几象限？（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？【思路点拨】（1）利用第四象限点的坐标性质得出答案；（2）利用第二、四象限点的坐标性质得出答案；（3）利用第三、四象限和纵轴点的坐标性质得出答案．【答案与解析】解：∵M（a，b）为平面直角坐标系中的点．（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第四象限；（2）当ab＞0时，即a，b同号，故点M位于第一、三象限；（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于第三、四象限和纵轴的负半轴．【总结升华】本题考查点的坐标的确定，正确掌握各象限对应坐标的符号是解题关键．举一反三：【变式】（2015•威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1，b＞2．由不等式的性质，得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故选：A．5.（2016春•宜阳县期中）已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P的纵坐标比横坐标大3；（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m的值，进而得出P点坐标；（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．【答案与解析】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，∴m﹣1﹣（2m+4）=3，解得：m=﹣8，∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，∴m﹣1=﹣3，解得：m=﹣2，∴2m+4=0，∴P点坐标为：（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．举一反三：【：第一讲平面直角坐标系1 369934练习4（5）】【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P 的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
平面直角坐标系二、知识要点梳理知识点一：有序数对比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)．要点诠释：对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。
知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。
注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。
2.点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。
在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。
注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。
横、纵坐标的位置不能颠倒。
②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。
知识点三：点坐标的特征l.四个象限内点坐标的特征：两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．2.数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)．注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。
《第7章平面直角坐标系》B一、选择题1. 从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，贝IJ ( )A.小强家在小红家的正东B.小强家在小红家的正西C.小强家在小红家的正南D.小强家在小红家的正北2. 根据下列描述能确定位置的是( )A.学校报告厅3排B.中山二路C.南偏东50°D.东经78°,北纬60°二、填空题3. 由坐标平面内的三点A (-2, -1) , B (-1, -4) , C (5, -2)构成的三角形是_三角形.4. 矩形ABCD中，AB二5, BC二2,以矩形的左下角顶点A为原点，两边AB、AD为坐标轴建立直角坐标系，用坐标表示各顶点的坐标为—・三、解答题5. 这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明.小明：“我这里的坐标是(- 300, 200)・”小刚：“我这里的坐标是(- 200, - 100) ”・小 红：“我这里的坐标是(200, - 200)・”你能在图中标出他们所在的位置吗?南门7.建立适当的直角坐标系，表示边长为3的正方形各顶点的坐标.8.根据以下条件在图中画出小玲、小敏、小凡家的位置，并标明它们的坐标•比例尺：仁10000.再向北走300m. 再向西走300m,最后向北走250m. 又向北走100m,然后再向西走200m 到家；张彬放学后向西走300m,再向北走200m 到家.则李明和张彬两家的位置有什么关系？10.已知四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A (0, 0) , B (3, 6) , C (14, 8) , D (16, 0)，请 建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD.门.九年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m, n)表示第m 行第n 列的座位， 新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m, n),如果调整后的座位为(i, j),则称该 生作了平移(a, b) = (m- i, n-j),并称a+b 为该生的位置数.若某生的位置数为10,则当 m+n 取最小值，求的最大值.《第7章平面直角坐标系》B ;台性丹园:亭i h* A -k P 心 L 场---- ►望看 :婷 ___ 4 __ 100 —1 游乐园西门 东门 小玲家: 出校门向西走150m, 再向北走100m.小敏家: 出校门向东走200m, 小凡家: 出校门向南走100m,参考答案与试题解析一、选择题1. 从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，贝IJ ( )A.小强家在小红家的正东B.小强家在小红家的正西C.小强家在小红家的正南D.小强家在小红家的正北【考点】方向角.【分析】根据二人向同一方向走的距离可知二人的方向关系，解答即可.【解答】解：二人都在学校北500米，小红在学校东，小强在学校西，所以小强家在小红家的正西. 【点评】结合二人向同一方向走的距离可知二人的方向关系作答.2. 根据下列描述能确定位置的是( )A.学校报告厅3排B.中山二路C.南偏东50°D.东经78°,北纬60°【考点】坐标确定位置.【分析】根据坐标确定位置需要两个数据解答.【解答】解：学校报告厅3排、中山二路、南偏东50°不能确定位置，东经78°,北纬60°能确定位置.故选D.【点评】本题考查了坐标确定位置，理解坐标确定位萱需要两个数据是解题的关键.二、填空题3. 由坐标平面内的三点A (-2, -1) , B (-1, -4) , C (5, -2)构成的三角形是直角三角形.【考点】坐标与图形性质；勾股定理的逆定理.【分析】在网格中表示A、B、C三点坐标，分别求出AB、BC、AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断直角三角形.【解答】解：如图，AB=12+3=10, BC=22+6=40, AC=12+72=50,•/AB2+BC2=AC2,•••△ABC为直角三角形.【点评】根据点的坐标求边的长，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形.4.矩形ABCD中，AB二5, BC二2,以矩形的左下角顶点A为原点，两边AB、AD为坐标轴建立直角坐标系，用坐标表示各顶点的坐标为A (0, 0) , B (5, 0) , C (5, 2) , D (0, 2)・【考点】坐标与图形性质.【分析】根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可.【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，A (0, 0) ,B (5, 0) ,C (5, 2) ,D (0, 2).D• • • • - •1t•1■ 1 ■ ■ ■ J11•--r - - - -r -・■ ■ •■■・・}•I ■•A :■ ■ ■ •1!!!!0 B x【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系中点的位置的确定方法，是基础题.三、解答题5.这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明.【专题】网格型；开放型.【分析】此题答案不唯一，建立的直角坐标系的原点不一样，答案不一样.南门(0,【点评】主要考查了建立直角坐标系确定点的位置.6. 星期天，小明、小刚、小红三名同学到公园玩时走散了.以中心广场为坐标原点，以正东、正北方向为x 轴、y轴正方向建立坐标系，他们对着景区示意图通过电话互报出了自己的位置. 小明：“我这里的坐标是(- 300, 200)・”小刚：“我这里的坐标是(- 200, - 100) ”・小红：“我这里的坐标是(200, - 200). ”你能在图中标出他们所在的位置吗？【考点】坐标确定位置.【分析】建立平面直角坐标系，然后根据点的位置的确定方法找出三人的位置即可.【解答】解：小明，小刚，小红的位置如图所示.【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键. 7. 建立适当的直角坐标系，表示边长为3的正方形各顶点的坐标.【考点】坐标与图形性质；正方形的性质.【专题】作图题；开放型. > - 台|±丹园1 r ------1亭------ h玩、.场望看 :婷 1__100 -------1西门 东门南门【分析】根据正方形的性质，在x轴以1.5和-1.5处作垂线，在y轴处1.5, -1.5作垂线，较为简单. 【解答】解：故正方形各点的坐标为:A (1.5, 1.5) ； B (-1.5, 1.5) ； C (-1.5, -1.5) ； D(1.5, -1.5)・B2A1--2-1 012xC-1-D -2-【点评】本题考查了点的坐标的确定，直角坐标系的建立及正方形的性质.&根据以下条件在图中画出小玲、小敏、小凡家的位置，并标明它们的坐标•比例尺：1: 10000.小玲家：岀校门向西走150m,再向北走100m.小敏家：岀校门向东走200m,再向北走300m.小凡家：出校门向南走100m,再向西走300m,最后向北走250m.【分析】根据题意，先找到图中小玲、小敏、小凡家的位置，再用平面直角坐标系的坐标表示其位置. 【解答】解：如图所示.小玲家的坐标：(-150, 100)；小敏家的坐标：(200, 300)；小凡家的坐标：(-300, 150)・【点评】本题是数学在生活中应用，平面位置对应平面直角坐标系，空间位置对应空间直角坐标 系.可以做到在生活中理解数学的意义.9.李明放学后向北走200m,再向西走100m,又向北走100m,然后再向西走200m 到家；张彬放学 后向西走300m,再向北走200m 到家.则李明和张彬两家的位置有什么关系？【考点】坐标确定位置.【分析】根据题意中的描述，可以用坐标表示李明和张彬两家的位置关系.【解答】解：以学校为原点，正北的直线为y 轴正方向，正东的直线为x 轴的正方向.根据题意，李明家的坐标是(- 300, 300),张彬家的坐标是(- 300, 200),即李明家在张彬家"北•张彬家 正北100m 处.学校【点评】解决此类问题需要先确定原点的位置，建立坐标系.本题是数学在生活中应用，平面位置 对应平面直角坐标系，空间位置对应空间直角坐标系.可以做到在生活中理解数学的意义.10.已知四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A (0, 0) , B (3, 6) , C (14, 8) , D (16, 0)，请 建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD.【考点】坐标与图形性质.【分析】建立平面直角坐标系，然后确定出点A 、B 、C 、D 的位置，再顺次连接即可.【解答】解：四边形ABCD 如图所示.•李明家北A【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系的建立与在平面直角坐标系中确定点的位置的方法，是基础题.11.九年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m, n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m, n),如果调整后的座位为(i, j),则称该生作了平移(a, b) = (m-i, n-j),并称a+b为该生的位養数.若某生的位置数为10,则当m+n取最小值，求m n的最大值.【考点】坐标与图形变化-平移.【专题】计算题；新定义.【分析】根据位置数的定义列式表示出Mn,然后确定出取最小值的情况，再表示出m n,然后整理成关于m 的二次函数，再利用二次函数的最值问题解答.【解答】解：由题意得，a+b=m - i+n - j=10,m+n=10+ (i + j),Tm、n、i、j表示行数与列式，・••当i=j=1时，m+n取最小值，此时,n=12-m,m n=m (12 - m) = - (m - 6) 2+36,・••当m二6时，m n有最大值36・【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解并求出叭n的表达式是解题的关键.亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考岀好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。
专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】【人教版】【题型1 判断点所在的象限】 (1)【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 (2)【题型3 点到坐标轴的距离】 (2)【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 (3)【题型5 坐标确定位置】 (3)【题型6 点在坐标系中的平移】 (5)【题型7 图形在坐标系中的平移】 (6)【题型8 图形在格点中的平移变换】 (7)【题型1 判断点所在的象限】【例1】（2022春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x﹣3，﹣y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式11】（2022春•长沙期末）已知点P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式12】（2022春•青山区期末）已知，点A的坐标为（m﹣1，2m﹣3），则点A一定不会在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式13】（2022春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【题型2 坐标轴上点的坐标特征】【例2】（2022春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P（m﹣1，1﹣m）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式21】（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【变式22】（2022春•仓山区校级期中）已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式23】（2022春•东莞市期中）已知点P（2a﹣4，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为．【题型3 点到坐标轴的距离】【例3】（2022春•巴南区期末）已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为．【变式31】（2021秋•城固县期末）已知点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，则点M的坐标为．【变式32】（2022春•云阳县期中）坐标平面内有一点A（x，y），且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍．若xy＜0，则点A的坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（3，﹣6）或（﹣3，6）D．（6，﹣3）或（﹣6，3）【变式33】（2021秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1 或3【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】【例4】（2022春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB平行于x轴，若AB＝4，则点B的坐标为（）A．（7，2）B．（1，5）C．（1，5）或（1，﹣1）D．（7，2）或（﹣1，2）【变式41】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），若BC∥x轴，AC∥y轴，则点C的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣3）C．（2，1）D．（﹣2，3）【变式42】（2022春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P和点Q的坐标分别为P（﹣2，m），Q （﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，则m的值为（）A．6B．5C．4D．7【变式43】（2022春•硚口区期中）如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y 轴于点D．点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（）A．m+2n＝﹣5B．2m+n＝﹣10C．m﹣n＝﹣5D．2m﹣n＝﹣6【题型5 坐标确定位置】【例5】（2022春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（﹣2，3）B．（0，﹣5）C．（﹣3，1）D．（﹣4，2）【变式51】（2021秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【变式52】（2022春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，﹣1）；（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，①表示古树C的位置的坐标为；②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置；③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线（画出一条即可）．【变式53】（2022春•海淀区校级期中）如图1，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY ，如果点P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用（m ，β）表示点P 在平面内的位置，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，∠XOM ＝110，那么点M 在平面内的位置，记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图3，点N 在平面内的位置记为N （6，30°），那么ON＝ ，∠XON ＝ ．（2）如果点A 、B 在平面内的位置分别记为A （4，30°），B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为 ．【知识点5 点在坐标系中的平移】平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0（1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ）P （x ，y ） P '（x ，y －b ） （2）二次平移：【题型6 点在坐标系中的平移】【例6】（2022春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），经过的平移变换为（ ）A ．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度B ．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度C ．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度D ．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【变式61】（2022春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M （3m ﹣1，m ﹣3）向上平移2个单位长度得到点M '，若点M '在x 轴上，则点M 的坐标是（ ）A ．（2，﹣2）B ．（14，2）C ．（﹣2，−103）D ．（8，0）【变式62】（2022春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P （a ，b ）向右平移3个单位，再向下P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ） 向左平移a 个单位再向上平移b 个单向下平移b 个单位向右平移a 个单位平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（）A．a＞0，b＜0B．a＞1，b＜2C．a＞1，b＜0D．a＞﹣3，b＜2【变式63】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为．【题型7 图形在坐标系中的平移】【例7】（2022春•胶州市期末）如图，△ABC的顶点坐标A（2，3），B（1，1），C（4，2），将△ABC 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，则BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（）A．（m+3，n+1）B．（m﹣3，n﹣1）C．（﹣1，2）D．（3﹣m，1﹣n）【变式71】（2022•青岛二模）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，这四个点都在格点上．若线段A'B'有一个点P'（a，b），则点P'在AB上的对应点P的坐标为（）A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）【变式72】（2022春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ 平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（0，3）C．（0，3）或（﹣4，0）D．（0，3）或（﹣2，0）【变式73】（2022春•如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（）A．8+m B．﹣8+m C．2D．﹣2【题型8 图形在格点中的平移变换】【例8】（2021春•抚远市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【变式81】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；（3）求△ABC的面积．【变式82】（2022春•江岸区校级月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【变式83】（2021春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．（1）分别写出点A，A'的坐标：A，A'．（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m 和n的值．。
平面直角坐标系
一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用（0， 0）表示，小军的位置用（ 2，1）表示，那么你的位置可以表示成（）
A．（ 5， 4）B．（4， 5）C．（ 3， 4） D ．（ 4， 3）
y
小刚
A D
小军
小华
B （第 1 题图）
2．如图，下列说法正确的是（
X
C
（第 2 题图）
）
A ．A 与 D 的横坐标相同。
B ．
C 与
D 的横坐标相同。
C．B 与 C 的纵坐标相同。
D ． B 与 D 的纵坐标相同。
3．若 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为3，则点 P 的坐标为（）
A ．（ 3， 0）B．（ 3， 0）或（–3， 0）C．（ 0， 3）D．（ 0， 3）或（ 0，–3）
4．如果点 P（ 5， y）在第四象限，则y 的取值范围是（）
A ．y＜ 0 B． y＞0 C． y≤0 D ．y≥ 0
5．线段 CD 是由线段AB 平移得到的。
点 A （–1， 4）的对应点为C（ 4， 7），则点 B （–4，–1）的对应点 D 的坐标为（）
A ．（ 2， 9）B．（ 5， 3）C．（ 1， 2）D．（–9，–4）
6．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1， 2）、（ 3，–1），则第四个顶点的坐标为（）
A ．（ 2， 2）B．（3， 2）C．（3， 3）D．（ 2， 3）
二、填空题（每小题 3 分，共12 分）
7．如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用（1， 3）表示左眼，用（ 3， 3）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成。
8．点 A 在 x 轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点 5 个单位长度，则此点的坐标为；点 B 在y 轴上，位于原点的下方，距离坐标原点 5 个单位长度，则此点的坐标为；点 C 在 y 轴左侧，在 x 轴下方，距离每个坐标轴都是 5 个单位长度，则此点的坐标为。
4
3 C
2
A B
1
0 1 2 3 4
（第 7 题图）（第 10 题图）
9．小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了 3 个单位长度，平移前猫眼的坐标为（–4， 3）、（–2， 3），则移动后猫眼的坐标为。
10．如图，小强告诉小华图中 A 、B 两点的坐标分别为（–3，5）、（ 3，5），小华一下就说出了 C 在同一坐标系下的坐标。
三、解答题（每小题10 分，共 30 分）
11．如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标。
体育场
体育场市场
文化宫
宾馆医院
文化宫
火车站
火车站
宾馆
医院超市
超市
市场
12．如图，描出A（–3，–2）、B（ 2，–2）、C（ 3，1）、D（–2，1）四个点，线段AB 、 CD 有什么关系？
顺次连接 A 、 B 、C、 D 四点组成的图形是什么图形？
y
1
-1 0 1 X
-1
13．建立两个适当的平面直角坐标系，分别表示边长为 4 的正方形的顶点的坐标。
四、试一试（15 分）
14．如图，（ 1）请写出在直角坐标系中的房子的 A 、 B、 C、 D、 E、F、G 的坐标。
（2）源源想把房子向下平移 3 个单位长度，你能帮他办到吗？请作出相应图案，并写出平移后的7 个点的坐标。
5 y
B
4
A
3
D C
2
E
1
F G
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X
-1
-2
-3
-4
五、做一做（15 分）
15．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。
（ 1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?
（ 2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
y
A（-2，8）
B（-11，6）
C（-14，0）0 D
X
六、小设计（ 10 分）
16．这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明。
狮子
飞禽
南门
两栖动物
马
附：命题意图及参考答案
（一）参考答案
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6
答案
D C B A C B
二、填空题
题号7
8 910
（5，0）、（0，– 5）、（– 1，3） 答案 （2，1）
（– 1，7）
（– 5，– 5）
（1，3）
三、解答题
11．火车站（ 0， 0），医院（ –2，–2），文化宫（ –3， 1），体育场（ –4，3），宾馆（ 2，2），市场（ 4， 3），
超市（ 2， –3）
12．图略， AB ∥ CD ，平行四边形。
13．略 四、试一试
14．（ 1）（ 2， 3），（ 6， 5），（10， 3），（3， 3），（9， 3），（3， 0），（9， 0）；
（ 2）平移后坐标依次为（ 2， 0），（ 6， 2），（10， 0），（3， 0），（9， 0），（3， –3），（ 9， –3）。
五、做一做
15．（ 1） 80（可分别割成直角三角形和长方形或补直角三角形成长方形）。
（2） 80
六、小设计
16．略。
（二）命题意图
一、选择题
1．本题考查用有序数对表示物体的位置及识图能力和有序数对在生活中的应用。
2．本题考查平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标的特点及观察能力。
3．本题考查x 轴上点的特点及思维的全面性。
4．本题考查象限内点的特点
5．本题考查用坐标表示平移及抽象思维能力。
6．本题考查用坐标确定点
二、填空题
7．本题考查用有序数对表示物体的位置及识图能力和数学在生活中的应用意识。
8．本题考查用坐标确定点及x、 y 轴上点的特点。
9．本题考查图形平移后坐标的变化。
10．本题考查如何建立适当的直角坐标系并用坐标确定点的位置及逻辑思维能力。
三、解答题
11．本题考查用坐标表示地理位置。
12．本题考查用坐标确定点及平行直线上的点的坐标特点和画图、识图的能力。
13．本题考查同一图形在不同的直角坐标系下各点的坐标。
四、试一试
14．本题意在综合考查点的坐标、图形平移后的坐标变化及绘图能力。
五、做一做
15．本题意在综合考查点的坐标、图形平移后的坐标变化等内容，并通过探究活动考查分析问题、解决问题能力及未知转化为已知的思想。
六、小设计
16．本题通过创设具体情景，调动学生学习数学的兴趣，考查学生能否利用所学的知识描述物体的位置，并考查通过具体的动手操作解决问题的能力。
